Динамические характеристики инжекционных лазеров. Модуляция излучения током накачки

1. Динамические характеристики инжекционных лазеров. Модуляция излучения током накачки

Вернемся к системе уравнений, описывающей баланс
концентрации носителей и плотности фотонов
dn
J
n
rst (n, m ) S m
dt e f
s m
dSm
Sm
rst (n, m )Sm
( Bn 2 )
dt
p

2. Задержка включения лазера

Рассмотрим реакцию лазера на резкое включение
тока накачки:
J
J(t=0) = 0 и J(t>0) > Jпор
Возьмем одно из уравнений баланса (для носителей):
J>Jпор
dn
J
n
v g (n, l ) Sl
dt e f
s
l
t
t=0
(пренебрегаем стимулированным излучением, т.к. в основном
мы интересуемся ситуацией ниже порога генерации)
Решение этого «укороченного» уравнения:
n
J s
t
1 exp( )
ef
s
n
Включение произойдет, когда концентрация n
достигнет порогового уровня, т.е. при n=nпор
nпор
J s
t
1 exp( d )
ef
s
n=nпор
td - время задержки включения
Окончательно получаем:
td s ln
J J пор
J
t=0
t= d
t

3. Оценка времени задержки включения и важные практические следствия из этого

Оценим время задержки включения:
Возьмем: τs = 10-9 сек - время спонтанной рекомбинации;
J =2 Jпор - двойное превышение порога генерации
d s ln
J J th
1
10 9 ln 0, 7 10 9 сек
J
2
Это очень большая задержка, т.к. обычно лазеры должны передавать сигналы (оптические импульсы)
длительностью ~ 100 псек (10 -10 сек ) и меньше !
Поэтому практически при передаче информационных оптических импульсов лазеры накачиваются так,
что «нулевой» уровень тока накачки устанавливается ВЫШЕ порога генерации лазера:
J
Jth
t
Тогда задержки нет и оптические импульсы передаются почти без искажений.

4. Малосигнальный анализ скоростных уравнений

Рассмотрим систему скоростных уравнений,
для простоты в одномодовом приближении:
dn
J
n
v g ( n) S
dt e f s
dS
S
n
v g (n) S
dt
p
s
Предположим, что ток накачки мы модулируем по закону:
Мы можем ожидать, что отклик будет иметь вид:
n(t)=n0+d n(t)
S(t)=S0+d S(t)
Здесь и в дальнейшем мы для
простоты положим 1
( n/ s Bn2 - приближение времени жизни)
J(t)=J0+d J(t) d J(t)<< J0
P
где d n(t) << n0
где d S(t)<< S0
Здесь n0 и S0 - есть решения стационарных
уравнений при токе накачки J0=const
В любой динамической системе отклик на малое
возмущение должен быть малым
(и линейным, т.е. воспроизводить вид функции возмущения) !
J

5. Лианеризация скоростных уравнений

Проще иметь дело с линейными системами дифференциальных уравнений.
Чтобы наша система уравнений стала линейной, надо поработать с функцией g(n).
Запишем:
g(n) = g(n0+dn) = g0+g’d n
где g0 = g(n0) и g’ = ∂g/∂n - называется
“дифференциальным усилением”
Тогда для произведения gS имеем:
g S = (g0+g’d n)( S0+d S) = g0 S0+g0 d S+g’S0 d n+....
Теперь подставим J(t)=J0+d J(t), n(t)=n0+d n(t) и S(t)=S0+d S(t) в скоростные уравнения
и получим:
d J
dn
d n
v ( g 0 d S g S 0d n)
ef
s
dS
dn
d S v ( g0 d S g S0d n)
p
s
- это линейная система по переменным δn и δS
d d n(t )
dt
.
. d d n(t )
dS
dt
d n

6. Гармоническая модуляция тока накачки

Рассмотрим случай гармонической (синусоидальной) модуляции тока накачки.
При этом обычно используют метод комплексных амплитуд:
d J(t) = j ei t , (j=const), где есть частота модуляции
Поскольку отклик любой системы на малое возмущение должен быть линейным,
мы должны получить:
d n = a( ) ei t , d S = b( ) ei t
где
a( ) и b( ) это комплексные амплитуды отклика
Подставляя все это в нашу систему уравнений получаем:
1
j
i vg S0 a( ) vg0 b( )
s
ef
Это система линейных алгебраических
уравнений относительно амплитуд
a(ω) и b(ω)
1
v g S 0 a( ) i vg0 b( ) 0
s
p

