Моделирование

1. Моделирование

1
Моделирование
§ 6. Модели и моделирование
§ 7. Системный подход в моделировании
§ 8. Этапы моделирования
§ 9. Моделирование движения
§ 10. Математические модели в биологии
§ 11. Системы массового обслуживания
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

2. Моделирование

2
Моделирование
§ 6. Модели и моделирование
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

3. Что такое модель?

Моделирование, 11 класс
3
Что такое модель?
модели чего?
автомобиль
!
Земля
кристаллическая
решётка
корабль
Моделей без оригинала не существует!
дом
оригиналы
Оригиналы:
• объекты (самолет, дом, ядро атома, галактика)
• процессы (изменение климата, развитие экономики)
• явления природы (землетрясения, цунами)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

4. Что такое модель?

Моделирование, 11 класс
4
Что такое модель?
?
Зачем нужны модели?
Нужно решить задачу, связанную с оригиналом, но:
• оригинал не существует
- древний Египет
- последствия ядерной войны (Н.Н. Моисеев, 1966)
• исследование оригинала дорого или опасно
- управление ядерным реактором (Чернобыль, 1986)
- испытание нового скафандра для космонавтов
- разработка нового самолета или корабля
• оригинал сложно исследовать
-
Солнечная система, галактика (большие размеры)
атом, нейтрон (маленькие размеры)
процессы в двигателе внутреннего сгорания (очень быстрые)
геологические явления (очень медленные)
• интересуют только отдельные свойства
- проверка краски для фюзеляжа самолета
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

5. Модели и оригиналы

Моделирование, 11 класс
5
Модели и оригиналы
оригинал
задача
модели человека
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
модель
материальная точка
http://kpolyakov.spb.ru

6. Модели и моделирование

Моделирование, 11 класс
6
Модели и моделирование
Модель – это объект, который обладает существенными
свойствами другого объекта, процесса или явления
(оригинала) и используется вместо него.
Моделирование – это создание и исследование моделей
с целью изучения оригиналов.
Задачи моделирования:
• исследование оригинала
• анализ («что будет, если …»)
• синтез («как сделать, чтобы …»)
• оптимизация («как сделать лучше всего …»)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

7. Виды моделей (по природе)

Моделирование, 11 класс
7
Виды моделей (по природе)
модели
материальные
информационные
знаковые
вербальные
графические
табличные
математические
логические
специальные
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

8. Виды моделей (по фактору времени)

Моделирование, 11 класс
8
Виды моделей (по фактору времени)
• статические – описывают оригинал в заданный момент
времени
силы, действующие на тело в состоянии покоя
результаты осмотра врача
фотография
• динамические
модель движения тела
явления природы (молния, землетрясение, цунами)
история болезни
дискретные модели описывают
видеозапись события
поведение только в отдельные
…
моменты времени
непрерывные модели – в любой
момент времени
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

9. Виды моделей (по характеру связей)

Моделирование, 11 класс
9
Виды моделей (по характеру связей)
• детерминированные – при одинаковых исходных
данных всегда получается тот же результат
расчёт по формулам
движение корабля на спокойной воде
…
• вероятностные – учитывают случайность событий
броуновское движение частиц
полета самолёта с учетом ветра
движения корабля на волнении
поведение человека
…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

10. Виды динамических моделей

Моделирование, 11 класс
10
Виды динамических моделей
• непрерывные – описывают оригинал в любой момент
времени на заданном интервале
y
y = 2t + 5
t
• дискретные – описывают оригинал только в отдельные
моменты времени (через 1 сек, час, год, …)
yi = 2ti + 5
y
y1 y2 y3
yi = 5yi–1 + 5
y4
y0
t
t0 t1 t2 t3 t4
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

11. Имитационные модели

Моделирование, 11 класс
11
Имитационные модели
• нельзя заранее вычислить или предсказать поведение
системы, но можно имитировать её реакцию на внешние
воздействия
• максимальный учет всех факторов
• только численные результаты
!
Задача – найти лучшее решение методом
проб и ошибок (многократные эксперименты)!
Примеры:
• испытания лекарств на мышах, обезьянах, …
• математическое моделирование биологических систем
• модели систем массового обслуживания
• модели процесса обучения
• кросс-программирование
•…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

