Производная функции. Лекция 5

1. Производная функции

Производные высших порядков
Производные от функций, заданных
параметрически
Дифференциал функции
Геометрический смысл дифференциала
Основные теоремы о дифференциалах
Применение дифференциала в приближенных
вычислениях
Некоторые теоремы о дифференцируемых
функциях
Правило Лопиталя

2. Производные высших порядков

Производная y f (x ) функции y f (x ) есть также функция
от x и называется производной первого порядка.
Если функция f (x )
дифференцируема, то ее производная
называется производной второго порядка и обозначается:
y ;
f ( x );
d 2y
dx 2
Итак: y ( y )
Производная от производной второго порядка, если она существует
называется производной третьего порядка и обозначается:
y ;
f ( x );
d 3y
dx 3
Итак:
y ( y )
Производной n – ого порядка (или n – ой производной)
называется производная от производной n -1 - ого порядка.
y ( n ) ( y ( n 1) )

3. Производные высших порядков

Начиная от производной 4 порядка , производные обозначаются
римскими цифрами или цифрами в скобках:
или
y (5)
yv
- производная пятого порядка.
Вычислить производную n – ого порядка от функции: y ln( x 1)
x
1
y ln( x 1)
1
( x 1) 1
x 1
x 1
2
3
1
2
y
x
1
1
2
x
1
y x 1 1 x 1 ;
1 2 3 x 1
y 1 2 3 x 1 1 2 3 4 x 1
y
4
5
1 2 x 1
3
4
4
5
y n 1
n 1
n 1 ! x 1 n

4. Производные от функций, заданных параметрически

Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:
x x (t )
y y (t )
Производная первого порядка от этой функции
находится по формуле:
y t
y x
x t
Найдем производную второго порядка:
( y x ) t
y x ( y x ) x
xt
Аналогично получаем:
( y x ) t
y x ( y x ) x
xt
y
( 4)
x
( y x ) t
( y x ) x
xt
и т. д.

5. Производные от функций, заданных параметрически

Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:
x t 2
3
y
1
t
2
3
t
(1 t )
1.5t
yx
2
2t
(t )
( 1.5t )
( y x ) t
y x
(t 2 )
x t
3
1 .5
0.75t 1
2t
1
( y x ) t
(
0
.
75
t
)
y x
x t
(t 2 )
0.75t 2
3
3
2t
4t

6. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную
от нуля производную, следовательно существует предел:
y
y
lim
f (x) 0
( x ) ( x )
f
x 0 x
x
где ( x ) 0 при x 0
По теореме о связи
функции, ее предела и
бесконечно малой
y f ( x ) x ( x ) x
функции
Таким образом, приращение функции y представляет собой
сумму двух слагаемых: f ( x ) x и x , являющимися
бесконечно малыми при x 0 .
При этом первое слагаемое есть бесконечно – малая одного
порядка с x , так как:
f ( x ) x
lim
f ( x ) 0
x 0
x

7. Дифференциал функции

Второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого
порядка по сравнению с x , так как:
lim
x 0
( x ) x
x
(x) 0
Поэтому первое слагаемое f ( x ) x называют главной
частью приращения функции.
Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется
главная часть ее приращения:
dy f ( x ) x
Найдем дифференциал независимой переменной, то есть
функции y x :
Дифференциал
Дифференциал
функции
y x 1 dy dx x
Поэтому:
dy f ( x )dx
независимой
переменной
равен произведению
равен
приращению
этой
производной
функции
на
переменной
dy
дифференциал
независимой
f ( x ) переменной
dx

8. Геометрический смысл дифференциала

Проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x, y) касательную
Рассмотрим ординату
касательной для точки x+Δx.
Из прямоугольного треугольника
AВМ имеем:
y
М1
f(x+ Δx )
y
f(x )
dy
x
α
0
B
М
х
A
x+Δx
tg
х
AB
x
AB tg x
Согласно геометрическому смыслу производной, tg f (x )
AB f ( x ) x dy
Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению
ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x
получает приращение Δx.

