Место и роль информационных технологий в экономической науке и практике

1. Место и роль информационных технологий в экономической науке и практике

1.
2.
3.
4.
5.
Области применения компьютерных технологии в
экономической науке и практике.
Формы применения информационных технологий в
процессе обучения.
Роль и формы применения компьютерных
технологий в научных исследованиях и
профессиональной деятельности.
Компьютерное моделирование как метод научного
исследования.
Понятие модели, формы представления и
реализации моделей, технология моделирования.
24.01.2017
1

2. Технология

Технология – применяемые средства,
последовательность, приемы, используемые
для преобразования исходного материала
(сырья) в конечный продукт.
Компьютерные технологии – это технологии,
применяемые для преобразования исходных
данных (информации) в полезную
информацию, т.е. это технология обработки
исходной информации и получения новой
информации.
Технической базой компьютерных технологий являются
современные вычислительные средства (ЭВМ) и средства
коммуникаций.
24.01.2017
2

3. 1. Области применения компьютерных технологии в экономической науке и практике

Образование
Развитие навыков
информационной
культуры
Использование
информационных
технологий в процессе
обучения
Компьютерная
поддержка других наук
Экономическая
наука
Практика
Решение задач учета
Решение задач
вычислительного
характера
Исследование
экономических
процессов на
моделях
(моделирование)
Подготовка к
профессиональной
деятельности
Решение задач
планирования
Решение
аналитических задач
Компьютерная подготовка
документов
Справочные системы
Автоматизированные
Информационные
системы
Взаимодействие с мировым информационным пространством
24.01.2017
3

4.

Использование информационных
технологий в процессе обучения
Применение электронных
учебных пособий и учебников
Использование дистанционных
технологий в образовании и
обучении
Автоматизированные
системы обучения
Автоматизированные
системы контроля знаний
Справочные
информационные системы
24.01.2017
4

5.

Компьютерная поддержка других
наук
Освоение компьютерной
технологии решения задач
экономической математики
Освоение компьютерной
технологии решения задач
статистики
Использование справочных
правовых систем по
дисциплинам цикла
правоведения
Освоение технологии
моделирования
экономических процессов
Освоение технологии
разработки информационных
моделей экономических
объектов
24.01.2017
5

6.

Подготовка к профессиональной
деятельности в области использования
информационных технологий в
экономике
Получение базовых знаний по
информатике и информационным
технологиям
Изучение и практическое освоение
прикладных экономических систем:
для решения задач бухгалтерского
учета
для решения задач анализа и
планирования
других практических задач
24.01.2017
6

7. Технологии применения MS Excel для решения экономических задач с использованием аналитических, табличных и графических моделей

Изучаемые вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Понятие модели, формы представления
Технологии выполнения операций с массивами и матрицами.
Модель Леонтьева.
Моделирование числовых последовательностей и рядов
Технологии исследования функций
Аппроксимация экспериментальных данных, уравнение линии
тренда
Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений. Баланс спроса и предложения
Численное дифференцирование и интегрирование. Предельные
показатели экономики
Технология разработки моделей для решения задач нахождения
условного экстремума. Транспортная задача линейного
программирования
Оптимизация портфеля ценных бумаг
24.01.2017
7

8. Модель

Модель – это прототип реального объекта, либо
процесса, который адекватно отражает те свойства
реального процесса или объекта, которые
существенны для решения задачи. Таким образом,
изучение одних сторон моделируемого объекта
осуществляется ценой отказа от отражения в модели
других его сторон.
Иными словами, модель – это такой объект, который в
процессе исследования замещает объект – оригинал
так, что его изучение дает новые знания об объекте –
оригинале.
24.01.2017
8

9. Модели, формы представления

Модели могут представляться
различными способами.
В экономической области чаще всего
используются модели представленные:
o в виде таблиц;
o в виде графиков;
o математическими зависимостями
(аналитически в виде формул);
o Статистически
24.01.2017
9

10. 1.Технологии выполнения операций с массивами и матрицами

Массив - это набор данных одного типа.
Массив в MS Excel может храниться в диапазоне ячеек.
Диапазон – адресуемая совокупность смежных ячеек в
области рабочего листа. В одной ячейке диапазона может
храниться один элемент данных массива.
MS Excel позволяет оперировать одномерными, двумерными
и трехмерными массивами, которые хранятся,
соответственно в одномерных, двумерных и трехмерных
диапазонах.
Одномерный и двумерный диапазоны создаются на одном
рабочем листе. Адресная ссылка на такой диапазон имеет
формат:
Имя_РЛ!Адрес_первой_ячейки : Адрес_последней_ячейки.
например, адресная ссылка на трехмерный диапазон
= Лист1:Лист2!$A$1:$B$4
24.01.2017
10

11.