12. Игровые модели

Моделирование, 11 класс
12
Игровые модели
Игровые модели учитывают действия противников.
экономические ситуации
военные действия
спортивные игры
тренинги персонала
!
Задача – найти лучший вариант действий в
самом худшем случае!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

13. Адекватность

Моделирование, 11 класс
13
Адекватность
Адекватность – это совпадение существенных свойств
модели и оригинала в данной задаче.
результаты моделирования согласуются с выводами
теории (законы сохранения и т.п.)
… подтверждаются экспериментом ( 10%)
!
Адекватность модели можно доказать только
экспериментом!
Модель всегда отличается от оригинала
!
Любая модель адекватна только при
определенных условиях!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

14. Моделирование

14
Моделирование
§ 7. Системный подход в
моделировании
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

15. Модели-системы и модели-«не-системы»

Моделирование, 11 класс
15
Модели-системы и модели-«не-системы»
Модель-«не-система»:
1-я линия:
Пр. Ветеранов
Ленинский пр.
Автово
Кировский завод
Нарвская
…
Модель-система:
2-я линия:
Купчино
Звездная
Московская
Парк Победы
Электросила
…
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

16. Таблицы

Моделирование, 11 класс
16
Таблицы
Свойства объектов:
Фамилия
Иванов
Кузьмин
Сидоров
Имя
Кузьма
Сидор
Иван
Год рождения
1955
1978
1990
Место отдыха
о. Валаам
о. Ольхон
о. Кипр
Связи между объектами:
Москва
Санкт-Петербург
Пермь
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Вася
Петя
Коля
Маша
Даша
Глаша
http://kpolyakov.spb.ru

17. Задача

Моделирование, 11 класс
17
Задача
Из
Березовое
Березовое
Лесное
Полевое
Осиновое
Лесное
Осиновое
Березовое
Лесное
Полевое
В
Лесное
Осиновое
Березовое
Лесное
Полевое
Осиновое
Лесное
Полевое
Полевое
Осиновое
Отправл.
07:30
11:50
12:50
13:20
14:00
14:20
14:40
16:00
16:10
17:40
Прибытие
10:00
14:10
15:20
14:40
17:15
15:30
15:50
17:50
17:30
19:55
Березовое: 8:00
Полевое
17:50 П
16:00
Б 07:30
11:50
10:00 Л
14:00
14:10 О
14:40
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
17:15 П
15:50 Л 16:10
17:30 П
http://kpolyakov.spb.ru

18. Задачи

Моделирование, 11 класс
18
Задачи
Луковое (00:00) Васильево
Из
В
Васильево
Панино
Панино
Луковое
Луковое
Панино
Санино
Васильево
Васильево
Луковое
Панино
Васильево
Луковое
Васильево
Луковое
Санино
Васильево
Санино
Санино
Луковое
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
05:10
09:15
10:35
11:05
11:35
12:05
12:30
14:20
16:25
18:30
Прибытие
07:20
11:20
12:15
13:10
15:20
14:25
16:10
16:00
17:15
20:40
http://kpolyakov.spb.ru

19. Задачи

Моделирование, 11 класс
19
Задачи
Сычёво (10:00) Рогатое
Из
В
Сычево
Грибное
Мухино
Сычево
Рогатое
Сычево
Рогатое
Мухино
Сычево
Рогатое
Грибное
Рогатое
Сычево
Мухино
Грибное
Сычево
Мухино
Рогатое
Рогатое
Грибное
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
09:00
09:15
10:10
10:25
10:30
10:40
10:35
10:55
11:50
12:00
Прибытие
10:15
10:25
12:25
11:25
13:00
11:45
11:30
11:25
12:50
13:20
http://kpolyakov.spb.ru

