ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО ВРЕМЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА
РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА Теорема Уитни-Такенса.
РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА
РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА. ВЫБОР 
РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА. ВЫБОР 
РЕКОНСТРУКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА
РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА
Reconstructed Attractors for Currency Quote Time Series
Estimation of the Correlation Dimension for quote time series(1)
Estimation of the Correlation Dimension for quote time series(2)
Estimation of the Lyapunov Exponent
2.00M
Category: physicsphysics

Исследование динамической системы по временной реализации

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО ВРЕМЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Теоретически теория и практика - одно и то же, но
практически -это совсем разные вещи

2.

Анализ реализации
Пусть мы имеем записанную реализацию x = x(t) или, при наличии
дискретизации, временной ряд xk = x(kΔt),
k = 0, 1, 2, ... , М , и пусть
зависимость от времени визуально выглядит сложной и непериодической.
Можно ли из ее анализа заключить, произведена ли реализация
динамической системой или это просто случайный шумовой сигнал?
Если это динамическая система, то что можно сказать о ее
свойствах и характеристиках — сколько переменных необходимо для
задания состояния, какова фрактальная размерность аттрактора,
отвечающего за наблюдаемый режим, хаотический ли он, можно ли
сконструировать модель в виде дифференциальных уравнений или
отображений,
которая
позволяла
бы
адекватно
воспроизвести
наблюдаемую временную зависимость и прогнозировать будущее
состояние системы?

3. РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА

Главная идея применения методов хаотической динамики к
анализу временных рядов состоит в том, что основная структура
хаотической системы, содержащая в себе всю информацию о
системе, а именно аттрактор динамической системы, может быть
восстановлена через измерение только одной наблюдаемой этой
динамической системы, фиксированной как временной ряд.
Процедура реконструкции фазового пространства и восстановление
хаотического аттрактора системы при динамическом анализе
временного ряда сводится к построению псевдофазового
пространства.

4. РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА Теорема Уитни-Такенса.

Пусть M – компактное d-мерное многообразие класса C2, в котором
существует аттрактор динамической системы). Отображение F
F: M RD:
определяемое как
F (t ) [ i (t ), i (t ),..., i (t 2 N )] ,
где i (t n ) - i-я компонента траектории системы, а >0 - период
дискретизации, есть диффеоморфизм для почти любого 0 и D > 2d
.
Данная теорема дает предпосылки для реконструкции аттрактора
динамической системы по одной временной реализации.
.

5. РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА

АТТРАКТОР ЧУА
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА

6. РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА. ВЫБОР 

РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА. ВЫБОР
( x k ) ( x (k 1) )
Если
слишком
мало,
выполняется
и
восстановленный
аттрактор
оказывается ограниченным областью вблизи диагонали
пространства, в котором производится восстановление.
Если же значение слишком велико, а система является
хаотической, то значения ( x k ) и ( x (k 1) ) оказываются
некоррелированными (в пределах точности, определяемой
производимыми вычислениями), и структура аттрактора
исчезает.
Если же значение оказывается слишком близким к значению
какого-либо периода системы, то та составляющая, которая
характеризуется указанным периодом, при восстановлении будет
представлена недостаточно полно.
Считается наиболее оптимальным значение T / 4 , где Т некоторый характерный временной период рассматриваемого
сигнала.
i
значение
i
i
i

7. РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА. ВЫБОР 

РЕКОНСТРУКЦИЯ АТТРАКТОРА. ВЫБОР
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА
=0.05 (а)
=0.15 (б)
=0.5 (в)
=0.75 (г).

8. РЕКОНСТРУКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

Значения
в долях от единицы времени
0.02 (а), 0.25 (б), 0.9 (в).

9. РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ

Размерность вложения m –
минимальная
целая размерность фазового
пространства, которое
содержит аттрактор.
F (t ) [ x(t ), x(t ),..., x(t m )]

10. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ

log N
d lim
0 log 1 /
Если динамическая система, породившая исследуемый сигнал, является конечномерной, а соответствующий аттрактор имеет
либо целую, либо дробную размерность d c , то
начиная как минимум с m 2d c 1 величина
d c не зависит от m . В то же время, как показывает практика], достаточно выбрать
m d.
c

11. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Аттрактор Энона
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ
РАЗМЕРНОСТЬ
При определении d c вычисляются расстояния между парами точек в фазовом пространстве и определяется корреляционный
интеграл C ( ) lim
N
Lij
N
2
, где N -число точек,
Lij - число пар точек (i, j) для которых расстояние Sij .
Зависимость корреляционного интеграла от ε подчиняется степенному закону, т.е.
lim C ( ) const d .
0
Корреляционную размерность d c определяют по наклону графика зависимости С(ε)
от 1/ε в двойном логарифмическом масштабе.

