Экологическое моделирование. Модель одновидовых популяции при отсутствии ограничений

1. Экологическое моделирование

Модель одновидовых популяции
при отсутствии ограничений.

2. Модель одновидовых популяции при отсутствии ограничений

В большом пруду разводят рыб. Они
не мешают друг другу: пищи, света,
места хватает, хищники отсутствуют,
рыбу вылавливают.
Как будет меняться популяция с
течением времени?

3. Постановка задачі.

Введем обозначения:
N0 - количество особей в начале
наблюдения (момент времени t = 0)
N - численность популяции в
произвольный момент времени t
Δ N - прирост численности за Δ t
(достаточно малый)
Δ N / Δ t - средняя скорость прироста
за Δ t

4.

Факторы, влияющие на прирост:
А - коэффициент рождаемости
В - коэффициент смертности
Δ N = N * A-N * B = N * (A-B)
A> B A <B

5.

K=A-B
Коэффициент прироста количественная
характеристика внутренней
способности популяции к выживанию

6.

В природных условиях:
1) коэффициент прироста меняется с
течением времени
2) воспроизведение особей
осуществляется постоянно

7. предположение 1.

При неизменных внешних условиях k постоянная во времени величина.
Поэтому:
Ni + 1> Ni
Δ N / Δ t - растет и зависит от Ni

8. Припущення 2.

Зависимость средней скорости
прироста от численности популяции прямо пропорциональна:
Δ NE / Δ t = k * N (1)
или
Δ N = k * N * Δ t (2)
Прирост численности
пропорционален:
1) Ni 2) Δ t

9. Зауваження:

Все утверждения верны
для достаточно малых значений
Δ t nf Δ N
Δ t - условная единица

10. Таким образом из (1) и (2):

k = Δ N / (N * Δ t)
K - относительный прирост Δ N / N за
единицу времени

11. ∆ N/ ∆ t = k*N (1)

1798 р.
Рівняння Томаса
Мальтуса
“модель Мальтуса”

12. Метод пошагового решения уравнения Мальтуса

13. решение:

При t = 0 N = N 0, ΔN = 0
В конце Δt согласно (2) ΔN = k * Nj-1 *
Δt Nj = Nj-1 + ΔN (3)
или Nj = Nj-1 + k * Nj-1 * Δt (4)
(4) (2), (3)
Повторяем 2), 3) для ti = ti-1 + Δt

14. Математична модель одновидової популяції за відсутності обмежень.

∆ N = k*N *∆ t
(2)
Ni = Nj-1+∆N (3)
або
Ni = Nj-1+ k*Nj-1*∆t
(4)

15. Комп'ютерна модель

16. Питання для аналізу моделі:

Як за таблицею встановити, що зростання
чисельності не є лінійним?
Через який час початкова чисельність
подвоїться? Ще раз подвоїться?
Чи через однаковий час подвоюється
чисельність?
Чи виконується така закономірність для ∆N
?
Знайдіть на декількох довільних однакових
проміжках часу Nпочаткова /Nкінцева. Зробить
висновки.

17. Зауваження:

Аналітичне розв'язання рівняння (1):
N=N0ekt
E=2.718…
число Ейлера

18. Висновки:

при k>0
зростання чисельності популяції
з плином часу
необмежене.

19. Висновки:

Будь-яка модель є адекватною у
межах прийнятих припущень.
Результати моделювання можуть бути
хибними за таких причин:
необґрунтованість припущень
екстраполяція моделі
нехтування суттєвими факторами