Если массив содержит данные арифметического типа, то с
таким массивом можно выполнять арифметические
операции такие, как:
-операции, в которых в качестве операндов участвуют
массив и единственная переменная, например умножение
элементов массива на число;
-операции, в которых в качестве операндов участвует
двумерный массив и одномерный массив, например,
почленно - построчное умножение;
-операции, в которых участвуют массивы одинаковой
размерности.
Например, массивами в электронной таблице задаются
значения векторов и матриц.
Операции над массивами указываются комбинацией клавиш
<Ctrl>+<Shift>+<Enter>
24.01.2017
11

12. Пример скалярного произведения векторов

Скалярное произведение выполняется с векторами одинаковой размерности.
Для вычисления произведения нужно перемножить значения одноименных
координат и полученные результаты сложить.
Пример суммирования (вычитания матриц)
24.01.2017
12

13. Встроенные функции для работы с матрицами

Русифицированное имя
функции
Англоязычное имя
функции
Выполняемое действие
МОБР (параметр)
MINVERSE (parametr)
обращение матрицы
МОПР (параметр)
MDETERM (parametr)
вычисление определителя
матрицы
МУМНОЖ (список
параметров)
MMULT (parametrlist)
умножение матриц
Параметрами приведенных функций могут быть адресные ссылки на массивы,
содержащие элементы матриц, или имена диапазонов, например
МОБР (А1: B2), или МОПР (матрица_1).
24.01.2017
13

14. Технология вычисления произведения матриц

Произведение матриц может быть вычислено, если количество столбцов
умножаемой матрицы равно количеству строк матрицы множителя.
Если А=(аij) m x n, и B=(bij) n x p, то матрица С, полученная
умножением матрицы А на матрицу В будет иметь размер m x p, а
каждый ее элемент будет равен сумме произведений i-й строки
матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
cij =ai1b1j+ai2b2j+ …aipbpj =
, i=1, 2, …, m; j= 1, 2, …, n.
Пример умножения матриц
24.01.2017
14

15. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Система линейных уравнений в матричном виде может быть представлена в
виде: А х Х = В. В частном случае, когда число уравнений (m) в системе
равно числу неизвестных (n) - m=n, то решение такой системы можно найти
методом обратной матрицы в виде X=A-1 х B, где A-1 -матрица, обратная по
отношению к А.
Пример
24.01.2017
15

16. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов

В общем случае m может быть не всегда равно n. Возможны
три случая: m<n, m= n и m>n.
При решении задачи в электронной таблице удобнее
применить более общий подход - метод наименьших
квадратов.
Для этого обе части уравнения нужно умножить на
транспонированную матрицу системы : АтАХ=АтВ.
Затем обе части уравнения нужно умножить на (АтА)-1 .
Если матрица (АтА)-1 существует, то система определена.
С учетом того, что (АтА)-1АтА=Е, получаем решение системы в
виде Х=(АтА)-1 АтВ.
24.01.2017
16

17.

Пример применения метода наименьших квадратов
Требуется решить систему
Модель решения
24.01.2017
17

18. Решение систем линейных уравнений с использованием инструмента Поиск решения

Концепция решения системы с использованием этого
инструмента заключается в поиске таких значений
аргументов целевой функции, при которых функция
принимает нужное значение при заданных ограничениях.
Т.е. решается задача математического программирования.
В качестве целевой функции при этом выступает одно из
уравнений системы. Оставшиеся уравнения выполняют
роль ограничений.
Инструмент Поиск решения использует итерационный
алгоритм по методу сопряженных градиентов. Точность
решения определяется задаваемой относительной
погрешностью.
24.01.2017
18

19.

Пример для случая m=n
24.01.2017
19

20.

Пример для случая, когда m<>n
24.01.2017
20

21.

Приложение технологии использования матриц в макроэкономике
Технология исследования линейной модели многоотраслевой
экономики Леонтьева
Известно, что рациональное функционирование многоотраслевого хозяйства
предполагает соблюдение баланса между отраслями. Каждая отрасль
многоотраслевого хозяйства является, с одной стороны, производителем
определенной продукции, а с другой — потребителем
продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования
многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и
потреблению между отдельными отраслями.
Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й
отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме
балансовые соотношения имеют вид
xi = xi1 + xi2 + … + xin + yi , i = 1, 2, …, n,
где xi — общий объем выпускаемой продукции i-й отрасли;
xij — объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве
объема продукции xj;
yi — объем продукции i-й отрасли конечного потребления (для реализации в
непроизводственной сфере).
24.01.2017
21

22.

