Круги Эйлера в решении задач

1. Круги Эйлера в решении задач

6

2. Леонард Эйлер

Леонард Эйлер, крупнейший
математик XVIII века, родился в
Швейцарии. В 1727г. по приглашению
Петербургской академии наук он
приехал в Россию. Эйлер попал в круг
выдающихся математиков, получил
большие возможности для создания и
издания своих трудов. Он работал с
увлечением и вскоре стал, по
(1707 г.-1783 г.)
единодушному признанию
современников, первым математиком
мира.
Одним из первых, кто использовал для решения задач
круги, был выдающийся немецкий математик и философ
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его
черновых набросках были обнаружены рисунки с
кругами. Затем этот метод основательно развил
швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

3.

С1761 по 1768 год им были
написаны знаменитые
«Письма к немецкой
принцессе», где Эйлер как
раз и рассказывал о своем
методе, об изображении
множеств в виде кругов.
Именно поэтому рисунки в
виде кругов, обычно
называют «кругами
Эйлера». Эйлер отмечал,
что изображение множеств
в виде кругов «очень
подходит для того, чтобы
облегчить наши
рассуждения». Понятно,
что слово «круг» здесь
весьма условно,
множества могут
изображаться на
плоскости в виде
произвольных фигур.

4.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский
математик Бернард Больцано (1781 – 1848).
Только в отличие от Эйлера он рисовал не
круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов
Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст
Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко
используется в его книге «Алгебра логика». Но
наибольшего расцвета графические методы
достигли в сочинениях английского логика Джона
Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот
метод изложен им в книге «Символическая
логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь
Венна вместо кругов Эйлера соответствующие
рисунки называют иногда диаграммами Венна; в
некоторых книгах их называют также диаграммами
(или кругами) Эйлера – Венна.

5.

Круги ЭЙЛЕРА —
геометрическая
схема, с
помощью
которой можно
изобразить
отношения между
множествами, для
наглядного
представления.

6. Круги Эйлера

Это новый тип задач, в которых
требуется найти некоторое
пересечение множеств или их
объединение, соблюдая условия
задачи.

7. Типы кругов Эйлера

8. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

9.

Задача 1.
• Каждый из 35 шестиклассников является
читателем, по крайней мере, одной из двух
библиотек: школьной и районной. Из них 25
человек берут книги в школьной библиотеке, 20 –
в районной.
Сколько шестиклассников
являются читателями обеих библиотек?

10. Круги Эйлера

25 человек
20 человек
Ходят только
школьную Х
библиотеку
Ходят в
районную
библиотеку
25+20 – х = 35
Всего 35 человек
45 – х = 35
х = 45 – 35
х = 10 (человек ходят и в районную и в школьную библиотеки)

11.

Задача 2.
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное
путешествие, немецким языком владеют 30 человек,
английским – 28, французским – 42. Английским и
немецким одновременно владеют 8 человек, английским
и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми
тремя языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто
знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и
третьим кругом – тех, кто знают немецкий.
французский
немецкий
английский

12.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в
общей части кругов вписываем число 3.
французский
немецкий
5
3
7
английский
Английским и французским
языками владеют 10 человек, а 3
из них владеют ещё и немецким.
Значит, английским и
французским владеют 10-3=7
человек.
В общую часть английского и
французского кругов вписываем
цифру 7.
Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из
них владеют ещё и французским. Значит, английским и
немецким владеют 8-3=5 человек.
В общую часть английского и немецкого кругов
вписываем число 5.

13.

французский
немецкий
20
5
2
3
30
7
13
английский
Немецким и французским
языками владеют 5 человек, а
3 из них владеют ещё и
английским. Значит,
немецким и французским
владеют 5-3=2 человека.
В общую часть немецкого и
французского кругов вписываем
цифру 2.
Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из
них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20
человек.
Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и
другими языками, значит, только английский знают 13 человек.
Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют
и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13
+5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык,
следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.
Ответ:
20 человек.

14.

Задача №3:
В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту, 6
– морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и
горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох.
Сколько детей было в семье?
Решение:
капуста
7
морковь
1
43
32
1
5 1
горох
21
6
1
Ответ:
10 человек.

15. Т. к. 1 ребенок любит и капусту и морковь и горох, то: 4 - 1 = 3 ребенка любят капусту и морковь 3 - 1 = 2 детей любят капусту

и горох,
2 - 1 = 1 ребенок любит морковь и горох
7 - (1 + 2 + 3) = 1 ребенок любит только капусту
6 - (1 + 3 + 1) = 1 ребенок любит только морковь
5 - (1 + 2 + 1) = 1 ребенок любит только горох
Т. к. мы узнали предпочтения всех детей то сложив количество этих
детей получим сколько человек в семье:
1 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 детей.

16. Задача 4. В трёх пятых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке

10 ребят из хора,
в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и
драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не
занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение:
Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

17. 7) 70 - (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) - не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке. Ответ:

1) 10 - 3 = 7 (ребят) - посещают драмкружок и
хор,
2) 6 - 3 = 3 (ребят) - поют в хоре и
занимаются спортом,
3) 8 - 3 = 5 (ребят) - занимаются спортом и
посещают драмкружок
4) 27 - 7 - 3 - 5 = 12 (ребят) - посещают
драмкружок,
5) 32 - 7 3 - 3 = 19 (ребят) - поют в хоре,
6) 22 - 5 - 3 - 3 = 11 (ребят) - увлекаются
спортом,
7) 70 - (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) - не поют в хоре, не увлекаются спортом
и не занимаются в драмкружке.
Ответ: 10 человек и 11 человек.

18.

Решите самостоятельно

19. Выводы

• Применение кругов Эйлера (диаграмм
Эйлера-Венна) позволяет легко
решить задачи, которые обычным
путем разрешимы лишь при
составлении системы трех уравнений с
тремя неизвестными.

20. Домашнее задание.

1. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино.
Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Человек-паук», 11 человек фильм «Бэтмен», из них 6 смотрели и «Человек-паук», и «Бэтмен».
Сколько человек смотрели только фильм «Бэтмен»?
2. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий
язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни
немецкого языков?
3. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и
лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
4. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 - фантастику, трое с
удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько
учеников в нашем классе?3.