Раздел V. Дифференциальное исчисление
Определение производной
Определение производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Дифференциал функции
Таблица производных простейших элементарных функций
Правила дифференцирования
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Пример
867.00K
Category: mathematicsmathematics

Дифференциальное исчисление

1. Раздел V. Дифференциальное исчисление

• Определение производной
• Геометрический и механический смысл
производной
• Дифференциал функции. Основные
правила дифференцирования
• Таблица производных элементарных
функций
Насырова Р.Т.

2. Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение
x0 x (a; b)
x :
Найдем соответствующее приращение функции:
y f ( x0 x) f ( x0 )
y
Если существует предел
f(x0+ Δx )
f(x 0 )
y
x
0
х 0 x 0 +Δx х
y
lim
x 0
x
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
y ;
f ( x );
dy
dx

3. Определение производной

Итак, по определению:
f ( x x ) f ( x )
y lim
x 0
x
Производной функции в
точке x0 называется предел
отношения приращения
функции ∆y к вызвавшему его
приращению аргумента ∆x в
этой точке при ∆x→0.
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a; b), называется дифференцируемой в этом интервале;
операция нахождения производной функции называется
дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:
y ( x0 );
f ( x0 );
y x
0
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс,
то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический
смысл производной.

4. Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой две точки М и М1:
y
М1
f(x0+ Δx )
f(x0 )
α φ
0
y
М
x
х0 x0+Δx х
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
y
tg
x
f ( x0 x ) f ( x0 )
x
При x 0 в силу непрерывности функции y также
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается
по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
lim lim tg tg
x 0
x 0

5. Геометрический смысл производной

f ( x0 x) f ( x0 )
lim
tg k y
x 0
x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к
y которой равна x.
графику функции y = f(x) в точке, абсцисса
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y 0 кf '((xx-0 )(
x 0x)- x 0 )
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
называется нормалью к кривой. f ' ( x 0 )
k норм
1
1
1
y y0
( x x0 )
k кас
f ' ( x0 )
f ' ( x0 )

6.

Механический смысл производной
Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль
координатной оси. При этом задан закон движения точки:
координата x движущейся точки – это известная функция времени x(t).
В течение интервала времени от t0 до t0+∆t точка
перемещается на расстояние
Средняя скорость точки
находится по формуле:
При ∆t→0 значение средней скорости стремится к определённой
величине, которая в физике называется мгновенной
скоростью
материальной точки в момент времени .
Следовательно, для мгновенной скорости можно записать
формулу
Если сравнить эту формулу с формулой производной, то можно
сделать вывод, что cкорость – это производная координаты по
времени

7. Дифференциал функции

Дифференциал функции – это произведение
производной
и приращения аргумента
Здесь
Из
α
β
.
можно записать
где β – угол наклона касательной АС
к оси ОХ.
Но если
, то
.
Дифференциал CD равен сумме
отрезков BС и BD (приращение
функции).
Но, если
, то и отрезок
Значит, дифференциал отличается
от производной на бесконечно малую
величину.

8. Таблица производных простейших элементарных функций

9. Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором
интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C ) 0
(u v ) u v
(u v ) u v u v (C u ) C u
(u v w ) u v w u v w u v w
u u v u v
C
C
v
2
2
v
v
v
v

10. Правила дифференцирования

11. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную u x в точке x а
функция y = f(u) имеет производную y u в соответствующей точке
u , то сложная функция имеет производную y x , которая
находится по формуле:
y x y u u x
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов
несколько:
y f (u );
u (v );
v g( x )
y x y u uv v x
y f ( (g ( x )))

12. Пример

Вычислить производную функции
y cos(ln12 x )
Данную функцию можно представить следующим образом:
y cos u; u v 12 ; v ln x
y x y u uv v x
y u sin u sinv 12 sin ln12 x
u 12v 11 12 ln11 x
1
v
x
y sin ln12 x 12 ln11 x
Коротко:
y (cos(ln 12 x )) sin(ln 12 x ) (ln12 x )
sin(ln 12 x ) 12 ln11 x (ln x )
1
x

13.

Формирование подгрупп
происходит по методу
жеребьёвки
Подгруппа 1
Группа БТПп-15-21
Подгруппа 2
Даётся 2 минуты на
распределение
обязанностей внутри
подгруппы
Подгруппа 3
Подгруппа 4
Координатор (1)
• Распределяет задания, данные в пакете, внутри своей подгруппы между всеми участниками
• Отвечает сам на контрольные вопросы
Аналитик (1)
• Анализирует работу каждого участника своей подгруппы
• Выставляет каждому очки (от 0 до 10) в соответствии с критериями оценивания
Критик (1)
• Анализирует работу каждого участника соседней подгруппы (1 у 2, 2 у 3, 3 у 4, 4 у 1)
• Выставляет каждому очки (от 0 до 10) в соответствии с критериями оценивания
Исполнитель (5)
• Изучает содержимое теоретической части пакета
• Выполняют данную координатором работу для последующего ее представления проверяющим с
учётом требований
English     Русский Rules