جلسه ششم و هفتم – درون یابی و برون یابی

1.

‫فصل سوم – درون یابی و برون یابی‬
‫در برخی موارد با توابعی روبرو هستیم که ضابطه تابع مشخص نیست بلکه مقدار تابع به ازای مقادیر مختلف ورودی مشخص است‪ ،‬به این‬
‫توابع جدولی گویند‪ .‬اگر چنانچه بخواهیم مقدار تابع را در نقاط میانی تعیین کنیم باید از روش های عددی درون یابی کمک بگیریم‪ .‬جدول‬
‫زیر یک تابع جدولی را نشان می دهد‪.‬‬
‫درون یابی‬
‫فرض کنید تابع ‪ f‬به صورت جدولی مشابه فوق داده شده باشد‪ .‬به طوریکه برای ‪ i≠j‬داریم‪Xi≠Xj :‬‬
‫برای تخمین )‪ f(x‬که )‪ Xє(X0,Xn‬برای ‪ ،X≠Xi ،i=0,1,2, ….,n-1‬یکی از راههای ساده این است که یک چند جمله‬
‫ای مانند )‪ P(X‬پیدا کنیم که مقدار ان در ‪ Xi‬همان ‪ fi‬باشد‪ .‬یعنی برای ‪ i=0,1, 2, …..n‬داشته باشیم‪:‬‬
‫و بعد بجای )‪ f(x‬در فاصله ]‪ [X0,Xn‬با )‪ P(X‬کار می کنیم‪.‬‬

2.

‫•‬
‫•‬
‫فقط یک چندجمله ای از درجه ‪ n‬وجود دارد که در شرط ‪ 1‬صدق می کند‪.‬‬
‫چندجمله ای که در شرط ‪ 1‬صدق کند چند جمله ای درون یاب نامیده می شود‪.‬‬
‫چند جمله ایهای الگرانژ‬
‫در این روش فرض می کنیم )‪ L1(x) ،L0(x‬و ‪ Ln(x) . . .‬هر یک‪ ،‬یک چند جمله ای درجه ‪ n‬باشد و داشته باشیم‬
‫که در ان ‪ j=0,1, …., n‬داشته باشیم‪:‬‬
‫از رابطه (‪ )3‬داریم‪:‬‬
‫بنابراین خواهیم داشت‪:‬‬

3.

‫رابطه (‪ )3‬را چند جمله ای الگرانژ گویند‪ ،‬که یک چندجمله ای از درجه ‪ n‬است‪.‬‬
‫مثال‪ :‬چندجمله ای )‪ ،P(x‬مربوط به تابع جدولی زیر را به دست اورید و )‪ f(0.5‬را حساب کنید‪.‬‬
‫با نامگذاری ‪x‬ها از صفر‪ X1 ،X0 ،‬و ‪ X2‬را داریم‪ ،‬در نتیجه مقدار ‪ n=2‬است‪ .‬بنابراین )‪ L1(x) ،L0(x‬و )‪ L2(x‬همگی از درجه‬
‫‪ 2‬خواهند بود و به صورت زیر محاسبه می شوند‪:‬‬

4.

‫در نهایت باجایگذاری در رابطه ‪ 2‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫چون ‪ x=0.5‬در داخل جدول نیست و بین نقاط تابع جدولی قرار دارد‪ ،‬مقدار )‪ P(0.5‬را به عنوان تقریبی از )‪ f(0.5‬حساب می‬
‫کنیم‪.‬‬

5.

‫مثال‪ :‬چند جمله ای درون یاب تابع جدولی زیر را حساب کرده‪ f(1/2) ،‬و )‪ f(3/2‬حساب کنید‪.‬‬
‫در این مثال نیز با نامگذاری ‪ x‬ها از صفر‪ n=3 ،‬خواهد بود‪ .‬بنابراین چندجمله ایهای الگرانژ )‪ L2(x) ،L1(x) ،L0(x‬و )‪L3(x‬‬
‫همگی از درجه ‪ 3‬خواهند بود‪.‬‬
‫در نتیجه چند جمله ای )‪ P(x‬برابر خواهد بود با‪:‬‬

6.

‫با توجه به تابع )‪ ،P(x‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫نک ته‪ :‬اگر مختصات یک نقطه به تابع جدولی اضافه گردد‪ ،‬باید محاسبات را از ابتدا دوباره انجام داد و چندجمله ای جدید به دست اورد‪،‬‬
‫در این حالت نمی توان از چند جمله ای قبلی استفاده کرد‪.‬‬
‫چند جمله ای درون یاب بر حسب تفاضالت تقسیم شده نیوتن‬
‫تعریف‪ :‬فرض کنید نقاط ‪ . . . ،X2 ،X1 ،X0‬و ‪ Xn‬نقاط دو به دو متمایز باشند و ‪ . . . ،f2 ،f1 ،f0‬و ‪ fn‬مقادیر تابع ‪ f‬در این نقاط‬
‫باشند‪ .‬تفاضالت تقسیم شده نیوتن مرتبه اول بین ‪ Xi‬و ‪ Xi+1‬را به صورت زیر تعریف می کنیم‪:‬‬
‫برای مثال تفاضالت تقسیم شده نیوتن مرتبه اول بین دو نقطه ‪ X0‬و ‪ X1‬و بین ‪ X1‬و ‪ X2‬را به صورت زیر محاسبه می کنیم‪:‬‬

7.

‫تفاضالت تقسیم شده نیوتن مرتبه دوم بین ‪ X1 ،X0‬و ‪ X2‬را می توان به صورت زیر تعریف کرد‪:‬‬
‫مشابه فوق می توان تفاضالت تقسیم شده نیوتن مرتبه باال را حساب کرد‪ ،‬اما با ترسیم جدول تفاضالت تقسیم شده نیوتن‪ ،‬براحتی می‬
‫توان مراتب مختلف تفاضالت تقسیم شده نیوتن را حساب کرد‪.‬‬
‫مثال‪ :‬جدول تفاضالت تقسیم شده نیوتن مربوط به تابع جدولی زیر را رسم کنید‪.‬‬

8.

‫مثال‪ :‬با اضافه کردن نقطه (‪ )2,7‬به تابع جدولی مثال قبل‪ ،‬جدول تفاضالت ان را رسم کنید‪.‬‬
‫نک ته‪ :‬مشاهد می شود که با اضافه کردن یک نقطه به تابع جدولی‪ ،‬نیازی به محاسبه جدول تفاضالت از ابتدا نیست‪.‬‬

9.

‫فرمول چند جمله ای درون یاب برحسب جدول تفاضالت تقسیم شده نیوتن‬
‫با توجه به تعریف تفاضالت تقسیم شده نیوتن‪ ،‬چند جمله ای درون یاب ‪ f‬در نقاط ‪ . . . ،X1 ،X0‬و ‪ Xn‬عبارتست از‪:‬‬
‫که در ان ]‪ f[X0, X1, X2, … , Xi‬تفاضالت تقسیم شده نیوتن مرتبه ‪i‬ام بین نقاط ‪ . . . ،X1 ،X0‬و ‪ Xi‬برای ‪i=1, 2, 3, …,‬‬
‫‪ n‬می باشد و به صورت زیر برحسب تفاضالت مرتبه قبلی حساب می شود‪:‬‬
‫مثال‪ :‬چند جمله ای درون یاب تابع جدولی زیر را به روش تفاضالت تقسیم شده نیوتن به دست اورید‪.‬‬

10.

‫جدول تفاضالت تقسیم شده نیوتن به صورت زیر است‪:‬‬
‫با دقت در رابطه تفاضالت تقسیم شده نیوتن و جدول فوق مشخص می شود که عدد باالی ی جدول‪ ،‬تفاضالت مورد نیاز در رابطه چند‬
‫جمله ای درون یاب هستند‪ ،‬لذا با جایگذاری ان ها در رابطه فوق خواهیم داشت‪:‬‬