Для производства продукции j-й отрасли объемом xi нужно использовать
продукцию i-й отрасли объемом aijxi , где аij — постоянное число, характеризующее
прямые затраты.
Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики (модель
Леонтьева) в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет
вид x = Ax + y, (А= П/xт, П- матрица потребления),
где x— вектор валового выпуска;
y— вектор объема продукции конечного потребления;
A — матрица коэффициентов прямых затрат.
Приведенная система уравнений может быть представлена в виде
(E – A)x= y,
где E — единичная матрица.
Если существует обратная матрица (E – A)–1 (матрица полных затрат), то
существует единственное решение системы x = (E – A)–1 y.
Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы
А:
— матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
(E – A)–1 существует и ее элементы неотрицательны;
— матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов
по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, причем хотя бы для одного
столбца (строки) строго меньше единицы.
24.01.2017
22

23. Пример

В таблице приведены данные по балансу за некоторый период времени между пятью
отраслями
№ Отрасль
Потребление
1
2
3
4
5
Конечный
Продукт
(потребляе
мый самой
отраслью)
Валовой выпуск
1
Станкостроение
15
12
24
23
16
10
100
2
Энергетика
10
3
35
15
7
30
100
3
Машиностроение
10
5
10
10
10
5
50
4
Автомобильная
промышленность
10
5
10
5
5
15
50
5
Добыча и
переработка
углеводородов
7
15
15
3
3
50
100
Требуется найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а
также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить ее
продуктивность
24.01.2017
23

24. Решение

24.01.2017
24

25. 2. Моделирование числовых последовательностей и рядов

Числовые последовательности представляют собой множества чисел. Если
каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …, n…поставлено в
соответствие вещественное число xn, то множество чисел x1, x2, x3, …,xn …
называют числовой последовательностью. Числа x1, x2, x3, …,xn называют,
членами последовательности, элемент xn- общим элементом, а число n –его
номером.
Таким образом, последовательность представляет собой множество
пронумерованных элементов. Последовательность задана, если известен
способ получения любого ее элемента. Последовательность обозначается
символом {xn}. Например, символ {1/n}обозначает последовательность
чисел 1, 1/2, 1/3, 1/4, …, 1/n. В общем случае для создания массива
элементов последовательности нужно выполнить следующие действия:
1. Создать массив, содержащий множество чисел натурального ряда;
2. Ввести в ячейку формулу последовательности, делая в ней адресные ссылки
на ячейки, содержащие номера элементов последовательности
3. Скопировать введенную формулу во все другие ячейки массива.
24.01.2017
25

26. Пример создания последовательности {1/n}, и последовательности {n/(n+1)}.

Для создания наиболее часто встречающихся последовательностей,
таких как арифметическая или геометрическая прогрессия,
табличный процессор имеет специальный инструмент “Прогрессия”,
который включается командой меню Правка - Заполнить Прогрессия.
24.01.2017
26

27. Технология вычисления пределов числовых последовательностей

Технологию приближенного вычисления предела числовой последовательности
рассмотрим на примере. Пусть требуется найти предел числовой
последовательности
Решение
Технология моделирования числовых рядов
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2 , …, un…,
соединенных знаком сложения:
Ряд считается заданным, если известен его общий член un=f(n). Сумма n первых
членов ряда называется частичной суммой ряда. Для вычисления частичной
суммы ряда в электронной таблице нужно выполнить следующие шаги:
1. Вычислить n первых членов числовой последовательности
2. Вычислить сумму членов числовой последовательности
24.01.2017
27

28. Моделирование функциональных рядов

В отличие от числовых рядов членами функционального ряда являются
функции. Ряд, составленный из функций одной и той же переменной х:
называется функциональным.
Функциональные ряды находят практическое применение в финансовых
вычислениях. Например, в задаче о сложных процентах при вкладе в банк U0
денежных единиц с ежегодной выплатой х процентов годовых,
функциональный ряд годовых приростов будет иметь вид:
U0+U0x + U0(1+x)x +…+U0(1+x)n-1x +…=U0(1+x)n
Для вычисления частичных сумм этого ряда в библиотеке Excel есть
специальная функция с именем БЗ. Кроме того, есть несколько функций,
предназначенных для вычисления различных параметров такого ряда. Так
функция КПЕР позволяет вычислить число членов ряда n по его частичной
сумме, Функция ПЗ вычисляет начальное значение U0 при заданном числе
членов ряда n, частичной сумме ряда и величине процентной ставки.
24.01.2017
28

29. 3. Исследование функций

Способы задания функций
Функция может быть задана таблично, в виде графика
или аналитически. Табличный способ задания
функций имеет широкое распространение в
различных областях знаний и приложениях:
экспериментальных измерениях, таблицах
бухгалтерской отчетности и банковской
деятельности, статистических данных и т.п. В
табличном представлении одна из переменных
представляется как независимая, другие величины
будут являться функциями этого аргумента. На
рисунке приведен пример табличного задания
функции.
Каждому значению независимой переменной Х
соответствует значение функции Y, записанное в
той же строке таблицы.
Графическое представление функции, позволяет
наглядно представить характер функции.
Аналитический способ задания функции заключается
в задании связи между аргументом в виде формулы
или системы формул, например Y= x2.
24.01.2017
29

