Решение треугольников. Теорема синусов и косинусов

1.

Подготовил ученик 9А класса
МОУ СОШ №1 п. Селижарово
Федичев Дмитрий
Преподаватель математики
Андреева Татьяна Владиславовна
Селижарово 2013

2.

Цель урока:
- Повторить теоремы синусов и косинусов
-Научиться решать задачи с применением
теоремы синусов и косинусов по готовым
чертежам.

3.

Теорема синусов
Стороны треугольника
пропорциональны
синусам противолежащих
углов
В
а
с
С
А
в
a
b
c
sin A sin B sin C

4.

Найдите x, y
N
x 11; y 4
x
8
x 8 2 ; y 4 2 (1 3 )
45°
M
30°
y
K
x 1; y
6
3

5.

Решение :
20
x
20 sin 45
x
sin 60 sin 45
sin 60
10 2 2 20 1,4
16,5
1,7
3
Найдите x, y
K 180 (45 60 ) 75
y
20
20 sin 75 20 0,96
y
22,3
sin 75 sin 60
sin 60
0,86
x ≈ 3,56 ; y = 6,4
K
20
45°
M
x ≈ 8,3 ; y = 5,7
x
60°
y
T
x ≈ 16,3 ; y = 22,3

6.

Решение :
B 90 15 75
CBA :
y
3
3 sin 15 1,7 0,3 0,51
y
0,5
sin 15 sin 75
sin 75
0,96
0,96
CDA : C 45 , A 15 , D 120
2
3
x
3
3 sin 45
2 2 1,4
x
sin 45 sin 120
sin 60
3
2
Найдите x, y
x ≈ 1,4 ; y ≈ 0,5
C
3
x ≈ 5,9 ; y ≈ 1,4
y
B
15°
D
x
CD – биссектриса
A
x ≈ 8,5 ; y ≈ 2,6

7.

Решение :
K : L : M 4 : 2 : 3
K L M 180
180 : 9 20 K 80 , L 40 , M 60
16
x
y
sin 80 sin 40 sin 60
16 sin 40 16 0,64
x
10,4
sin 80
0,98
16 sin 60 16 0,86
y
14
sin 80
0,98
Найдите x, y
x = 4,6 ; y = 3,4
M
x = 10,4 ; y = 14
16
x
x = 1,3 ; y = 9,2
L
y
K
K : L : M 4 : 2 : 3

8.

Решение :
Имеем : AD DC , ADB , sin sin( 180 )
а)
AD
x
x sin 45
AD
sin 45 sin
sin
CD
14
14 sin 30
2) DBC :
CD
sin 30 sin( 180 )
sin
7 2
x sin 45 14 sin 30 x
7 1,4 9,8
2
б)
1) ABD :
Найдите x, y
AD
y
2 AD
14
;2)
sin 45 sin A sin 75 sin A
AD sin A y sin 45
AD sin A 7 sin 75
1)
y sin 45 7 sin 75 y
B
x = 4,7 ; y = 7,3
7 sin 75 7 0,96
9,6
sin 45
0,7
x = 5,6 ; y = 7,9
x
45°
30°
14
y
A
D
x = 9,8 ; y = 9,6
C

9.

Теорема косинусов
В
а
с
С
α
А
в
а 2 с 2 в 2 2св соs
Квадрат стороны
треугольника равен сумме
квадратов двух других
сторон минус удвоенное
произведение этих сторон
на косинус угла между
ними.
<=>
с2 в 2 а 2
соs
2св

10.

Ответьте на вопросы:
Чему равен cos α если:
α = 90°; => cosα = 0
0°< α < 90° => cos ‹ 0
90° < α < 180° => cosα › 0

11.

1
Напомним:
cosα = - cos(180°-α)
cos 50°≈ 0,84
Найдите: Х
M
x
16
30.4
K
18
N
30.8
31

12.

2
Найдите: Х
R
4
7
S
10
5°
x
T
7°
18°

13.

3
Найдите: Х
B
х
13
45°
A
5
C
9
7

14.

6
ABCD-параллелограмм
Найдите: Х
B
9
C
x
6
60°
A
D
17
63
9

15.

10
Решение :
AB 400 225 25 y 21
202 252 152 400 625 225
cos B
0,8
2 20 25
50 20
x 2 202 212 2 20 21 0,8
Найдите: x y
841 672 169 x 13
X=21 y=13
C
20
15
A
x
4
D
B
y
X=17
y=26
Х=13
y=21

16.

12
Решение :
3
x : y 3: 8 x y
8
3
3
422 y 2 ( y ) 2 2 y 2 cos 60
8
8
7 2
7
2
42 ( y ) y 42
8
8
42 8
3 48
y
48 x
18
7
8
42
x:y = 3:8
Найти: x y
X=14 y=49
X=18 y=48
x
y
X=52 y=36

17.

5
Решение :
36 144 100 80 5
2 6 12
144 9
81 25
56 2 14
sin Q
81
81
9
cos Q
QN=12
Найдите: x y
x
6
4 14
x
sin Q sin 90
3
MKN прямоуголь ный
y 2 100
y
16 14
224 676
100
9
9
9
676 26
9
3
M
4 14
1. x=
3
10
6
2. x=
3
14
3. x=
18
5
x
Q
K
y
N
26
y= 3
y=
7
15
y=
13
4

18.

Литература:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. Геометрия 7-9 кл., М.
«Просвещение», 2011г.
2. Э.Н. Балаян. Геометрия: задачи на готовых
чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ 7-9 классы,
Ростов-на-Дону «Феникс», 2013г.