20. Задачи

Моделирование, 11 класс
20
Задачи
Кунцево (00:00) Ручьи
Из
В
Марьино
Кунцево
Кунцево
Борисово
Ручьи
Марьино
Ручьи
Кунцево
Ручьи
Борисово
Кунцево
Ручьи
Кунцево
Марьино
Борисово
Кунцево
Марьино
Ручьи
Борисово
Ручьи
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
09:00
09:55
10:45
10:50
10:55
11:00
11:05
11:20
12:10
12:25
Прибытие
09:50
11:00
11:55
13:10
12:00
13:20
12:00
12:25
13:15
13:25
http://kpolyakov.spb.ru

21. Задачи

Моделирование, 11 класс
21
Задачи
Моховое (00:00) Лесное
Из
В
Моховое
Лесное
Озерное
Моховое
Лесное
Грибное
Лесное
Озерное
Моховое
Грибное
Моховое
Озерное
Лесное
Моховое
Грибное
Лесное
Озерное
Лесное
Грибное
Моховое
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Отправл.
07:40
07:50
08:00
09:15
09:25
09:30
09:45
10:15
11:15
11:50
Прибытие
08:50
09:05
09:10
10:25
10:30
10:30
10:45
11:25
12:25
12:55
http://kpolyakov.spb.ru

22. Диаграммы

Моделирование, 11 класс
22
Диаграммы
Диаграмма – графическая модель, построенная по
числовым данным.
овцы
Аськин
Баськин
Сенькин
1
4
2
кролики куры
2
2
3
5
5
4
5
овцы
кролики
куры
4
3
ряды
2
1
0
Аськин
Баськин Сенькин
категории
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
?
Что сравниваем?
http://kpolyakov.spb.ru

23. Диаграммы

Моделирование, 11 класс
23
Диаграммы
овцы
Аськин
Баськин
Сенькин
кролики куры
1
4
2
2
2
3
5
5
4
?
Какую диаграмму можно
еще построить?
5
Аськин
Баськин
Сенькин
4
3
ряды
2
1
0
овцы
кролики
категории
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
куры
?
Что сравниваем?
http://kpolyakov.spb.ru

24. Круговые диаграммы

Моделирование, 11 класс
24
Круговые диаграммы
Аськин
Баськин
Сенькин
всего
овцы
1
4
2
7
кролики
2
2
3
7
куры
5
5
4
14
25%
овцы
кролики
куры
50%
25%
!
Только итоги, исходные данные
восстановить нельзя!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

25. Задача

Моделирование, 11 класс
25
Задача
а)
30
25
лоси
белки
зайцы
20
15
лоси
белки
10
5
0
зайцы
б)
I участок II участок III участок
зайцы
лоси
лоси
белки
зайцы
всего
I участок
15
30
10
II участок
30
20
15
III участок
15
10
15
всего
60
60
40
160
белки
в)
зайцы
лоси
белки
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

26. Задачи

Моделирование, 11 класс
26
Задачи
30
25
ноутбуки
MP3-плейеры
телевизоры
20
15
10
5
0
а) телевизоры
январь
февраль
б) телевизоры
ноутбуки
MP3-плейеры
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
MP3-плейеры
март
в) телевизоры
ноутбуки
ноутбуки
MP3-плейеры
http://kpolyakov.spb.ru

27. Задача

Моделирование, 11 класс
27
Задача
1)
10 + 40 + 30 + 20 = 100
2)
25
40
менеджеры
30
50
рабочие
20
охрана
10
0
«Лада» «Форд» «Тойота» «Ауди»
25
а) все «Форды» могут принадлежать менеджерам
б) все охранники могут ездить на «Ауди»
в) все «Тойоты» могут принадлежать рабочим
г) все рабочие могут ездить на «Фордах»
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

28. Задачи

Моделирование, 11 класс
28
Задачи
1)
40
30
2)
Москва
Мурманск
20
10
СанктПетербург
0 III разряд II разряд I разряд
Какие утверждения следуют из анализа диаграмм:
а) все спортсмены, имеющие II разряд, могут быть
москвичами
б) все спортсмены из Мурманска могут иметь II разряд
в) все спортсмены из Санкт-Петербурга могут иметь
I разряд;
г) все спортсмены III разряда могут быть из Москвы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