30. Графики функций в табличном процессоре

Если функциональная зависимость задана таблично или аналитически, то в ряде случаев
бывает целесообразно для исследования функциональной зависимости представить ее
графически. График - это графическое отображение характера зависимости значения
функции от значения ее аргумента. Графики функций и диаграммы в Excel создаются с
помощью мастера диаграмм, который включается командой меню Вставка Диаграмма или щелчком на соответствующей кнопке панели инструментов. График
(диаграмма) представляет собой составной объект, который может включать несколько
объектов
В их число входят:
• область диаграммы - объект, в котором
могут размещаться все другие объекты
диаграммы;
• область построения диаграммы объект, в котором размещаются ряды и
линии сетки;
• ось категорий (аргумента);
• ось значений;
• область названия оси категорий;
• область названия оси значений;
• область заголовка диаграммы;
• область легенды.
24.01.2017
30

31. Численное вычисление пределов функций

В математике для нахождения пределов функций применяются
специальные приемы, в частности такой, как разложением числителя
и знаменателя на сомножители и некоторые другие. Используя
электронную таблицу, можно применить следующую технологию:
. В ячейку рабочего листа ввести формулу, соответствующую
выражению функциональной зависимости, в которой значение
аргумента указывается адресной ссылкой на ячейку, которая содержит
аргумент
В ячейку, предназначенную для записи аргумента функции, ввести
число, максимально близкое к точке, в которой вычисляется предел
функции.
Пример. Найти предел функции
Решение
24.01.2017
31

32. Нахождение корней функции одной переменной

Корнями функции Y=f(x) называют такие значения х, при которых
функция принимает значение ноль. Используя возможности MS
Excel можно находить корни функции в ограниченной области
определения переменной х. Последовательность операций
нахождения корней следующая:
1.
Производится табулирование функции в диапазоне вероятного
существования корней.
2.
По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям
корней.
3.
Используя средство MS Excel Подбор параметра, вычисляются
корни уравнения с заданной точностью.
Например, требуется найти все корни функции Y=X3-0,01X20,7044X+0,139104=0 на отрезке [-1 ; 1]. Функция представлена
полиномом третьей степени, следовательно, она может иметь не
более трех корней. Для локализации начальных приближений
необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых
значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет
знак.
С этой целью табулируем функцию на отрезке [–1;+1] с шагом 0,2,
получим табличные значения функции
24.01.2017
32

33.

Выполним команду меню Сервис - Подбор параметра. В диалоговом окне заполните
следующие поля:
Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула
правой части функции.
Значение: в поле указывается значение, которому должно удовлетворять значение
функции, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0).
Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается
формула. После щелчка на ОК получим значение первого корня: -0,92. Выполняя
последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных
корней: -0,209991 и 0,720002.
24.01.2017
33

34. Нахождение локальных экстремумов функции

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого
отрезка локальный экстремум, то его можно найти, используя
надстройку Excel Поиск решения. Рассмотрим последовательность
нахождения экстремума функции на примере.
Задана неразрывная функция Y= X2+X +2. Требуется найти ее экстремум
(минимальное значение) на отрезке [-2, 2].
Решение
24.01.2017
34

35. Графическое решение систем уравнений

Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно
решены графически. Решением такой системы является точка
пересечения кривых на графике. Для решения системы необходимо
выполнить следующие действия:
Представить уравнения системы в виде функций.
Табулировать полученные функции в области вероятного
существования решения
Построить график.
Найти точку пересечения, навести указатель мыши на точку
пересечения и щелкнуть левой кнопкой, после чего появится надпись
с указанием искомых координат.
Пример. Найти графически приближенное решение системы
в диапазоне значений х [0,2;3] с шагом 0,2.
24.01.2017
35

36. Решение

24.01.2017
36

37. Интерполяция и аппроксимация экспериментальных данных в электронной таблице

На практике часто бывает необходимым получить
аналитическую формулу для функциональной
зависимости, полученной экспериментально и
представленной в виде таблицы. С этой целью
полученные экспериментальные данные
интерполируют.
Интерполяцией называется нахождение значения
таблично заданной функции в тех точках внутри
данного интервала, где она таблично не задана.
Иначе говоря, это процесс подбора приближенной
эмпирической формулы Q(х) для полученной на
основе экспериментальных данных функциональной
зависимости f(x), приближенно заменяющей
исходную и проходящую через все заданные точки.
С помощью полученной функции можно рассчитать
искомое значение исходной функции в любой точке,
в том числе при таких значениях аргумента, при
которых она не задана таблично.
24.01.2017
37

38.