9. Основные теоремы о дифференциалах

Теорема 1
Дифференциал суммы, разности, произведения и
частного двух дифференцируемых функций находится
по формулам:
d (u v ) du dv
d (u v ) v du u dv
Теорема 2
u
v du u dv
d( )
v
v2
Дифференциал сложной функции равен произведению
производной этой функции по промежуточному
аргументу на дифференциал этого промежуточного
аргумента.
y x y u u x y x dx y u u x dx
dy y u du
dy
Это свойство
du дифференциала
называют инвариантностью
(неизменностью) формы
дифференциала.

10. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Как известно, приращение функции можно представить в виде:
y f ( xdy
) x ( x ) x
Отбрасывая бесконечно малую ( x ) x более высокого порядка,
dy
чем x , получим приближенной
равенство:
y dy
Это равенство позволяет с большой точностью вычислять
приращение любой дифференцируемой функции.
Подставим в равенство выражения для приращения и
дифференциала функции:
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x
f ( x0 x ) f ( x0) f ( x0) x
Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в
точке x0+Δx, зная значение функции в точке x0.

11. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях

Вычислить приближенно:
arctg 1.05
Рассмотрим функцию: y arctg x
arctg ( x0 x ) arctg ( x0 ) arctg ( x0 ) x
Так как
x0 x 1.05
arctg 1
4
то
(arctg x )
x0 1 x 0.05
1
1 x 2
1
arctg (1.05) 0.05 0.81
4 2
(arctg x ) x 1
1
2

12. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля
(теорема о корнях производной)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b],
дифференцируема на интервале (a; b) и на концах интервала
принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется хотя бы
одна точка c (a; b ) , в которой производная обращается в ноль.
f (c ) 0
Геометрическая интерпретация:
y
f(а )= f(b )
0
а
с
b
Если функция удовлетворяет
условиям теоремы Ролля, то на
графике функции найдется хотя
бы одна точка, в которой
касательная к графику
х параллельна оси OX.

13. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Коши
(теорема об отношении приращений)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b],
дифференцируемы на интервале (a; b), причем g ( x ) 0 для
x (a; b ) ,то найдется холя бы одна точка c (a; b ) , такая,
что выполняется равенство:
f ( b ) f (a )
f (c )
g (b ) g (a ) g (c )
На графике функции найдется
хотя бы одна точка, в которой
касательная параллельна хорде
AB
Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)
y
Если функция f(x) непрерывна на
В
отрезке [a; b], дифференцируема
f ( b ) f (a )
на интервале (a; b) ,то найдется
А
хотя бы одна точка c (a; b ), в
которой выполняется равенство:
b a
f (b ) f (a ) f (c ) (b a )
0
а
с
b
х

14. Правило Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида
0
и
, который основан на применении производной.
0
Теорема
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки x0 и обращаются в ноль в этой точке:
f ( x0 ) g ( x0 ) 0 . Если существует предел
f ( x )
lim
A
x x 0 g ( x )
то
f (x)
f ( x )
lim
lim
A
x x0 g ( x )
x x 0 g ( x )
Теорема справедлива также в случае, если
lim f ( x ) lim g( x )
x x0
x x0

15. Правило Лопиталя

tg 3 x
3 cos 2 5 x
(tg 3 x )
lim
lim
lim
2
tg 5 x
x
x cos 3 x 5
x (tg 5 x )
2
2
2
2
3
cos 5 x 0
3
cos 5 x
lim
lim
2
5 x cos 3 x 0
5 x cos 3 x
2
2
2
2
3
cos 5 x 3
(cos
5
x
)
lim
lim
x (cos 3 x )
5 x cos 3 x
5
2
2
2
2
2
3 5
5
3
5 sin 5 x
lim
5 3
3
5 x 3 sin 3 x
2

16. Правило Лопиталя

lim cos 2x x 2 1
1
x 0
Обозначим:
Прологарифмируем равенство:
A lim cos 2x x 2
1
x 0
ln A ln lim cos 2x x 2
x 0
1
ln cos 2 x
0
ln A lim ln cos 2x x lim
2
x 0
x 0
x
0
2 sin 2 x
(ln cos 2 x )
tg 2 x
cos
2
x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x 0 2 x
x 0
( x )
2x
1
2
ln A 2 A e 2