29. Задачи

Моделирование, 11 класс
29
Задачи
1)
2)
40
УАЗ
30
Лада
20
Ока
10
0
красный синий зеленый
Какие утверждения следуют из анализа диаграмм:
а) все автомобили «УАЗ» – зеленые
б) среди автомобилей «Ока» нет красных
в) все автомобили «Ока» – синие
г) среди автомобилей «Лада» есть синие
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

30. Иерархические модели

Моделирование, 11 класс
30
Иерархические модели
директор
Уровень 1
главный инженер
Уровень 2
Уровень 3
Петров
Иванов
Фомин
главный бухгалтер
Алексеева
Сидорова
Хищные
Псообразные
Псовые
Енотовые
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Медвежьи
Кошкообразные
Кошачьи
Гиеновые
Мангустовые
http://kpolyakov.spb.ru

31. Иерархические модели

Моделирование, 11 класс
31
Иерархические модели
Документы
Тексты
Доходы.doc
Расходы.odt
Фотографии
Отдых.txt
Папа.jpg
Мама.gif
*
(a+3)*5-2*b
+
a
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
*
5
2
b
3
http://kpolyakov.spb.ru

32. Сетевые модели

Моделирование, 11 класс
32
Сетевые модели
Сетевое планирование
А
1
2
начало
Б
2
4
2
2
Г
1
Д
конец
6
В
Семантические сети
щука
птица
это
рыба
это
гусь
животное
это
млекопитающее
это
живет в
умеет
вода
плавать
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
крылья
умеет
это
это
имеет
живет в
кит
летать
дышит
лёгкие
умеет
http://kpolyakov.spb.ru

33. Задачи

Моделирование, 11 класс
33
Задачи
Построить матрицы смежности и весовые матрицы.
5
4
A
D
A
E
1
1
3
1
3
C
B
D
C
B
2
3
1
2
E
5
A
2
4
B
C
1
3
E
3
2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
D
B
A
5
1
C
2
D
4
E
http://kpolyakov.spb.ru

34. Задачи

Моделирование, 11 класс
34
Задачи
А
3
2
начало
1
Б
В
3
5
2
Г
Д
4
3
Е
3
конец
6
Задача: определить срок изготовления прибора.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

35. Игровые стратегии

Моделирование, 11 класс
35
Игровые стратегии
?
Какая задача?
Задача: найти стратегию (алгоритм игры), который
позволит получить лучший результат, если соперники
играют безошибочно.
Игры с полной информацией: можно определить, кто
должен выиграть, по начальной позиции.
Позиции:
• проигрышные – все возможные ходы ведут в
выигрышные позиции
• выигрышные – хотя бы один ход ведёт в
проигрышную позицию
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

36. Задача

Моделирование, 11 класс
36
Задача
В начале игры S камней. Ходы: «+1» (добавить 1) и «*2»
(удвоить). Выигрыш: получить 14 камней.
выигрыш за 1 ход
S
1
2
3
4
5
6
x3
В3
В2
x2
В2
x1
7
В1
8
В1
9
В1
10
В1
11
В1
12
В1
13
В1
Дерево игры:
+1
игрок 1:
+1
игрок 2:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
6
5
4
*2
*2
+1
10
9
8
*2
16
http://kpolyakov.spb.ru

37. Неполное дерево игры

Моделирование, 11 класс
37
Неполное дерево игры
Задача: доказать выигрыш какого-то игрока.
Для победителя – только 1 верный ход, для
проигравшего – все возможные ответы.
S
1
x3
?
2
B3
3
B2
4
x2
5
B2
6
x1
Какая стратегия
у игрока 2?
7
В1
8
В1
9
В1
10
В1
12
В1
13
В1
игрок 1:
4
+1
5
*2
8
+1
игрок 2:
переводить игру в
проигрышную (для
игрок 1:
соперника) позицию
игрок 2:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
11
В1
+1
7
*2
6
16
*2
12
*2
*2
14
24
http://kpolyakov.spb.ru