7. Гармонический отклик плотности электронов, n(ω)

Решим систему алгебраических уравнений относительно a(ω):
a( )
j
i
j
e f 02 2 i
ef
( 02 2 ) 2 2 2
= A(ω)
Здесь введены обозначения:
График частотной зависимости A(ω) :
exp i arctg ( 2
)
2
2
0
0
vg S0
p
- резонансная частота
A( )
= φa(ω)
1
s
v g S 0 - параметр затухания
Свойства функции A( ):
1/
1. При →0 A(ω)→0
потому что в статическом режиме концентрация
насыщена за порогом!
2. A(ω) достигает максимума точно на 0
поэтому 0 называется резонансной частотой
0
3. Макс. значение функции A( ) есть 1/ ,
поэтому называется параметром затухания.

8. Гармонический отклик плотности фотонов, b(ω)

Решим систему алгебраических уравнений относительно b(ω):
b( )
j p
ef
j p
02
02 2 i
ef
02
( 02 2 ) 2 2 2
= B(ω)
График частотной зависимости B( ) :
B( )
0
Bm
1
s
vg S0
p
exp i arctg ( 2
)
2
0
= φb(ω)
- резонансная частота
v g S 0 - параметр затухания
1
Малое затухание
m
Bm
0
1
2
1
4 02
2
m 0 1 2
2 0
< 2 0
Большое затухание
> 2 0

9. Зависимость параметров ω0 и γ от стационарной плотности фотонов S0

Однако параметры ω0 и γ на являются независимыми, они оба зависят от S0:
0
0
1
s
v g S0
vg S0
p
S0
Важно, что выражения для ω0 и γ приближенные, они верны для не слишком малых величин S0
S0
Обычно вводится понятие граничной частоты модуляции (ωгр). Это частота при
которой B( )=1/2. Можно показать, что:
гр 3 m
В хороших инжекционных лазерах, которые используются в системах оптической
связи, fгр> 10 GHz !

10. Частотные зависимости фаз a(ω) и b(ω)

j( )
фаза a( )
фаза b( )
/2
j a ( ) arctg (
0
0
/2
)
02 2 2
jb ( ) arctg (
)
2
2
0
Такое же поведение фаз мы имеем в
колебательном контуре:
C
L
В нашем случае резонансное поведение
определяется перераспределением энергии
между носителями и фотонами:
Носители
Фотоны

11. Эквивалентная схема инжекционного лазера

Наши обозначения:
Вернемся к исходной системе уравнений:
d J
dn
(*)
d n
v g 0 d S v g S 0d n
ef
s
dS
d n (**)
d S v ( g0 d S g S0d n)
p
s
Подставляя (***) в (*) получаем:
(за порогом это
малая добавка)
v g S 0
i d n d n v g 0
dn
ef
i
dS
d J
R-1
C
vg S0
v g S0d n
1
i ( v g 0 )
p
Cp
Ri
(***)
(за порогом это
малая величина)
2
Cb
~
en
dn
dV
bkT
2
s
Lb
Найдем связь между δn и δV исходя из
обычного выражения для p-n перехода:
2
1
Из (**) получим:
d J
eV
1
n n0 exp
b kT
d S i d S
d n i d n
(
)
Лазер
e fn
e fn
e fn
1
dV
(i ) d V
v 2 g 0 g S0
dV
bkT
bkT
bkT
i
L
Имеем параллельное соединение сопротивления, емкости и индуктивности!

12. Свободные колебания в системе «носители-фотоны» (релаксационные колебания)

Вопрос: Какой будет реакция излучения лазера на
небольшую по амплитуде «ступеньку» тока накачки?
( δJ<< J )
Важно: после прохождения «ступеньки», т.е. при t>0,
ток не меняется во времени
Для нахождения отклика вернемся к исходной системе,
но без вынуждающей силы, т.е. положим j=0:
1
i vg S0 a( ) vg0 b( ) 0
s
1
v g S 0 a( ) i vg0 b( ) 0
s
p
J
δJ<< J
Jпор
t
t=0
S
Релаксационные колебания
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение
имеет вид:
a(ω), b(ω)
e λt
где λ есть корень характеристического уравнения, которое
получатся из уравнения det=0 заменой iω λ :
0
2
2
0
t
2
1, 2 i 0 1 2
2
4 0
Отклик имеет вид колебаний, которые
происходят на резонансной частоте и
затухают с инкрементом γ/2

