Преобразование переменных в парной регрессии

1. Преобразование переменных в парной регрессии

Лекция

2. Цели лекции

Понять смысл нелинейной
регрессии
Научиться выполнять
преобразования переменных
Экономическая интерпретация
регрессионной модели
2

3. Пример нелинейной зависимости

15
Бананы, в фунтах
10
Потребление бананов (в фунтах) (y)
5
Линейная модель: y = a + bx
Гиперболическая модель: y = a + b/x
0
0
4
8
12
Доход, в 10000 у.е.
3

4. Направления анализа и развития парной линейной регрессии

Ключевые точки (начало координат)
Кривая или прямая
Форма криволинейной зависимости
Вспомогательные экономические
показатели (скорость и темп роста,
эластичность)
Уточнение формы (экстремумы, пределы)
Сравнение функциональных форм
4

5. Этапы построения модели

1. Выбор теоретических предпосылок
2. Формализация предпосылок
3. Построение математической модели
4. Анализ построенной модели
5

6. Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция КоббаДугласа
Многие экономические процессы не являются
линейными по сути. Их моделирование линейными
уравнениями не даст положительного результата.
Пример. Производственная функция Кобба – Дугласа
Y AK L
Y – объем выпуска; K, L – затраты капитала и труда; ,
– параметры модели.
6

7. Анализ экономического роста

Анализ теоретических предпосылок: прирост
пропорционален накопленному потенциалу
Формализация предпосылок:
dY
dY Y
ln Y t
Y
Интерпретация и анализ: коэффициент регрессии
годовой темп роста, возможно сопоставление
с реальными данными
7

8. Классы нелинейных регрессий

Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно
переменных, но линейные по оцениваемым
параметрам.
2. Регрессии, нелинейные по оцениваемых
параметрам.
Регрессии, нелинейные относительно объясняющих
переменных, всегда сводятся к линейным моделям.
8

9. Альтернативные функциональные формы: правила выбора

Правила выбора формы зависимости:
1. Исходить из экономической теории.
2. Оценивать формальное качество модели.
3. Дополнительно проверять по нескольким
содержательным критериям.
4. Ответить на вопросы, возникающие при анализе модели:
-
каковы признаки качественной модели;
какие ошибки спецификации встречаются и каковы их последствия;
как обнаружить ошибку спецификации;
каким образом можно исправить ошибку спецификации и перейти к
более качественной модели.
9

10. Линейная форма

Yi X i i
Интерпретация коэффициента регрессии
предельный эффект независимого фактора
dY Y
YX
dX X
10

11. Линейная форма

Для полученных оценок a, b уравнения регрессии:
Y a bX
Y
b
X
X 1
b Y
a Y b X a Y ( X 0)
11

12. Линейная форма

Коэффициент регрессии b показывает прирост
зависимой переменной при изменении
объясняющей переменной на единицу.
Коэффициент регрессии b – угловой
коэффициент линии регрессии
Коэффициент регрессии a – среднее значение
зависимой переменной при нулевом значении
объясняющей переменной
12

13. Линейная форма от времени

Yi a bti
Интерпретация коэффициента регрессии от
времени ежегодный (ежемесячный и т.д.)
прирост зависимой переменной
Y
b
t
13

14. Моделирование эластичности

Независимо от вида математической связи
между Y и X эластичность равна:
dY / Y dY / dX
L
dX / X
Y/X
Y / Y
Y X
X / X X Y
Эластичность y по x рассчитывается как
относительное изменение y на единицу
относительного изменения x.
14

15. Пример расчета эластичности

Рассмотрим кривую Энгеля:
Y X
где Y – спрос на товар, X – доход. Имеем:
1
dY
/
dX
X
Эластичность =
,
1
Y/X
X
Например для модели Y 0,01X эластичность
спроса по доходу равна 0,3. Иными словами,
изменение дохода (X) на 1% вызывает изменение
спроса (Y) на 0,3%
0, 3
15