Задачей аппроксимации является построение приближенной
(аппроксимирующей) функции наиболее близко проходящей около
данных точек или около заданной непрерывной функции. Подбор
аналитической формулы сводится к вычислению входящих в нее
параметров таким образом, чтобы из всех функций такого вида
выбрать ту, которая наилучшим образом описывает зависимость
между изучаемыми величинами. Подбираемая эмпирическая
функция в зависимости от характера экспериментальных данных
может быть следующих видов:
1.
Линейная (Y=ax + b ) обычно применяется в тех случаях, когда
экспериментальные данные изменяются относительно постоянно
2.
2. Полиноминальная ( y= a0 + a1x +a1x2 + …+ anxn) – используется
для описания экспериментальных данных, попеременно
возрастающих и убывающих.
3.
3. Логарифмическая (Y= a lnx + b ), где а и b –
константы, применяется для описания экспериментальных данных,
которые первоначально быстро возрастают или убывают, а затем
постепенно стабилизируются
4.
4. Степенная ( y = bxa ), где a и b – константы – используется для
аппроксимации экспериментальных данных, скорость изменения
которых постоянно увеличивается или уменьшается
5.
5. Экспоненциальная ( y = beax), где a и b константы, применяется
для описания экспериментальных данных, которые быстро
возрастают или убывают, а затем стабилизируются.
24.01.2017
38

39. Пример

Имеются сведения о величинах
страховых выплат по годам,
представленные в таблице. Требуется
исследовать характер изменения
величины страховых выплат и
подобрать интерполяционную
функцию.
Год
Сумма страховых
выплат
1999
150000
2000
200000
2001
300000
2002
450000
2003
450000
2004
420000
Решение
Интерполяционная
функция
y = -9259,3x3 + 6E+07x2 1E+11x + 7E+13,
Достоверность
R2 = 0,9818.
24.01.2017
39

40. Приложения в экономике. Кривые спроса и предложения, точка равновесия

Известно, что чем ниже цена (p), тем больше спрос (D) при постоянной
покупательной способности населения. Обычно зависимость спроса
от цены имеет вид ниспадающей линии, чаще всего
приближающейся к прямой: D= -ap + c.
В свою очередь, предложение растет с увеличением цены на товар и
выражается зависимостью S=bp+d. Для экономики представляет
интерес условие равновесия спроса и предложения. Если
зависимость спроса от цены определяется функцией D=f(p), а
зависимость предложения от цены – S =Q(p), то условие равновесия
определяется уравнением: f(p)= Q(p) и соответствует точке
пересечения кривых D и S. Цена Р0, при которой выполняется это
условие, называется равновесной.
Таким образом, задача нахождения равновесной цены сводится к
решению системы двух уравнений. Решение может быть получено
графически.
24.01.2017
40

41. Технология решения систем нелинейных уравнений

Приближенно с заданной относительной погрешностью систему
нелинейных уравнений можно решить, используя инструмент Поиск
решения. Для решения системы уравнений нужно выполнить операции:
1. Выделить рабочие ячейки для неизвестных переменных и ввести в них
какие - либо числовые значения переменных из предполагаемой области
их определения.
2. В рабочих ячейках записать формулы каждой из функций, составляющих
систему в терминах табличного процессора.
3. Включить инструмент Поиск решения. В поле Установить целевую
ячейку указать адресную ссылку на ячейку, в которой записана формула
одной из функций системы. Установить переключатель Значению и в
соответствующем поле ввести числовое значение ноль. В поле Изменяя
ячейки указать адресную ссылку на диапазон ячеек, которые определены
для вычисления неизвестных переменных. На вычисляемые значения в
других ячейках, содержащих формулы оставшихся функций, наложить
ограничения на равенство нулю. Выполнить решение.
24.01.2017
41

42. Пример решения системы нелинейных уравнений

Требуется решить систему уравнений:
2/x - y +2 = 0
x2 - y + 1 = 0
Решение.
1. Полагаем, что результат решения будет вычисляться в ячейках В4 и С4.
Введем в эти ячейки какие-либо числовые значения из области определения,
например значение 1.
2. В ячейки B6 и B7 введем формулы уравнений системы.
3. Включим инструмент Поиск решения и настроим параметры модели, как
показано на рисунке.
4. Выполним решение.
24.01.2017
42

43.