38. Задачи

Моделирование, 11 класс
38
Задачи
1. В начале игры S камней. Ходы: «+2» (добавить 2) и
«*2» (удвоить). Выигрыш: получить 25 камней.
Построить дерево игры для S = 7.
2. В начале игры S камней. Ходы: «+1» (добавить 1) и
«*3» (утроить). Выигрыш: получить 55 камней.
Построить дерево игры для S = 16.
3. В начале игры S камней. Ходы: «+2» (добавить 2),
«+3» (добавить 3) и «*2» (удвоить). Выигрыш:
получить 30 камней.
Построить дерево игры для S = 9.
4. Игра Баше. В начале игры S (S 15) камней. Ходы:
«-1» (взять 2), «-2» (взять 2) и «-3» (взять 3).
Проигрыш: взять последний камень.
Построить дерево игры для S = 12.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

39. Моделирование

39
Моделирование
§ 8. Этапы моделирования
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

40. I. Постановка задачи

Моделирование, 11 класс
40
I. Постановка задачи
• исследование оригинала
изучение сущности объекта или явления
• анализ («что будет, если …»)
научиться прогнозировать последствий при различных
воздействиях на оригинал
• синтез («как сделать, чтобы …»)
научиться управлять оригиналом, оказывая на него
воздействия
• оптимизация («как сделать лучше»)
выбор наилучшего решения в заданных условиях
!
Ошибки при постановке задачи приводят к
наиболее тяжелым последствиям!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

41. I. Постановка задачи

Моделирование, 11 класс
41
I. Постановка задачи
Хорошо поставленная задача:
• описаны все связи между исходными данными и
результатом
• известны все исходные данные
• решение существует
• задача имеет единственное решение
Примеры плохо поставленных задач:
• Уроки в школе начинаются в 830. В 1000 к школе подъехал
красный автомобиль. Определите, когда Вася выйдет
играть в футбол?
• Вася бросает мяч со скоростью 12 м/с. Где мяч впервые
ударится о землю?
• Решить уравнение sin x = 4 (нет решений).
• Найти функцию, которая проходит через точки (0,1) и (1,0)
(бесконечно много решений).
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

42. I. Постановка задачи (пример)

Моделирование, 11 класс
42
I. Постановка задачи (пример)
Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно
бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень?
?
Хорошо поставлена?
Допущения:
Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10
м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте
2 м от земли.
? Всегда ли есть решение?
? Решение единственно?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

43. II. Разработка модели

Моделирование, 11 класс
43
II. Разработка модели
Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно
бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень? Мишень
расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи.
В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли.
1) Определить существенные исходные данные.
• мяч и мишень — материальные точки
• мишень неподвижна
• сопротивление воздуха не учитывается.
2) Выбор типа модели.
!
Можно использовать несколько моделей!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

44. II. Разработка модели

,Моделирование,
11 класс
44
II. Разработка модели
Графическая модель
y
v0
H
x
S
2м
4м
3) Формальная (математическая) модель
gt 2
x v0 t cos , y v0 t sin
2
Задача: найти t и , такие что x S , y H
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

45. Уточнение диапазона углов

Моделирование, 11 класс
45
Уточнение диапазона углов
min arctg
H
S
H
Диапазон углов для поиска: arctg ...
S 2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

46. II. Разработка модели

Моделирование, 11 класс
46
II. Разработка модели
4) Алгоритм моделирования
Метод I.
Меняем угол . Для выбранного угла строим
траекторию полета мяча. Если она проходит выше
мишени, уменьшаем угол, если ниже – увеличиваем.
Метод II.
Из первого равенства выражаем время полета:
v0 cos t S
S
t
v0 cos
Меняем угол . Для выбранного угла считаем t, а
затем – значение y при этом t. Если оно больше H,
уменьшаем угол, если меньше – увеличиваем.
не надо строить всю траекторию для каждого
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

47. II. Разработка модели

Моделирование, 11 класс
47
II. Разработка модели
5) Компьютерная модель
• программа (Паскаль, Си, …)
• электронные таблицы (Excel, OpenOffice.org Calc)
• среды моделирования (Simulink, VisSim)
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

