Лекция 7. Методы расщепления

1. Лекция 7

Методы расщепления.

2. Содержание

• Понятие о методах расщепления.
• Локально-одномерные схемы.
• Послойные схемы расщепления.
• Расщепление по физическим процессам.
• Расщепление с факторизацией.
• Методы «предиктор-корректор»

3. Методы расщепления

• Дифференциальная задача
• Уравнение в частных производных
• Постоянные коэффициенты уравнения

4. Содержание

• Понятие о методах расщепления.
• Локально-одномерные схемы.
• Послойные схемы расщепления.
• Расщепление по физическим процессам.
• Расщепление с факторизацией.
• Методы «предиктор-корректор»

5. Методы расщепления

• Разобьем промежуток на два:
(явная схема)
(неявная схема)

6. Локально-одномерные схемы

• Дифференциальный оператор можно представить в
виде суммы операторов, каждый из которых
содержит производные только по одной
пространственной переменной;
• Разностный оператор содержит разности только
вдоль одного направления.

7. Расщепление по направлениям

• Схема для однородной задачи
• Система может быть решена методом прогонки
• Имеет место суммарная аппроксимация

8. Расщепление по направлениям

• Схема для неоднородной задачи
• Может быть заменена на введение правой части во
все уравнения (с весовыми множителями)
• Схемы расщепления по направлениям
абсолютно устойчивы

9. Устойчивость схемы

10. Схема Кранка-Никольсон

(условие устойчивости)

11. Содержание

• Понятие о методах расщепления.
• Локально-одномерные схемы.
• Послойные схемы расщепления.
• Расщепление по физическим процессам.
• Расщепление с факторизацией.
• Методы «предиктор-корректор»

12. Общая схема методов расщепления

(условие устойчивости)

13. Двуслойная схема расщепления

• Двуслойная схема расщепления с весовыми
коэффициентами
• Схема абсолютно устойчива при положительности
всех разностных операторов

14. Расщепление уравнения теплопроводности

15. Расщепление уравнения теплопроводности

Локально-одномерная схема

16. Расщепление уравнения теплопроводности

Схема с весами

17. Методы двуциклического покомпонентного расщепления

• Рассматривается численное решение на двух
последовательных шагах
• Разностные операторы явно зависят от
времени

18. Методы двуциклического покомпонентного расщепления

19. Пример: трехмерное уравнение диффузии

• Нестационарное уравнение диффузии
• Область интегрирования – параллелепипед
• Коэффициент диффузии в вертикальной плоскости зависит от
координаты
Задача для вертикальной плоскости
Задачи для координат в
горизонтальной
плоскости

20. Пример: трехмерное уравнение диффузии

21. Пример: сопряженное уравнение переноса и диффузии

• Нестационарное уравнение переноса и диффузии

22. Пример: сопряженное уравнение переноса и диффузии

23. Содержание

• Понятие о методах расщепления.
• Локально-одномерные схемы.
• Послойные схемы расщепления.
• Расщепление по физическим процессам.
• Расщепление с факторизацией.
• Методы «предиктор-корректор»

24. Пример: сопряженное уравнение переноса и диффузии

• Расщепление по физическим процессам
Уравнение неразрывности
Первый этап – решение
уравнения переноса
Второй этап – уравнения
диффузии и поглощения

25. Пример: система уравнений газовой динамики

26. Пример: система уравнений газовой динамики

• 1 этап: жидкость внутри ячеек считается моментально
замороженной, рассчитывается изменение величин,
относящихся к ячейке в целом.

27. Пример: система уравнений газовой динамики

• 2 этап: происходит движение газа и перераспределение массы,
плотности, импульса, энергии.

28. Содержание

• Понятие о методах расщепления.
• Локально-одномерные схемы.
• Послойные схемы расщепления.
• Расщепление по физическим процессам.
• Расщепление с факторизацией.
• Методы «предиктор-корректор»

29. Методы расщепления с факторизацией

30. Метод переменных направлений

• Уравнение теплопроводности

31. Неявная схема с приближенной факторизацией

Факторизуем схему приближенно, с точностью до членов второго порядка.

32. Содержание

• Понятие о методах расщепления.
• Локально-одномерные схемы.
• Послойные схемы расщепления.
• Расщепление по физическим процессам.
• Расщепление с факторизацией.
• Методы «предиктор-корректор»

33. Метод «предиктор-корректор»

• На первом этапе производится решение по явной
схеме с большим запасом устойчивости.
• На втором этапе задача решается по условно
неявной схеме с высоким порядком аппроксимации.

34. Метод «предиктор-корректор»

• Если разностный оператор представляется в виде

35. Метод «предиктор-корректор»

• Пример для уравнения теплопроводности:
Схема абсолютно устойчива.

36. Применение методов расщепления

• «Несимметричность» задачи по координатам
– расщепление по координатам.
• Изотропная линейная (или линеаризуемая)
задача – расщепление по координатам.
• Независимые физические процессы –
расщепление по физическим процессам.
• Сложные взаимосвязи внутри разностной
схемы – методы предиктор-корректор.