Similar presentations:
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса
1. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теорема 9. (Вейерштрасса)Всякая возрастающая числовая последовательность
{xn} имеет предел: конечный, если она ограниченна сверху, и
бесконечный, если она неограниченна сверху, причем
lim
xn sup{x }.
n
n
Аналогично, если {xn} – убывающая последовательность, то
существует (конечный или бесконечный) предел
lim
xn inf{ x },
n
n
и, следовательно, этот предел конечен,
если
последовательность ограниченна снизу, и бесконечный, если
она неограниченна снизу.
1
Бер Л.М Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009
2. КРИТЕРИЙ КОШИ
Теорема 10 (Критерий Коши).Для того чтобы последовательность {xn}
сходилась к конечному пределу, необходимо и
достаточно, чтобы
N m, n N x x .
m
n
Последовательность, удовлетворяющая этому
условию
называется
«фундаментальной
последовательностью» или последовательностью,
«сходящейся в себе».
2
Бер Л.М Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009
3. Функции
Определение. Если каждому элементу х из множества X поопределённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент
у из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция f.
Обозначение: f : X Y или у = f(x).
Способы задания функции:
словесный,
аналитический,
табличный,
графический.
Определение. Пусть функция y = f(x) определена на множестве X, а
функция z = (y) определена на множестве Y, причём область значений
функции f содержится в области определения функции . Функция z
= (f(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или
суперпозицией функций y = f(x) и z = (y).
Обозначение: f, или (f) = (f (x)), - внешняя, f – внутренняя
функция.
3
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
4. Основные элементарные функции
Постоянная у = с, с – const (константа);степенная функция у = x , R;
показательная функция у = ах, а > 0, а 1;
логарифмическая функция у = log a x, а > 0, а 1;
тригонометрические функции
у = sin x, у = cos x, у = tg x, y = ctg x;
обратные тригонометрические функции
у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.
4
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
5. Основные элементарные функции
5Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
6. Основные элементарные функции
6Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
7. Основные элементарные функции
7Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
8. Основные элементарные функции
8Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
9. Классификация функций
Все функции, получаемые с помощью конечного числаалгебраических действий над основными элементарными функциями, а
также суперпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс
элементарных функций.
n
Функция вида
Pn ( x) ai x n i
i 0
где
, называется целой рациональной функцией
или алгебраическим многочленом (полиномом) степени n. Многочлен
первой степени называется также линейной функцией.
Функция, представляющая собой отношение двух целых
рациональных функций
P ( x)
y f ( x) n
Qm ( x)
называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональной
функцией образует класс рациональных функций.
9
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
10. Классификация функций
Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной функцией,называется иррациональной функцией.
Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется
трансцендентной.
Трансцендентными в частности являются функции:
Секанс: y = sec x, где sec x = 1/cos x.
Косеканс: y = cosec x, где cosec x = 1/sin x.
Синус гиперболический: y = sh x = (ex – e–x)/2.
Косинус гиперболический: y = ch x = (ex + e–x)/2.
Тангенс гиперболический: y = th x = (ex – e–x)/ (ex + e–x).
Котангенс гиперболический: y = cth x = (ex + e–x)/ (ex – e–x).
Секанс гиперболический: y = sch x = 2/ (ex + e–x).
Косеканс гиперболический: y = csch x = 2/ (ex – e–x).
10
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
11. Спасибо за внимание
LOGOСпасибо за внимание
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
11