Производная функции
Определение производной
Определение производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Пример
Пример
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование
952.50K
Category: mathematicsmathematics

Производная функции

1. Производная функции

Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование

2. Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение
x x (a; b )
x :
Найдем соответствующее приращение функции:
y f ( x x ) f ( x )
y
Если существует предел
f(x+ Δx )
y
f(x )
0
x
х
x+Δx
х
y
lim
x 0
x
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
y ;
f ( x );
dy
dx

3. Определение производной

Итак, по определению:
f ( x x ) f ( x )
y lim
x 0
x
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала
(a; b), называется дифференцируемой в этом интервале;
операция нахождения производной функции называется
дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:
y ( x0 );
f ( x0 );
y x
0
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс,
то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический
смысл производной.

4. Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
y
f(x+ Δx )
f(x )
М1
y
М
М
x
α φ
0
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
х
x+Δx
х
y
tg
x
f ( x x ) f ( x )
x
При x 0 в силу непрерывности функции y также
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается
по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.
lim lim tg tg
x 0
x 0

5. Геометрический смысл производной

f ( x x ) f ( x )
lim
tg k y
x 0
x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции y = f(x) в точке,yабсцисса
которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y 0 кf '((xx-0 )(
x 0x)- x 0 )
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
называется нормалью к кривой. f ' ( x 0 )
k норм
1
1
1
y y0
( x x0 )
k кас
f ' ( x0 )
f ' ( x0 )

6. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то
она непрерывна в ней.
Доказательство:
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой
точке х, следовательно существует предел:
y
y
lim
f ( x )
f ( x ) ( x )
x 0
x
x
где ( x ) 0 при x 0
По теореме о связи
функции, ее предела и
yбесконечно
0
y f ( x ) x ( x ) x lim
малой
x 0
Функция y = f(x) – непрерывна.
функции
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не
иметь производной.

7. Производные основных элементарных функций

n
1 Степенная функция: y x
n Z
Придадим аргументу x приращение x, тогда функция получит
приращение:
y x x x
n
n
Формула бинома Ньютона:
n(n 1) n 2 2
a b a na b
a b
2!
n(n 1) (n k 1) n k k
a b bn
k!
n
n
n 1
K – факториал
k! 1 2 3 k

8. Производные основных элементарных функций

По формуле бинома Ньютона имеем:
y x x x n
n(n 1) n 2 2
n
n 1
n
n
( x nx x
x x x ) x
2!
y
n(n 1) n 2
n 1
Тогда:
nx
x x x n 1
x
2!
y
n 1 n(n 1) n 2
n 1
lim
lim nx
x x x
x 0
x x 0
2!
n
nx n 1
x ' nx
n
n 1

9. Производные основных элементарных функций

2
Логарифмическая функция:
y ln x
x x
y ln x x ln x ln
ln 1
x
x
x
ln 1
1
y
x
x lim
lim
lim
lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
1
ln x '
x
x
x
1
x
x x
ln 1
~
x
x
Аналогично выводятся правила дифференцирования
при xдругих
0
основных элементарных функций.

10. Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором
интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C ) 0
(u v ) u v
(u v ) u v u v (C u ) C u
(u v w ) u v w u v w u v w
u u v u v
C
C
v
2
2
v
v
v
v

11. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную u x в точке x а
функция y = f(u) имеет производную y u в соответствующей точке
u , то сложная функция имеет производную y x , которая
находится по формуле:
y x y u u x
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов
несколько:
y f (u );
u (v );
v g( x )
y x y u uv v x
y f ( (g ( x )))

12. Пример

Вычислить производную функции
1 sin x
y 3
x ln x
1 sin x
y 3
x ln x
(1 sin x ) ( x 3 ln x ) (1 sin x ) ( x 3 ln x )
2
3
x ln x
(1 (sin x ) ) ( x 3 ln x ) (1 sin x ) (( x 3 ) ln x x 3 (ln x ) )
x
3
ln x
2
1
cos x x ln x (1 sin x ) (3 x ln x x )
x
2
3
x ln x
3
2
32

13. Пример

Вычислить производную функции
y cos(ln12 x )
Данную функцию можно представить следующим образом:
y cos u; u v 12 ; v ln x
y x y u uv v x
y u sin u sinv 12 sin ln12 x
u 12v 11 12 ln11 x
1
v
x
y sin ln12 x 12 ln11 x
Коротко:
y (cos(ln12 x )) sin(ln12 x ) (ln12 x )
sin(ln 12 x ) 12 ln11 x (ln x )
1
x

14. Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным
относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в
виде уравнения не разрешенного относительно y:
F ( x; y ) 0
Для нахождения производной неявно заданной функции
необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая
при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить
относительно производной.
x 3 y 3 3 xy 0
( x 3 ) ( y 3 ) 3( xy ) 0
3 x 2 3y 2 y 3( x y xy ) 0
x 2 y 2 y y xy 0
y x2
y 2
y x

15. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно
заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем
результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим
дифференцированием.
x 2 4 ( x 1)3 e x
x 2 4 ( x 1)3 e x
y
ln y ln
5
5
2x 5
2x 5
3
ln y 2 ln x ln( x 1) x 5 ln( 2 x 5)
4
y 2 3 ( x 1)
(2x 5)
1 5
y
x 4 x 1
2x 5
2 4
3
x
y 2
3
10
x
(
x
1
)
e
y
y
1
y
x 4x 4
2x 5
2x 5 5

16. Логарифмическое дифференцирование

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
Функция
y u( x )v ( x ) называется степенно – показательной.
Производная такой функции находится только с помощью
логарифмического дифференцирования.
y sin x
x 2 1
ln y ln sin x
x 2 1
ln y ( x 2 1) ln sin x
y
( x 2 1) ln sin x ( x 2 1) (ln sin x )
y
y
cos x
x 2 1
2
y 2x ln(sin x ) ( x 1)
y sin x
y
sin x
English     Русский Rules