16. Эластичность – переменная величина

Эластичность не всегда бывает постоянной
для различных значений X и Y
Например, для линейной модели
dY / dX
X
L
Y/X
Y/X
Y
16

17. Средний коэффициент эластичности

Средний коэффициент эластичности L
показывает, на сколько процентов в среднем по
совокупности изменится результат Y от своей
средней величины при изменении фактора X на
1% от своего среднего значения
X
L f ( X )
Y
17

18. Логарифмическая форма

Yi X i i
Прологарифмировав обе части уравнения,
получим
ln Yi ln X i i
18

19. Логарифмическая форма

ln Yi ln X i i
Интерпретация коэффициента регрессии – эластичность
зависимой переменной по объясняющей переменной
dY
dX
dY / Y
Y
X
dX / X
Коэффициент при объясняющей переменной показывает,
на сколько процентов возрастает Y при возрастании X на 1%.
Логарифмическую форму следует использовать там, где
есть основание предполагать постоянство эластичности
19

20. Логарифмическая форма

ln Yi ln X i i
Вычисление наклона (скорости роста)
dY
Y
dX
X
Наклон постоянно меняется с изменением
номера наблюдения
20

21. Графики логарифмической формы зависимости

21

22. Полулогарифмические формы

1. Линейно-логарифмическая форма
(логарифм при объясняющей переменной)
2. Логарифмически-линейная форма
(логарифм при зависимой переменной)
22

23. Линейно-логарифмическая форма

Y 0 1 ln X 1 2 X 2
Интерпретация коэффициента регрессии :
dY
dX
dY
dY
100 100 (dX / X )
X
dX / X
Коэффициент при объясняющей переменной показывает
на сколько единиц возрастает Y при возрастании X на 1%
При интерпретации коэффициент следует делить на 100
Если X увеличится на 1%, то прирост Y составит /100
единиц (в которых измеряется Y)
23

24. Линейно-логарифмическая форма

Yi ln X i i
Эластичность убывает с ростом Y:
dX
dY X
1 X
1
dY
L
X
dX Y
X Y
Y
Это указывает на класс зависимостей, где следует
применять линейно-логарифмическую форму регрессии
Логарифм при X снижает влияние роста X (степень
влияния X снижается с ростом X). Моделирование
эффектов насыщения на уровне скорости роста:
«возрастание с убывающей скоростью»
24

25. Графики линейно-логарифмической формы зависимости

Y
y ln x
>0
<0
0
X
25

26. Логарифмически-линейная форма

ln Yi X i i
Интерпретация коэффициента регрессии :
dX 1
dY
dY
dY
dX
100%
100%
Y
YdX
Y
Коэффициент при объясняющей переменной показывает
на сколько процентов возрастает Y при возрастании X на
одну единицу
При интерпретации коэффициент следует умножать на 100
26

27. Логарифмически-линейная форма

ln Yi X i i
Эластичность растет с ростом Y:
dY
YdX
dY X
YX
L
X
dX Y
Y
Это указывает на класс зависимостей, где следует
применять линейно-логарифмическую форму регрессии
Моделирование эффектов насыщения на уровне скорости
роста: «возрастание с возрастающей скоростью»
Примеры: кривые Энгеля для товаров роскоши, моделирование
оплаты труда (процентная надбавка за стаж и опыт)
27

28. Графики логарифмически-линейной формы зависимости

Y
y x
>1
0< < 1
0
X
28

29. Логарифмически-линейная форма от времени

ln Yi ti i
ti i
Вид уравнения:
Yi e e e
Интерпретация:
dY
t
Y
Коэффициент при переменной времени выражает темп
прироста. Он показывает на сколько процентов (если
умножить его на 100) возрастает Y ежегодно
Эту функциональную форму удобно использовать для
моделирования процессов экономического роста
29

