Теория вероятностей и математическая статистика

1. Острикова Дарья Юрьевна, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей

Теория вероятностей и
математическая статистика
Острикова Дарья Юрьевна,
к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной
информатики и теории вероятностей
13.12.2021
Теория вероятностей и математическая статистика

2.

Условная вероятность.
Независимость событий.
Формула сложения вероятностей.
Формула умножения вероятностей.
13.12.2021
Теория вероятностей и математическая статистика

3.

Определение условной вероятности
Независимость событий
Опр. Условной вероятностью события А при условии
события B (причем P(B)≠0) называется
P AB
P A | B
.
P B
Опр.1. События А и В называются независимыми, если
P A | B P A .
Опр.2. События А и В называются независимыми, если
P AB P A P(B).
Утверждение. Если события А и В являются независимыми, тогда
независимыми также являются события:
а ) A и В;
б ) A и В;
в) A и В.
3

4. Независимость событий в совокупности

Опр. События А1, А2, …, Аn называются независимыми в
совокупности, если вероятность пересечения любых двух различных
событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность
пересечения любых трех событий равна произведению их вероятностей;
…; вероятность пересечения всех событий равна произведению
вероятностей.
4

5. Пример, показывающий, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности

5

6. Пример, показывающий, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности

6

7. Теоремы умножения вероятностей

7

8. Теоремы сложения вероятностей (1/2)

8

9. Теоремы сложения вероятностей (2/2)

9

10.

Пример на применение теорем сложения и
умножения вероятностей (1/2)
10

11.

Пример на применение теорем сложения и
умножения вероятностей (2/2)
11

12.

Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
13.12.2021
Теория вероятностей и математическая статистика

13. Формула полной вероятности (1/2)

Пусть в результате опыта может произойти одно из n событий,
обладающих свойствами:
1) события несовместны, т.е.
Hi Hj = , i ≠ j.
2) события составляют полную группу событий, т.е.
H1 H 2 ... H n .
Опр. События, удовлетворяющие свойствам
1) и 2), называются гипотезами.
13

14. Формула полной вероятности (2/2)

Пусть имеется некоторое событие А и известны вероятности
P( H1 ), P( H 2 ), ..., P( H n ), P( A | H1 ), P( A | H 2 ), ..., P( A | H n ).
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле
P A P H1 P A | H1 P H 2 P A | H 2 ...
... P H n P A | H n .
14

15.

Задача на формулу полной вероятности
15

16. Формула Байеса

Пусть опыт завершён, и известно, что в
результате опыта произошло событие A. Тогда
можно с учётом этой информации переоценить
вероятности гипотез:
P H i P A | H i
P H i | A
P H 1 P A | H 1 P H 2 P A | H 2 ... P H n P A | H n
16

17.

Задача на формулу Байеса
17

18.

Вопросы
13.12.2021
Теория вероятностей и математическая статистика