48. III. Тестирование модели

Моделирование, 11 класс
48
III. Тестирование модели
Тестирование – это проверка модели на простых
исходных данных с известным результатом.
а) тестирование математической модели:
gt
x v0 t cos , y v0 t sin
2
2
• при t = 0 x = 0, y = 0 (в начале координат)
gt 2
• при v0 = 0 x = 0, y
(падение вниз)
2
• при = 90 x = 0
• при увеличении t парабола «загибается» вниз
б) тестирование компьютерной модели:
(пробные расчёты в рассмотренных условиях)
?
Доказывает ли успешное тестирование
правильность модели?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

49. IV. Эксперимент с моделью

Моделирование, 11 класс
49
IV. Эксперимент с моделью
Эксперимент – это исследование модели при тех
исходных данных, которые нас интересуют (результат
заранее неизвестен).
1) задаём угол
S
2) находим время t
v0 cos
3) находим высоту
gt 2
t cos , y v0 t sin
2
!
Может быть два
решения!
y<H
H
Диапазон углов для поиска: arctg ...
S 2
?
?
Можно ли сразу использовать двоичный поиск?
Как отделить два решения?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
построить график y( )
http://kpolyakov.spb.ru

50. V. Анализ результатов эксперимента

Моделирование, 11 класс
50
V. Анализ результатов эксперимента
!
Необходима проверка на оригинале!
Возможные выводы:
• задача решена, модель адекватна
• необходимо изменить алгоритм или условия
моделирования
• необходимо изменить модель (учесть
дополнительные свойства)
• необходимо изменить постановку задачи
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

51. V. Анализ результатов

Моделирование, 11 класс
51
V. Анализ результатов
• всегда ли Вася сможет попасть в мишень?
• если начальная скорость отличается от заданной?
• если мяч и мишень не считать материальными
точками?
• как сильно влияет сопротивление воздуха?
• если мишень качается?
• и т.д….
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

52. Моделирование

52
Моделирование
§ 9. Моделирование движения
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

53. Задача

Моделирование, 11 класс
53
Задача
y
hmax
вверх
v
F
G
вниз
F
v
?
G
0
?
• найти hmax
• найти v при приземлении
x
Какая ещё сила?
G m g
не меняется!
Какой тип движения?
равномерное?
равноускоренное?
плотность воздуха
F
v2
2
C S площадь
сечения
шар: С = 0,4
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
1,23 кг/м3
S r2
http://kpolyakov.spb.ru

54. Математическая модель

Моделирование, 11 класс
54
Математическая модель
В проекции на ось OY:
G m g
F
G F
a
m
!
v v
2
всегда противоположна v
C S
Силы меняются ускорение меняется!
Методы решения:
•аналитический (высшая математика)
•численное моделирование
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

55. Дискретизация

Моделирование, 11 класс
55
Дискретизация
Дискретная модель описывает состояние системы при
t 0, , 2 , 3 , ...
шаг дискретизации
Задача: зная (yi, vi, ai) при ti = i
найти (yi+1, vi+1, ai+1) при ti+1 = (i+1)
Допущение: силы (и ускорение) не меняются
на интервале [ti, ti+1]
Вычисления:
Fi
vi vi
2
C S
vi 1 vi ai
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
G Fi
Fi
ai
g
m
m
ai 2
yi 1 yi vi
2
http://kpolyakov.spb.ru

56. Компьютерная модель

Моделирование, 11 класс
56
Компьютерная модель
t:= 0; v:= v0; y:= 0
k:= ro*C*S/2
нц пока y >= 0
F:= - k*abs(v)*v | сила сопротивления
a:= - g + F/m
| ускорение
y:= y + v*delta + a*delta*delta/2 | координата
v:= v + a*delta
| скорость
t:= t + delta
| время
кц
?
Как найти hmax?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
если y > h то
h:= y
все
http://kpolyakov.spb.ru

57. Моделирование

57
Моделирование
§ 10. Математические модели
в биологии
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

58. Модель неограниченного роста (Т. Мальтус)

