Задача 3. Что нужно для стального статически неопределимого ступенчатого стержня круглого поперечного сечения?

1.

2. Задача № 3

Для стального статически неопределимого
ступенчатого стержня круглого поперечного
сечения требуется:
раскрыть статическую неопределимость;
построить эпюру крутящих моментов;
построить эпюру касательных напряжений при
d=60 мм и проверить стержень на прочность;
построить эпюру углов поворота;
проверить жесткость стержня.

3. Решение:

В заделках возникают реактивные
моменты
ТА
и
ТВ;
их
предположительное
направление
показано на рис. 1, а.
В данном случае статика дает
одно уравнение равновесия (для
системы пары сил, действующих в
параллельных плоскостях), сумма
моментов относительно продольной
оси бруса равна нулю:
ΣТx = 0;
– ТA + 2Т – Т + ТB = 0, или
ТA – ТB = Т . (1)

4.

Для составления уравнения
перемещений отбросим правую
заделку, заменив ее действие на
брус
не
известным
пока
реактивным моментом ТB = Х.
Полученная таким образом
статически
определимая
система (рис.1, б) эквивалентна
заданной и, следовательно, угол
поворота сечения В равен нулю:
φB = 0.

5.

Применяя принцип независимости действия сил,
запишем уравнение перемещений в виде
φB = φBТ1 + φBТ2 + φBХ = 0. (2)
При действии только момента Т1 угол поворота
сечения В равен углу закручивания участка АС, т.е.
BТ АС
1
2Т 2a
G J p1
Аналогично при действии только момента Т2
BТ АЕ АD DЕ
2
Т 5a Т 2a
G Jp G Jp
1
2
Знак минус поставлен потому, что момент Т2
направлен противоположно моменту Т1.
При действии только момента ТB = Х получим
BХ АВ АD DВ
Х 5a Х 3a
G J p1 G J p2

6.

Для упрощения вычислений выразим Jp1 = πd14 / 32
через Jp2 = πd24 / 32 :
4
J p1
J p2
d1
4
1
.
5
5
d 24
Подставляя значения угла поворота в уравнение (2)
и учитывая соотношение между Jp1 и Jp2, получаем
откуда
4Т 5Т
5Х
2Т
3 Х 0,
5
5
5
Х = ТB = (11/20) Т.
Подставляя значение ТB в уравнение равновесия (1),
найдем
ТА = (31/20) Т.

7.

Эпюру крутящих моментов строим, начиная с левого
конца. Проведя произвольное сечение на участке АС
и составляя для оставленной части уравнение
равновесия ΣТХ = 0, получаем ТХ1 = (31/20) Т .
Согласно принятому правилу знаков, считаем момент
ТХ1 отрицательным. Для остальных участков находим
крутящие моменты как алгебраические суммы
внешних моментов, приложенных по одну сторону (в
нашем случае левую) от сечения. Отсеченные части
отдельно не изображаем. Вообще следует заметить,
что построение эпюры крутящих моментов
совершенно
аналогично
построению
эпюры
продольных сил.

8.

Строим эпюру касательных напряжений, пользуясь
формулой
τmax = ТX / Wp , где Wp = πD3 / 16.
Для участка АС:
Т 1X
max AС 3
D / 16
Заданное значение момента умножаем на 106 для
перевода из кН·м в Н·мм.
Аналогично определяем τmax в поперечных
сечениях остальных участков бруса.
Ординаты эпюры τmax откладываем в ту же сторону,
что и соответствующие ординаты эпюры ТX. Знак
касательного напряжения при расчете на прочность
никакой роли не играет, и принятое направление
ординат эпюры условно.

9.

Опасным оказалось поперечное сечение участка
ВЕ. Таким образом, опасным оказалось не то сечение.
в котором крутящий момент максимален.
Проверяем условие прочности τmax ≤ [τk] .
Эпюру углов поворота строим, начиная от
защемленного конца. Ординаты этой эпюры в
выбранном масштабе дают величины углов поворота
соответствующих поперечных сечений бруса. Эпюра
строится совершенно аналогично эпюре линейных
перемещений.

10.

В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна,
поэтому достаточно вычислить углы поворота только
для граничных сечений участков: угол поворота
сечения С, равный углу закручивания участка АС (со
знаком -):
Т 1Х 2a
АС
G J
1
p
[рад],
где принято для стали G = 8 ·104 Н/мм2 ;
угол поворота, например, сечения Е относительно А,
равный углу закручивания участка АЕ:
АЕ
Т 1Х 2a Т Х2 5a Т Х2 2a
[рад],
1
1
2
G Jp
G Jp
G Jp

11.

Аналогично вычисляются углы поворота остальных
граничных сечений.
Проверяем жесткость стержня по формуле:
φmax = T∙ℓ / G∙Jp ≤ [φ]