Решение
24.01.2017
43

44. 6. Численное дифференцирование и интегрирование. Технологии решения экономических задач Вычисление производной функции одной переменной

Численными приближенными методами производная функции в заданной точке может
быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для
вычисления производной функции одного переменного, записанное в конечных
разностях, имеет вид:
При достаточно малых приращениях х, можно с приемлемой точностью получить
величину производной Для вычисления производной в MS Excel будем использовать
приведенную зависимость. Рассмотрим методику вычисления производной на примере.
Пусть требуется найти производную функции Y= 2x3 + x2 в точке x= 3.
Решение
24.01.2017
44

45. Применение в экономике Вычисление предельных показателей

Известно, что себестоимость продукции зависит от производимого объема.
C=f(Q). Предельная себестоимость характеризует себестоимость (дельта С)
прироста продукции (дельта Q):
Пример: Зависимость издержек производства от объема выпускаемой
продукции в денежных единицах выражается формулой C=20Q – 0,05Q3.
Требуется определить предельные издержки производства при объеме
выпускаемой продукции 10 ден.ед
Решение.
24.01.2017
45

46. Вычисление эластичности экономических показателей

В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса. Под
эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены
товара на один процент.
D1 ( P)
E ( D) P
D( P)
Пример. Спрос на товар определяется формулой D(P)=100-3P Требуется определить
эластичность спроса при цене на товар Р= 20 ден. ед.
Решение
24.01.2017
46

47. Численное вычисление определенных интегралов

Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько
методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления
определенного интеграла по методу трапеций используется формула:
Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице
основана на построении табличных значений подинтегрального выражения
для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь
приближенное значение интеграла
24.01.2017
47

48.

Пример. Требуется вычислить определенный интеграл
Решение
Рассмотренный метод может давать существенные погрешности вычисления,
зависящие от величины шага и вида подинтегральной функции. Для более точного
вычисления следует использовать технологии, позволяющие уменьшить шаг
интегрирования.
24.01.2017
48

49. Точные методы вычисления определенного интеграла

Можно предложить две технологии вычисления определенного интеграла с
малой относительной погрешностью.
Первая основана на использовании аппарата циклических ссылок и
итераций табличного процессора, вторая – на основе использования
созданного приложения Visual Basic For Application.
Применение этих технологий позволяет задавать достаточно малый шаг
интегрирования, что увеличивает точность вычислений.
Для решения задачи с помощью циклических ссылок нужно выполнить
операции:
— определить, на сколько интервалов нужно разбить диапазон
интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их
количество в виде числа итераций. Положим, для решения нашей задачи
достаточно 10 000 интервалов;
— выполнить команду меню Сервис/Параметры, в закладке Вычисления в
диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций ввести
число 10 000. Если установлен флажок Итерации, то
выключить его. Закрыть диалоговое окно Параметры;
—в ячейки рабочего листа ввести исходные данные и формулы
для вычислений.
24.01.2017
49

50.

Можно было заметить, что технология точного вычисления
определенного интеграла с использованием циклических ссылок MS
Excel достаточно сложна. Поэтому в некоторых случаях целесообразно
создать приложение для решения этой задачи.
24.01.2017
50

51. Пример приложения

Исходными данными для вычисления определенного интеграла являются:
— формула подынтегральной функции;
— адрес ячейки, на которую ссылается формула (аргумент функции);
— значения нижнего и верхнего пределов интегрирования.
Создадим форму пользователя, выполняющую роль диалогового окна, подобную
приведенной на рисунке.
24.01.2017
51

52.

Элементы управления, размещенные в форме, имеют следующие свойства:
24.01.2017
52

53. Листинг кода программы

Private Sub ОК_Click()
‘ Процедура вычисления
Dim delta As Double ‘ Переменная, хранящая шаг интегрирования
Dim f1 As Double ‘ Переменная для хранения значения функции на предыдущем
шаге
Dim s As Double ‘ Переменная для накопления сумм площадей элементарных
фигур
Dim c As Integer ‘ Переменная для хранения количества шагов delta = 0.001 ‘
Константа величины приращения
‘ Вычисляем количество шагов интегрирования
c = CInt((CDbl(VP.Text) – CDbl(NP.Text)) / delta) – 1
‘ В ячейку, содержащую аргумент функции, вводим величину нижнего
предела
Range(arg.Value).Value = NP.Value
‘ Выделяем ячейку с формулой функции
Range(fun.Value).Select
s=0
24.01.2017
53

54.

‘Выполняем цикл
For i = 1 To c
‘ Запоминаем значение функции
f1 = ActiveCell.Value
‘ Вычисляем значение функции на следующем шаге, вычисляем
«площадь элементарной фигуры и накапливаем сумму
Range(arg.Value).Value = Range(arg.Value).Value + delta
s = s + f1 * delta + (Range(fun.Value).Value – f1) * delta / 2
Next
‘ В ячейку рабочего листа выводим результат
Range(rez.Value).Value = s
End
End Sub
Private Sub CommandButton2_Click()
‘ Процедура завершения
End
End Sub
Sub Интеграл()
‘ Макрос для запуска приложения
“ Интеграл макрос
“ Макрос записан 24.03.2008 (Мельников)
‘ Вызываем диалоговое окно
Integral.Show
End Sub
24.01.2017
54

55. 7.Технология разработки моделей для решения задач оптимизации

Постановка задачи оптимизации
Основной целью экономики является рациональное функционирование
хозяйствующих субъектов или, иначе говоря, оптимальная деятельность при
ограниченных ресурсах. Поэтому в экономической области существует
широкий класс задач оптимизации, или, как их еще называют,
экстремальных задач. В задачах оптимизации вычисляются значения
параметров некоторой функции y=f(x1,x2,…,xn), при которых она принимает
экстремальное значение (максимальное или минимальное) и при условии,
что на эти параметры наложены ограничения. Эту функцию называют
целевой функцией, а набор количественных значений между переменными,
выражающих определенные требования к параметрам экономической задачи
в виде уравнений или неравенств называют системой ограничений.
Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения
на ее аргументы, называют математической моделью экономической задачи
оптимизации.
Если целевая функция линейна и на ее аргументы наложены линейные
ограничения, то такую задачу оптимизации называют задачей линейного
программирования.
24.01.2017
55

56. Последовательность разработки и решения

На основе постановки задачи и уяснения ее экономической сути, разрабатывается
математическая модель, аналитически представляющая целевую функцию и функции
ограничений.
2.
Ввод исходных данных и формул, реализующих математическую модель в электронную
таблицу.
3.
Настройка параметров инструмента Поиск решения и его применение для решения задачи
4.
Анализ результатов, оценка устойчивости.
Пример: Фирма производит два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления
мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на
1 кг готового продукта и их суточные запасы приведены в таблице.
1.
Исходный продукт Расход исходных продуктов на 1 кг
мороженого
Запас, кг
Сливочное
Шоколадное
Молоко
0,8
0,5
400
Наполнители
0,4
0,8
365
Суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг.
Кроме того известно, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная
цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного – 14 ден. ед.
Требуется определить в каком количестве мороженого каждого вида должна производить фирма,
чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
24.01.2017
56

57. Математическая модель

Введем обозначения: x1 – суточный объем производства сливочного мороженого,
х2 - суточный объем производства шоколадного мороженого. Исходя из
условия задачи целевая функция будет иметь вид
Ограничения
Формализация математической модели в электронной таблице
24.01.2017
57

58.

Ввод данных в окне Поиск
решения
Настройка параметров
инструмента Поиск решения
24.01.2017
58

59.

Результат решения
Настройка окна Результаты поиска и решения для получения подробного отчета
с оптимальным решением прямой и двойственной задачи
24.01.2017
59

60.

Анализ результатов
Отчет по устойчивости1 для оптимальных решений прямой и двойственной задачи
и оценка предельной эффективности выпускаемой продукции
Устойчивость оптимального решения прямой задачи
Устойчивость оптимального решения двойственной задачи
24.01.2017
60

61.

Прямая задача:
Нормированная стоимость - рассчитаны при текущих двойственных оценках ресурсов
ожидаемые потери по эффективности при выпуске соответствующей единицы продукции. По
обоим видам продукции потери по эффективности нулевые;
Допустимое увеличение (уменьшение) -Максимально возможные увеличения (уменьшения)
цен соответствующих продуктов при сохранении цен на другие продукты, которые не приведут
к изменению вычисленной производственной программы
Например цена сливочного мороженого может быть увеличена на 6,4 руб. (до 22,4) или
уменьшена на 9 руб. (до 7 рублей)
Диапазон изменения цены сливочного мороженого (7 - 22,4) является диапазоном устойчивости
найденных оптимальных выпусков продукции;
Двойственная задача:
Теневая цена - оптимальные двойственные оценки соответствующих ресурсов сырья.
(предельная эффективность каждого килограмма);
Допустимое увеличение (уменьшение) - максимально возможные увеличения (уменьшения)
запасов соответствующих ресурсов при сохранении неизменными запасов других ресурсов,
которые не приведут к изменению текущих оптимальных двойственных оценок (диапазон
устойчивости).
24.01.2017
61

62.

Оценка предельной эффективности сырья ( на примере молока) в диапазоне 0 - ∞
Диапазон устойчивости по запасу молока (395,42 - 432,08).
Для оценки предельной эффективности нужно получить решения при значениях за
границами диапазона устойчивости.
Оценим эффективность 394- го литра молока. Изменим соответствующее ограничение
в модели задачи, решим ее вновь.
При предельной эффективности 23,07 диапазон постоянства предельной эффективности
запаса молока составит 0,41- 395, который содержит 395 кг. молока.
24.01.2017
62

63.