12.

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
При определении корреляционной размерности вычисляются расстояния
между парами точек в фазовом пространстве и определяется корреляционный.
Lij
интеграл C ( ) lim 2 , где N - число точек, Lij - число пар точек (i, j) для
N N
которых расстояние Sij
log C
d lim
0
log

13. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

log C
d lim
0
log
Технические проблемы

14. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ

dc≤ m
Размерность вложения m – это размерность
фазового пространства, начиная с которой dc
перестает изменяться.
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА

15. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ И РАЗМЕРНОСТЬ ВЛОЖЕНИЯ

Для случайных процессов, т.е. порожденных системой с большим
числом степеней свободы, фрактальная размерность является целым
числом и ее значение приближенно равняется размерности
фазового пространства, в котором она вычисляется .
Шумовой сигнал

16. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА

d (t k )
1 N
ln
t N t 0 k 1 d 0 (t k 1 )

17. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА

1. Производится реконструкция аттрактора в фазовом пространстве
методом запаздываний и определяется размерность вложения m.
2. Берем за исходную некоторую точку Хо на реконструированном
аттракторе и находим другую точку х0, находящуюся на малом расстоянии
||х0 — х’о|| = εo, но не близкую по времени.
3. Затем отслеживаем шаг за шагом динамику при старте из этих двух
точек. Когда расстояние между изображающими точками x1 и х’1 превысит
некоторую заданную величину εmax, остановимся и зафиксируем период
времени Т1, который для этого понадобился, и отношение конечного и
начального расстояний ε o/εo.
4. Отыскиваем другую точку старта возмущенной траектории. Она должна
быть по возможности близка к точке x1 и сдвинута от нее по направлению,
близкому к направлению вектора х1 — x’1. Пусть это точка х1 и ||х1"—x1||= ε1.
Отслеживаем теперь траектории, стартующие из точек x1 и х1", пока через
некоторый следующий период времени T2 расстояние не
1
k
превысит εmax, и вычисляем отношение ε'1/ ε1.
ln
5. Далее процедура повторяется многократно, и
k
k 0
ляпуновский показатель оценивается как:

k 1
k

18.

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Реализации ЭЭГ лабораторных животных
1)Бодрствование
2)Медленный сон
3)Парадоксальный сон
Восстановленные псевдофазовые портреты ЭЭГ
=500
=480
=420

19.

Фазовые портреты изменения величины окна перегрузки узла компьютерной сети

20.

EUR/USD, time frame H1.
NZD/CAD, time frame H4.
GBP/JPY, time frame D1.
CAD/JPY, time frame 1WEEK.

21. Reconstructed Attractors for Currency Quote Time Series

z
z
z
y
y
y
EUR/USD,
H1,
Random
process
NZD/CAD,
H4,
x
x
z
The preliminary
conclusion:
z
The
reconstructed
attractors are strange
attractors and are
produced with chaotic
systems.
y
y
GBP/JPY,
D1,
x
x
CAD/JPY,
W1,
x
21

22. Estimation of the Correlation Dimension for quote time series(1)

Lorenz System,
D(m) =2.03, m=3
Random process
EUR/USD, H1,
D(m)=2.5, m=5
22

23. Estimation of the Correlation Dimension for quote time series(2)

NZD/CAD, H4,
D(m)=2.4, m=3
GBP/JPY, D1,
D(m)=3.5, m=5
CAD/JPY, 1WEEK,
D(m)=3.7, m=4
23

24. Estimation of the Lyapunov Exponent

Lyapunov exponent for the quote time series
Λ
EUR/USD NZD/CAD GBP/JBY
CAD/JPY Lorenz
H1
H4
D1
W1
system
0.37
0.39
0.42
0.4
1.37
24
English     Русский Rules