13. Эквивалентная схема инжекционного лазера

Наши обозначения:
Вернемся к исходной системе уравнений:
d J
dn
(*)
d n
v g 0 d S v g S 0d n
ef
s
dS
d n (**)
d S v ( g0 d S g S0d n)
p
s
Подставляя (***) в (*) получаем:
(за порогом это
малая добавка)
v g S 0
i d n d n v g 0
dn
ef
i
dS
d J
R-1
C
vg S0
v g S0d n
1
i ( v g 0 )
p
Cp
Ri
(***)
(за порогом это
малая величина)
2
Cb
~
en
dn
dV
bkT
2
s
Lb
Найдем связь между δn и δV исходя из
обычного выражения для p-n перехода:
2
1
Из (**) получим:
d J
eV
1
n n0 exp
b kT
d S i d S
d n i d n
(
)
Лазер
e fn
e fn
e fn
1
dV
(i ) d V
v 2 g 0 g S0
dV
bkT
bkT
bkT
i
L
Имеем параллельное соединение сопротивления, емкости и индуктивности!

14. Свободные колебания в системе «носители-фотоны» (релаксационные колебания)

Вопрос: Какой будет реакция излучения лазера на
небольшую по амплитуде «ступеньку» тока накачки?
( δJ<< J )
Важно: после прохождения «ступеньки», т.е. при t>0,
ток не меняется во времени
Для нахождения отклика вернемся к исходной системе,
но без вынуждающей силы, т.е. положим j=0:
1
i vg S0 a( ) vg0 b( ) 0
s
1
v g S 0 a( ) i vg0 b( ) 0
s
p
J
δJ<< J
Jпор
t
t=0
S
Релаксационные колебания
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение
имеет вид:
a(ω), b(ω)
e λt
где λ есть корень характеристического уравнения, которое
получатся из уравнения det=0 заменой iω λ :
0
2
2
0
t
2
1, 2 i 0 1 2
2
4 0
Отклик имеет вид колебаний, которые
происходят на резонансной частоте и
затухают с инкрементом γ/2

15. За пределами одномодового приближения

Отклик лазера на резкое включение тока
накачки (численное решение):
Важные выводы:
Интенсивность, отн. ед.
1. При подаче тока концентрация носителей растет,
лазер включается (с задержкой), после чего идут
затухающие колебания концентрации носителей.
2. Затухающие колебания плотности фотонов
(интенсивности) всех продольных мод происходят
синхронно.
3. Хорошо виден сдвиг фаз колебаний концентрации
носителей и плотности фотонов в модах.
Время, нс
ne - концентрация носителей в активном слое
S0 - центральная мода в спектре излучения лазера
S±1 - две ближайшие боковые моды
S±2 - следующие две боковые моды … и т.д.

16. «Чирп» или уширение спектральных линий в режиме гармонической модуляции

Явление “чирп” (“chirp” - чирикание) связано с динамическим изменением
показателя преломления в резонаторе лазера под действием измененяющейся
во времени концентрации носителей в активном слое лазера.
Условие определяющее длину волны
продольной моды с индексом «m»:
m
m
2N
L
d m
2 L N
dn
m n
N
0
n
Под действием гармонического изменения тока накачки
J(t) = J0+ δJ(t) где δJ(t)= j ei t
отклик концентрации носителей
n(t) = n0 + δn(t) где δn(t)= a( ) ei t
m+1
Это приводит к уширению каждой линии в спектре излучения лазера появляются гармоники сдвинутые на частоту модуляции тока накачки.
λm
λ

17. Реакция излучения лазера на импульсы тока накачки и импульсный чирп

1. Форму отклика на импульс тока накачки
можно найти прямым решением скоростных уравнений
P
импульс тока
накачки
2. Время нарастания и спада интенсивности
света в импульсе:
τ 1/ 4 fгр
t
fгр - граничная частота модуляции
3. Период осцилляций интенсивности
T 2π/ω0
m
4. Импульсный чирп:
t
1 P
P t