Моделирование, 11 класс
58
Модель неограниченного роста (Т. Мальтус)
N 0 – начальная численность
N i – численность через i периодов
рождаемость
смертность
N i 1 N i k p N i kc N i
Ni 1 (1 K ) Ni
N
K 0
K 0
N0
K 0
K k p kc
0
Особенности модели:
1) не учитывается влияние численности N и внешней
среды на K
2) не учитывается влияние других видов на K
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
i
http://kpolyakov.spb.ru

59. Модель ограниченного роста (П. Ферхюльст)

Моделирование, 11 класс
59
Модель ограниченного роста (П. Ферхюльст)
L – предельная численность животных
Ni 1 (1 K L ) Ni
Идеи:
1) коэффициент прироста KL зависит от численности N
2) при N=0 должно быть KL=K (начальное значение)
3) при N=L должно быть KL=0 (достигнут предел)
L Ni
N i 1 1 K
Ni
L
!
Модель адекватна,
если ошибка < 10%!
N
L
N0
i
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

60. Модель с отловом

Моделирование, 11 класс
60
Модель с отловом
рыбоводческое хозяйство, разведение пушных зверей, …
L Ni
N i 1 1 K
Ni R
L
?
Какая будет численность? L?
N i N i 1, прирост = отлову
L N
N N K
N R
L
K
2
N K N R 0
L
?
отлов
Сколько можно вылавливать?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
N
L
N0
i
http://kpolyakov.spb.ru

61. Модель «хищник-жертва»

Моделирование, 11 класс
61
Модель «хищник-жертва»
Модель – не-система:
щуки
караси
L Ni
N i 1 1 K
Ni
L
Z i 1 1 D Z i
вымирают
без еды
Модель – система:
1) число встреч пропорционально Ni Zi
2) «эффект» пропорционален числу встреч
численность уменьшается
N i 1 (1 K L bN Z i ) N i
Z i 1 (1 D bZ N i ) Z i
численность увеличивается
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

62. Модель «хищник-жертва»

Моделирование, 11 класс
62
Модель «хищник-жертва»
Хищники вымирают:
Ni
Равновесие:
караси
Ni
Zi
караси
Zi
щуки
0
щуки
i
0
i
D 0,8
D 0,8
bN bZ 0,005
bN 0,01;
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
bZ 0,012
http://kpolyakov.spb.ru

63. Модель «хищник-жертва»

Моделирование, 11 класс
63
Модель «хищник-жертва»
Колебания:
Ni
Zi
D 0,8
bN 0,01; bZ 0,015
0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
i
http://kpolyakov.spb.ru

64. Обратная связь

Моделирование, 11 класс
64
Обратная связь
Модель неограниченного роста:
K
популяция
N
Модель ограниченного роста:
L
популяция
KL
N
обратная связь
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

65. Саморегуляция

Моделирование, 11 класс
65
Саморегуляция
Саморегуляция – это способность системы
поддерживать свое внутреннее состояние за счет
связей между элементами.
N
L
хищники
гибель
животных
i
0
Z
обратные
связи
L
KL
жертвы
N
обратная связь
!
Саморегуляция только при малых отклонениях!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

66. Моделирование

66
Моделирование
§ 11. Системы массового
обслуживания
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

67. Системы массового обслуживания (СМО)

Моделирование, 11 класс
67
Системы массового обслуживания (СМО)
магазин, банк, служба ремонта, касса…
СМО
заявки
каналы
обслуживания
очередь
обслуженные
заявки
Особенности:
• заявки поступают через случайные интервалы
• время обслуживания – случайная величина
!
Нужна вероятностная модель!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

68. Модель работы банка

Моделирование, 11 класс
68
Модель работы банка
Детерминированная модель:
• за 1 минуту входит P клиентов
• время обслуживания T минут
?
Сколько нужно
касс?
K P T
Допущение:
распределение
равномерное
Вероятностная модель:
• K – количество касс
• за 1 минуту входит от 0 до Pmax клиентов
• время обслуживания от Tmin до Tmax минут
• изменение числа клиентов в банке
Ni 1 Ni Pi Ri
вошли за i-ую минуту
обслужены за
i-ую минуту
Ni
• средняя длина очереди Qi
K
• среднее время ожидания Qi Ti
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