30. Обратные зависимости

1
Yi
i
Xi
Вычисление эластичности
dY / Y
1
L
dX / X
XY
С ростом X зависимая переменная приближается к
некоторому числу (моделирование эффекта насыщения)
Пример: Моделирование потребления товаров первой
необходимости (быстрое достижение насыщения)
30

31. Сводка результатов для альтернативных функциональных форм в парной регрессии

31

32. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

32

33. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

33

34. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

34

35. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

35

36. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

36

37. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

37

38. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

38

39. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

39

40. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

40

41. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

41

42. Сводка линеаризующих преобразований для основных зависимостей в экономике

42

43. Преобразование случайного отклонения

МНК применяется к преобразованным (линеаризованным)
уравнениям. Поэтому необходимо особое внимание уделять
рассмотрению свойств случайных отклонений –
выполнимости предпосылок теоремы Гаусса-Маркова.
Пример.
Y X
ln( )
ln Y ln( X )
Логарифмирование нелинейной модели с аддитивным
случайным членом не приводит к линеаризации
соотношения относительно параметров.
43

44. Признаки качественной модели

1. Простота модели (из примерно одинаково отражающих
реальность моделей, выбирается та, которая содержит
меньше объясняющих переменных.
2. Единственность (для любых данных коэффициенты
модели должны вычисляться однозначно).
3. Максимальное соответствие (модель тем лучше, чем
больше скорректированный коэффициент детерминации).
4. Согласованность с теорией (уравнение регрессии должно
соответствовать теоретическим предпосылкам).
5. Прогнозные качества (прогнозы, полученные на основе
модели, должны подтверждаться реальностью).
44

45. Сравнение различных моделей

1. Содержательный анализ
2. Формальный анализ:
• Метод Зарембки
• Преобразование Бокса-Кокса
45

46. Метод Зарембки

Применим для выбора из двух форм
(несравнимых непосредственно), в одной
из которых зависимая переменная входит с
логарифмом, а в другой – нет
Метод позволяет сравнить линейную и
логарифмическую регрессии и оценить
значимость наблюдаемых различий
46

47. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Зарембки

1. Вычисляем среднее геометрическое значений зависимой
переменной и все ее значения делим на это среднее:
n
Yi Yi / n Y1Y2 Yn Yi / e
1
lnYi
n i 1
2. Рассчитываются линейная и логарифмическая
регрессии, и сравниваются значения их сумм квадратов
остатков (RSS)
Yi 1 1 X i i ( RSS1 ) ln Yi 2 2 ln X i i ( RSS 2 )
47

48. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Зарембки

3. Вычисляем 2-статистику для оценки значимости
различий
SSR1
n
ln
SSR2
2
2
4. Сравниваем с критическим значением
2
2
-распределения ;m . Различия значимы на уровне
значимости , если
; m
2
2
48

49. Метод Бокса-Кокса

Идея метода. Переменная
Y 1 :
при =1 превращается в линейную функцию
Y 1
1
Y
1
при 0 переходит в логарифм
ln Y
Плавно изменяя , можно постепенно перейти от линейной
регрессии к логарифмической, все время сравнивая качество
49

50. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Бокса-Кокса

1. Преобразуют зависимую переменную по методу
Зарембки:
n
Yi Yi / n Y1Y2 Yn Yi / e
1
lnYi
n i 1
2. Рассчитывают новые переменные (преобразование
Бокса-Кокса) при значениях от 1 до 0:
Yi
( B C )
Yi 1
X
( B C )
i
X i 1
50

51. Сравнение различных моделей парной регрессии методом Бокса-Кокса

3. Рассчитывают уравнения регрессии для новых
переменных при значениях от 1 до 0:
Yi
( B C )
X
( B C )
i
i
4. Определяют минимальное значение суммы
квадратов остатков (SSR).
5. Выбирают одну из крайних регрессий, к которой
ближе точка минимума.
51

52.

Конец лекции
52