Решение уравнений tgx=a. Понятие арктангенса числа

1. Решение уравнений tgx=a. Понятие арктангенса числа.

Преподаватель математики СПб СВУ МО РФ
Лошак В.С.

2.

АРКТАНГЕНС ЧИСЛА
m-ось тангенсов
tg
О
1
А
В
C
K
1
m
подобен ОВС
AК OC
AК BC
BC
OК
OК OC
OAК
AК sin
OК cos
OC 1
sin
BC
cos
BC tg

3.

АРКТАНГЕНС ЧИСЛА
tg
1
О
В
равен ординате
Тангенс числа
точки пересечения оси тангенсов
и прямой, соединяющей точку,
на
изображающую число
единичной окружности, с началом
координат.
C
1
m
BC tg
m
0
tg

4. Уравнение tgx=a

a
tgx a, a R
1
arctga
0
1
m
x k , k Z.
x arctga k , k Z .

5. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА

Определение. Арктангенсом числа a
называется такое число ; ,
2 2
тангенс которого равен a.
tg arctga a, a R
2
arctga
2
,

6. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА

• Например
3
arctg
;
6
3
arctg 0 0;
arctg1 ;
4
т.к.
т.к.
т.к.
3
; tg
.
2 6 2
6
3
2
2
0
4
2
2
; tg 0 0.
; tg
4
1.

7.

АРКТАНГЕНС ЧИСЛА
Основные формулы
tg arctga a, arctga ; , a R.
2 2
arctg a arctga
arctg tg , ;
2 2
1
cos arctga
2
1 a

8. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

1
а
arctga
1
arctg a arctga
0
-а
arctga
m

9. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

1
cos
2
1 tg
arctga ;
arctga
2 2
1
1
cos arctga
1 tg 2 (arctga)
1 a2

10. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

• Вычислите:
1
3
2arctg1 3arctg
2 3arctg
3
4
3
3 0
2
6 2 2
2 3
1
6 4
2. 6arctg 3 4 arcsin
3
4
2
3
3
3. 3arctg 2 arccos 3 2
6
6
3
2
1.
5
7
2
2
6
6

11. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

tg arctga a
• Например
5 5
4.
tg arctg 3 3
5. tg arctg
3 3
1
1
6. sin arctg
sin
3
6 2
1
1
1
7. cos arctg
26
2
5
1
25
1
5
5
26
5
25
26
26
26
1
cos arctga
1 a2

12. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

Вычислите:
2
5
7. cos 5 arctg 1 cos cos cos
4
2
4
4
1
1
1
3
8. ctg arctg
1
1
3 tg arctg
3
3
1
ctg
tg
1
1
2
tg
arctg
2
1
4
2
9. tg 2arctg
2
1
3
2 1 tg 2 arctg 1 1
4
2
tg 2
2tg
1 tg 2

13. АРКТАНГЕНС ЧИСЛА Основные формулы

• Вычислите:
10.
11.
arctg tg
7 7
arctg tg , ;
2 2
2
5
arctg tg arctg tg
7
7
2
2
2
arctg tg arctg tg
7
7
7

14. Уравнение tgx=a

a
tgx a, a R
1
arctga
0
1
arctga
m
x arctga k , k Z .

15. Уравнение tgx=a

• Пример 1.
3
tgx
3
3
x arctg
k
3
x k , k Z .
Пример 2.
tg 2 x 4
2 x arctg 4 k
1
k
x arctg 4 , k Z .
2
2
6
Ответ: k , k Z .
6
1
k
Ответ: 2 arctg 4 2 , k Z .

16. Уравнение tgx=a

• Пример 3.
tg 2 x 3;
4
2x
4
3
k ;
7
2 x k ;
12
Ответ:
3
ctg 2 x
4 3
2x
4
2x
arctg 3 k ;
3
4
k ;
7
k
x , k Z.
24
2
7
k
, k Z.
24
2