69. Модель работы банка

Моделирование, 11 класс
69
Модель работы банка
?
Как найти Ri?
Допущение:
K касс работают с одинаковой скоростью, но эта
скорость меняется каждый интервал
Ti – случайное время обслуживания (от Tmin до Tmax)
обслужено за 1 интервал на 1 кассе 1/T,
на всех кассах
K
Ri
Ti
Задача: выбрать K так, чтобы среднее время ожидания
было больше допустимого в течение не более 5% от
полного времени моделирования.
Ni
допустимое
«плохие минуты»: Qi Ti
Ti M
время ожидания
K
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

70. Модель работы банка

Моделирование, 11 класс
70
Модель работы банка
K:= 2
Pmax:= 4
Tmin:= 1
Tmax:= 9
L:= 480
M:= 15
N:= 0
count:= 0
?
!
|
|
|
|
|
|
|
|
меняем количество касс
макс. число входящих за 1 мин
мин. время обслуживания
макс. время обслуживания
период моделирования
допустимое время ожидания
сначала в банке никого нет
счетчик «плохих» минут
Что выводить в результате?
count
0,05 касс достаточно
L
Сравнить с детерминированной моделью!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

71. Модель работы банка (КуМир)

Моделирование, 11 класс
71
Модель работы банка (КуМир)
нц для i от 1 до L
P:= irand(0,PMax)
T:= rand(Tmin,Tmax)
R:= int(K / T)
N:= N + P - R
если N < 0 то N:= 0 все
dT:= N / K * T
если dT > M то
count:= count + 1
все
кц
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Паскаль
http://kpolyakov.spb.ru

72. Модель работы банка (Паскаль)

Моделирование, 11 класс
72
Модель работы банка (Паскаль)
for i:=1 to L do begin
P:= random(PMax);
T:= Tmin + random*(Tmax - Tmin);
R:= round(K / T);
N:= N + P - R;
if N < 0 then N:= 0;
dT:= N / K * T;
if dT > M then
count:= count + 1
end;
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

73. Уточнение модели

Моделирование, 11 класс
73
Уточнение модели
• за 1 минуту входит от 0 до Pmax клиентов
Допущение: распределение
Распределение Пуассона:
равномерное
P
вероятность
того, что P = k
5
p(k )
0
5
10
Pсреднее
k
k!
e
15
Получение из равномерного распределения:
метод обратных функций
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

74. Распределение Пуассона (КуМир)

Моделирование, 11 класс
74
Распределение Пуассона (КуМир)
алг цел Poisson(цел Lam)
нач
вещ s, r, alpha;
цел k
r:= exp(-Lam); s:= r
k:= 0
alpha:= rand(0,1)
нц пока s < alpha
k:= k + 1
r:= r * Lam / k
s:= s + r
кц
знач:= k
кон
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

75. Распределение Пуассона (Паскаль)

Моделирование, 11 класс
75
Распределение Пуассона (Паскаль)
function Poisson(Lam: integer): integer;
var s, r, alpha: real;
k: integer;
begin
r:= exp(-Lam); s:= r;
k:= 0;
alpha:= random;
while s < alpha do begin
k:= k + 1;
r:= r * Lam / k;
s:= s + r
end;
Poisson:= k
end;
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

76. Конец фильма

Моделирование, 11 класс
76
Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[email protected]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной
дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[email protected]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

77. Источники иллюстраций

Моделирование, 11 класс
77
Источники иллюстраций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
www.historicships.com
www.amazon.co.uk
www.supahcars.com
physicon.ru
www.laerdal.com
biohimija.ru
ecosafe.spbu.ru
www.skyplaz.ru
www.burpipe.ru
www.garshin.ru
www.thisnext.com
3dsdesign.ru
en.wikipedia.org
ru.wikipedia.org
иллюстрации художников издательства «Бином»
авторские материалы
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru