Углы. Измерение углов

1.

УГЛЫ. 7 КЛАСС
Презентация к §5 учебника
«Геометрия. 7-9 классы»
И.М. Смирновой и В.А. Смирнова
Измерение величин углов
ВЕДУЩИЙ: Смирнов Владимир Алексеевич, профессор, доктор физико-математических
наук, заведующий кафедрой элементарной математики МПГУ, автор учебников
по геометрии для 5-6 7-9 и 10-11 классов
E-mail: [email protected]
Сайт: vasmirnov.ru

2.

5а. Измерение величин углов

3.

За единицу измерения углов обычно принимается угол,
составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.
Считают, что величина этого угла равна одному градусу,
обозначают 1о.
Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в
один градус и его части укладываются в этом угле.
Для измерения величин углов применяют различные
инструменты, простейшим из которых является известный вам
транспортир.

4.

Астролябия
Одним
из
первых
угломерных
инструментов
была
астролябия, изобретенная Гиппархом
(180-125
гг.
до
н.
э.)
и
усовершенствованная
немецким
ученым Региомонтаном (1436-1476).
Она состояла из тяжелого медного
диска - лимба, который подвешивался
за кольцо так, чтобы он висел
вертикально и линия Г1Г2 принимала
горизонтальное положение. По краю
лимба наносилась шкала, разделенная
на градусы. Кроме этого, на лимбе
имелась полоса А1А2, называемая
алидадой, которая могла вращаться
вокруг центра лимба и имела на
концах поперечные пластинки с
отверстиями,
называемыми
диоптрами.

5.

Квадрант
Другим инструментом для
измерения углов был квадрант,
представляющий собой одну
четвертую часть астролябии.
Квадрант имел то преимущество
перед астролябией, что его
можно было сделать значительно
больших размеров и тем самым
увеличить точность измерения
углов.

6.

Теодолит
Наиболее
совершенным
угловым
инструментом,
применяющимся в настоящее время
для выполнения геодезических работ,
является теодолит, состоящий из двух
лимбов,
расположенных
в
вертикальной
и
горизонтальной
плоскостях, что позволяет измерять
вертикальные и горизонтальные углы
одновременно.
На вертикальном
лимбе имеется зрительная труба, с
помощью
которой
алидады
вертикального и горизонтального
лимбов
наводятся
на
объект
наблюдения. Точность измерения
углов при этом составляет доли
минуты.

7.

Для нахождения величины угла в программе GeoGebra нужно
выбрать инструмент «Угол» с изображением угла. Затем левой кнопкой
«мыши» нужно последовательно нажать на его стороны. На экране появится
искомая величина данного угла.

8.

Вопрос 1
Что принимается за единицу измерения
величины угла?
Ответ: За единицу измерения
углов принимается угол, составляющий
одну
сто
восьмидесятую
часть
развернутого угла.

9.

Вопрос 2
Что такое: а) градус; б) минута; в)
секунда?
Ответ: а) Одна сто восьмидесятая
часть развернутого угла;
б) одна шестидесятая часть
градуса;
в) одна шестидесятая часть
минуты.

10.

Вопрос 3
Что показывает градусная величина
угла?
Ответ: Градусная величина угла
показывает, сколько раз угол в один градус
и его части укладываются в данном угле.

11.

Вопрос 4
Каким свойствам удовлетворяет
градусная величина угла?
Ответ: Градусная величина угла
удовлетворяет следующим свойствам:
Свойство 1. Градусные
равных углов равны.
величины
Свойство 2. Градусная величина
суммы углов равна сумме их градусных
величин.

12.

Упражнение 1
На рисунке найдите величины углов:
а) AOB;
б) AOC;
в) AOD;
г) BOC;
д) BOD;
е) COD.
Ответ: а) 60о; б) 90о; в) 130о; г) 30о; д) 70о; е) 40о.

13.

Упражнение 2
Найдите
величину
угла
изображенного на рисунке:
а)
Ответ: а) 120о; б) 100о.
б)
AOB,

14.

Упражнение 3
На клетчатой бумаге изобразите углы,
равные: а) 30о; б) 45о; в) 60о; г) 120о; д) 135о;
е) 150о. Проверьте правильность Вашего
изображения с помощью транспортира.

15.

Упражнение 4
Изобразите углы, равные данным на
рисунке. С помощью транспортира найдите
их приближенную градусную величину.
Ответ: а) 45о; б) 90о; в) ~117о.

16.

Упражнение 5
Луч ОС лежит внутри угла АОВ,
равного 60о. Найдите угол АОС, если он
на 30о больше угла ВОС.
Ответ: 45о.

17.

Упражнение 6
Луч ОС лежит внутри угла АОВ,
равного 45о. Найдите угол АОС, если он в
два раза больше угла ВОС.
Ответ: 30о.

18.

Упражнение 7
Луч ОС лежит внутри угла АОВ,
равного 120о. Найдите угол АОС, если он
на 30о меньше угла ВОС.
Ответ: 45о.

19.

Упражнение 8
Луч ОС лежит внутри угла АОВ,
равного 120о. Найдите угол ВОС, если он
в три раза больше угла AОС.
Ответ: 90о.

20.

Упражнение 9
Какой угол образуют биссектрисы
вертикальных углов?
Ответ: 180о.

21.

Упражнение 10
Чему равен угол, образованный
биссектрисами смежных углов?
Ответ: 90о.

22.

Упражнение 11
Угол AOB равен
смежный с ним угол?
Ответ: 142о.
38о.
Чему
равен

23.

Упражнение 12
Угол AOB равен 120о. Чему равен
смежный с ним угол?
Ответ: 60о.

24.

Упражнение 13
Один из смежных углов на 45о
меньше другого. Найдите эти углы.
Ответ: 67о30’ и 112о30’.

25.

Упражнение 14
Найдите смежные углы, если
один из них в два раза больше
другого.
Ответ: 120о, 60o.

26.

Упражнение 15
Ответ: 85о.

27.

Упражнение 16
Ответ: 99о.

28.

Упражнение 17
Один из углов, которые получаются
при пересечении двух прямых, равен 30о.
Чему равны остальные углы?
Ответ: 30о, 150o, 150o.

29.

Упражнение 18
Сумма трёх углов, образованных при
пересечении двух прямых, равна 306о.
Найдите больший из них.
Ответ: 126o.

30.

Упражнение 19
Сумма трёх углов, образованных при
пересечении двух прямых, равна 300о.
Найдите меньший из них.
Ответ: 60o.

31.

Упражнение 20
Найдите меньший из четырёх углов,
образованных при пересечении двух
прямых, если сумма двух из этих углов
равна 280о.
Ответ: 40o.

32.

Упражнение 21
Найдите
величину
изображённых на рисунке.
Ответ: 270o.
суммы
углов,

33.

Упражнение 22
Найдите
величину
изображённых на рисунке.
Ответ: 90o.
суммы
углов,

34.

Упражнение 23
Может ли сумма трёх углов, образовавшихся
при пересечении двух прямых, быть равной 150о?
Ответ: Нет.

35.

Упражнение 24
Сумма трёх углов, образованных
при пересечении двух прямых, равна
306о. Найдите эти углы.
Ответ: 126о, 126o, 54o.

36.

Упражнение 25

37.

Упражнение 26
Найдите сумму углов, изображённых на
рисунке, с вершинами C, D, E.
Ответ: 45о.

38.

Упражнение 27
Найдите сумму углов, изображённых на
рисунке, с вершинами C, D, E, F, G.
Ответ: 45о.

39.

5б. Практические задачи

40.

Упражнение 1
Колесо имеет восемь спиц. Чему
равен угол между соседними спицами?
Ответ: 45о.

41.

Упражнение 2
Колесо имеет 18 спиц. Найдите
величину угла (в градусах), который
образуют две соседние спицы.
Ответ: 20о.

42.

Упражнение 3
Колесо имеет 12 спиц. Найдите
величину угла (в градусах), который
образуют две соседние спицы.
Ответ: 30о.

43.

Упражнение 4
Колесо имеет 20 спиц. Найдите
величину угла (в градусах), который
образуют две соседние спицы.
Ответ: 18о.

44.

Упражнение 5
Сколько спиц в колесе, если углы
между соседними спицами равны 18о?
Ответ: 20.

45.

Упражнение 6
Сколько зубцов имеет колесо зубчатой
передачи, если дуга окружности этого колеса,
заключенная между двумя соседними
зубцами, равна 12о?
Ответ: 30.

46.

Упражнение 7
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 10 мин?
Ответ: 60о.
повернётся

47.

Упражнение 8
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 5 мин?
Ответ: 30о.
повернётся

48.

Упражнение 9
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 20 мин?
Ответ: 120о.
повернётся

49.

Упражнение 10
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 25 мин?
Ответ: 150о.
повернётся

50.

Упражнение 11
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 45 мин?
Ответ: 270о.
повернётся

51.

Упражнение 12
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 40 мин?
Ответ: 240о.
повернётся

52.

Упражнение 13
На
сколько
градусов
минутная стрелка за 50 мин?
Ответ: 300о.
повернётся

53.

Упражнение 14
На сколько градусов повернётся часовая
стрелка за 20 мин?
Ответ: 10о.

54.

Упражнение 15
Какой угол образуют часовая и минутная
стрелки в 1 ч 30 мин?
Ответ: 135о.

55.

Упражнение 16
Какой угол образуют часовая и минутная
стрелки в 2 ч 20 мин?
Ответ: 50о.

56.

Упражнение 17
Маленькое зубчатое колесо повернулось
по часовой стрелке на 360о. На сколько
градусов и в какую сторону повернётся
сцепленное с ним большое зубчатое колесо?
Ответ: 180о против часовой стрелки.

57.

Упражнение 18
Правое зубчатое колесо повернулось по
часовой стрелке на 360о. На сколько градусов
и в какую сторону повернётся сцепленное с
ним левое зубчатое колесо?
Ответ: 540о по часовой стрелке.

58.

Упражнение 19
На сколько градусов повернётся Земля
вокруг своей оси за 8 часов?
Ответ: 120о.

59.

Упражнение 20
За сколько часов Земля повернётся
вокруг своей оси на 90о?
Ответ: 6.

60.

Упражнение 21
Для измерения углов артиллеристы
употребляют особую единицу, которую
называют тысячной. В трехстах шестидесяти
градусах содержится 6000 тысячных.
Сколько градусов составляют 100 тысячных?
Ответ: 6о.

61.

Упражнение 22
Окружность морских компасов делится
на 32 равные части, называемые румбами.
Сколько градусов составляют 4 румба?
Ответ: 45о.

62.

Упражнение 23
Под каким углом виден наблюдателю с
Земли диск Солнца? Укажите примерную
градусную величину этого угла.
Ответ: 0,5о.

63.

Упражнение 24
Под каким углом виден наблюдателю с
Земли диск Луны? Укажите примерную
градусную величину этого угла.
Ответ: 0,5о.

64.

Контактная
информация
Издательство «Мнемозина»:
105043, Москва, ул. 6-я Парковая, д. 29 Б
Тел.: 8 (499) 367–67–81
E-mail: [email protected]
Сайт: mnemozina.ru
Интернет-магазин: shop.mnemozina.ru
Торговый дом:
E-mail: [email protected]
Тел.: 8 (495) 644–20–26
Электронные формы учебников и пособий представлены
на сайте «Школа в кармане»:
http://pocketschool.ru