Оценим предельную эффективность 434 - го литра молока. Изменим соответствующее
ограничение в модели задачи, решим ее вновь.
Диапазоном постоянства предельной эффективности 0 будет диапазон изменения запаса
молока 432 - ∞ который содержит 434 литр молока.
24.01.2017
63

64. Технология решения транспортной задачи линейного программирования

Целью транспортной задачи является планирование наиболее рациональных путей и
способов транспортировки товаров. В сущности технология решения транспортной
задачи линейного программирования в электронной таблице практически ничем не
отличается от технологии решения других оптимизационных задач
Пример. На складах А1, А2, А3 имеются запасы товаров в количествах 90, 400 и 110
т соответственно. Грузополучатели В1, В2, В3 должны получить эти товары в
количествах 130, 300, 160 т соответственно. Требуется найти такой вариант
перевозки грузов, при котором сумма затрат на перевозки будет минимальной.
Расходы по перевозке 1 т грузов в у.е. приведены в таблице
Грузополучатели
Склад А1
Склад А2
Склад 3
В1
2
5
2
В2
4
1
5
В3
3
6
8
24.01.2017
64

65.

Математическая модель
Введем обозначения
x11- количество товара перевозимое грузополучателю В1 со склада А1;
x12 - количество товара перевозимое грузополучателю В1 со склада А2;
x13- количество товара перевозимое грузополучателю В1 со склада А3;
x21- количество товара перевозимое грузополучателю В2 со склада А1;
x22 - количество товара перевозимое грузополучателю В2 со склада А2;
x23 - количество товара перевозимое грузополучателю В2 со склада А3;
x31 - количество товара перевозимое грузополучателю В3 со склада А1;
x32 - количество товара перевозимое грузополучателю В3 со склада А2;
x33 - количество товара перевозимое грузополучателю В3 со склада А3.
Тогда целевая функция будет иметь вид:
L = 2 x11+5x12 + 2 x13 + 4x21 + x22 +5x23 +3 x31 +6 x32 + 8x33 - min
При
ограничениях
24.01.2017
65

66. Представление математической модели в табличном процессоре

24.01.2017
66

67. Результат

24.01.2017
67

68. Оптимизация портфеля ценных бумаг в среде MS Excel

Известно, что цена продажи акций A, B и C до начала предстоящего месяца
составляет 34,30; 74,87; 107,00 руб.
В распоряжении инвестора имеется капитал 73 тыс. руб.
Инвестора интересует вопрос, акции какого эмитента и в каком количестве
следует приобрести по сегодняшнему курсу продажи, чтобы с минимальным
риском получить в предстоящем месяце доход от портфеля не менее 55,41% на
вложенный капитал. Ретроспектива динамики курсов:
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Курс А
130
85
53,5
35,42
31,44
34,74
33,4
40,96
35,01
35,89
Див. от А
1,2
2,86
48,2
23,94
4,96
0,04
11,3
20,82
1,33
0,26
Курс В
66
64,19 64,19 61,37
51,88
65,85
88,9
77,57
56,68
65,14
Див от В
0,05
4,71
56,95
20,96
34,5
0,03
73,12
12,7
14,59
Курс С
48
60,95 60,95 58,23
50,38
51,87
72,1
105,95 73,14
89,94
Див. от С
19,42 16,71 7,24
2,24
30,32
50,8
114,84 25,2
25,59
24.01.2017
7,53
47,11
68

69.

Технологическая последовательность компьютерного решения задачи
1. Экономико– статистический анализ данных
a) Ввод данных на рабочий лист
b) Расчет рядов эффективности ценных бумаг
c) Расчет оценок средней эффективности по каждой бумаге
d) Расчет отклонений эффективности каждой ЦБ от своего среднего
e) Расчет ковариации
2. Составление математической модели оптимизации портфеля ценных
бумаг
3. Формализация математической модели на рабочем листе
4. Составление компьютерного аналога математической модели с
помощью инструмента Поиск решения и выполнение расчетов
5. Экономическая интерпретация результатов
24.01.2017
69

70.

24.01.2017
70

71.

Математическая модель инвестора
Найти Х= (Х1, Х2, Х3);
Z=0,1244X1X2+2*0,02X1X2+2*0,0123X1X3+0,1311X2X2+2*0,0056X2X3+0,1312X3X3 → min
При ограничениях:
0,1632X1+0,3734X2+0,5742X3=>0,5541;
X1+X2+X3<=1;
X1>=0; X2>=0; X3>=0;
24.01.2017
71

72.

Составление компьютерного аналога математической модели с помощью
инструмента Поиск решения и выполнение расчетов
Вывод: инвестору следует вложить
10% капитала в акции эмитента В и
90% капитала – в акции эмитента С
24.01.2017
72