Доверительный интервал косвенных измерений

1. Доверительный интервал косвенных измерений

2.

Косвенное измерение – определение искомого значения физической
величины на основании результатов прямых измерений других
физических величин, функционально связанных с искомой величиной.
При косвенных измерениях искомое значение величины Q
рассчитывают на основании известной функциональной зависимости
этой величиной от величин, подвергаемых прямым измерениям.
Q = F (X, Y, …, Z),
где X, Y,…, Z – результаты прямых измерений соответствующих величин.
Принципиальной особенностью косвенных измерений является
обработка (преобразование) результатов вне прибора (вручную или
автоматически с помощью компьютера). Характерным признаком
косвенных измерений является процедура выбора косвенной
зависимости Q = F (X, Y, …, Z). Имеется в виду подтверждение степени
адекватности принятой идеализированной модели связи величин
фактическим значениям искомой величины.

3.

Примерами косвенных измерений можно рассматривать:
определение площади сечения S арматурного стержня круглого сечения (см. рис.) по
данным измерения его диаметра: искомая величина – площадь сечения S , косвенный
параметр – диаметр d. В данном случае мы имеем однопараметровые косвенные
измерения
определение площади помещения S по данным измерения его длины a и ширины b
S=a·b .
в этом случае мы имеем многопараметровые косвенные измерения (два параметра – а и b)
В общем случае ситуацию с косвенными измерениями можно формализовать следующим образом
y = F(x, z,…,q) , где y – искомая величина, x, z,…,q – косвенные величины (параметры)
Независимо от числа параметров, результат должен быть представлен доверительным
интервалом по стандартной форме
y = y0 ± Δy
где y0 – точечная оценка, Δy – полуширина доверительного интервала

4.

I . Однопараметровые косвенные измерения
Алгоритм расчета доверительного интервала косвенных измерений базируется на
алгоритме расчета доверительного интервала прямых измерений косвенных параметров.
Дано: y = F(x); x = x0 ± Δx
y0 = F(x0)
Точные (универсальные)
зависимости
+Δy = F(x0+Δx) - F(x0)
-Δy = F(x0-Δx) - F(x0)
Приближенная зависимость
Δy ≈ Δx · dF(x)/dx; x = x0

5. Разница результатов расчета доверительного интервала Δy по точной и приближенной зависимостям зависит от степени «кривизны»

функциональной
зависимости и от ширины доверительного интервала для x - ±Δx.
В подавляющем большинстве практических случаев, и учитывая необходимость
округления доверительного интервала, разницу расчетных значений
доверительного интервала по точной формуле и по приближенной можно не
принимать во внимание.
Приближенная формула особенно удобна в случаях, когда связь между y
и x выражается степенной функцией, то есть
!
В этом случае
y A xB
y A B x B 1 x
Воспользуемся представлением доверительного интервала в
относительных показателях
y
y
y0
x
x
x0

6.

В этом случае можно записать
y A B x B 1 x
x
y
B
B x
B
y0
A x0
x0
! y B x
Относительная погрешность искомой величины y будет в B раз больше
относительной погрешности косвенной величины x
Например, требуется определить доверительный интервал оценки объема V шара, если
величина его диаметра 1). D = 15±1 см . 2). D = 15,0±0,1 см .
Расчет точечной оценки объема шара V0.
Исходя из формулы объема шара можем записать:
4
4
D03 3,1415 153 14136,7см3
3
3
Вариант решения 1. Используем точную формулу расчета ΔV.
Исходя из формулы объема шара можем записать:
V0
4
4
3
V D0 D D03 17156,8 14136,7 3020,1см3
3
3
4
4
3
V D0 D D03 11493,7 14136 ,7 2643,0см 3
3
3
D = 15±1 см
3
V 14100 3000
см
2600

7.

Для D = 15,0±0,1 см получим следующие значения
ΔV:
4
4
3
V D0 D D03 14421,4 14136 ,7 284,7см3
3
3
4
4
3
V D0 D D03 13855,9 14136 ,7 280,8см 3
3
3
V 14140 280см3
D = 15,0±0,1 см
Вариант решения 2. Используем приближенную формулу расчета ΔV, учитывая, что
связь объема и диаметра выражается степенной функцией
D
D 1
0,06666
D0 15
V 3 D 3 0,0666 6 0,2
V V V0 0,2 14136,4 2827 ,3см3
V 14100 2800см 3
D = 15±1 см
Для D = 15,0±0,1 см получим следующие значения
ΔV:
D 0,1
D
0,0066 6 V 3 D 3 0,00666 6 0,02
D0 15,0
V V V0 0,02 14136,4 282,73см 3
V 14140 280см 3
D = 15,0±0,1 см

8.

II . Многопараметровые косвенные измерения
Дано: Известен доверительный интервал для величин X, Z, Q,…,S записанный в
стандартном виде:
X = x0 ± x ;
Z = z0 ± z ;
Q = q0 ± q ;
…
S = s0 ± s ;
известна функциональная зависимость
y F x, z ,q,..., s ,
.Требуется
записать выражение для доверительного интервала Y в
стандартном виде:
Y = y0 ± y
(1)
.
Порядок расчета следующий:
1. Рассчитывается точечная оценка y0 результата косвенных измерений
величины Y путем подстановки в выражение (1) для косвенной величины Y
точечные оценки результатов измерения аргументов, то есть
y0 = F (x0, z0, q0, …,s0),
(2)

9.

2. Рассчитываются составляющие доверительного
интервала по каждому параметру
Границы доверительного интервала для Y можно
определить из выражений:
yx = |F [(x0 + x), z0, q0, …,s0] - y0|
yz = |F [x0, (z0+ z), q0, …,s0] - y0|
yq = |F [x0, z0, (q0+ q), …,s0] - y0|
(3)
...
ys = |F [x0, z0, q0, …,(s0+ s)] - y0|
.Каждая
составляющая погрешности расчитывается так же, как погрешность
однопараметровых косвенных измерений, рассматривая F поочередно, как
функцию одного параметра: x, затем z, q, и s.
3.Составляющие дов.интервала объединяются геометрическим
суммированием, то есть
y y y y ... y
2
x
2
z
2
q
2
s
(4)

10.

Расчет абсолютной погрешности (дов.интервала) можно выполнить и через
относительные показатели, т.е., если
y A x B z C q D ... s N
то
δyx = B·δx;
δyz = C·δz;
δyq = D·δq
δys = N·δs ;
y y x2 y z2 y q2 ... y s2
(5)

11.

Пример 2. Рассчитать площадь сечения колонны по известным значениям
линейных размеров сечения
a = 253,429 ± 2,145 мм
b = 248,333 ± 2,039 мм
после округления
a = 253,4 ± 2,1 мм
b = 248,3 ± 2,0 мм
Расчетная формула
S = a· b
результат следует записать по
форме:
S = S0 ± ΔS
погрешность площади будет иметь две
составляющие ΔSa и ΔSb , которые
объединяются геометрическим
суммированием
S S a Sb
2
2
S0 = a0· b0 = 253,43 · 248,33 =62934,3
± Sa = (a0 ± a)·b – S0 = ± a·b = 2,145 · 248,33 = 532,68
± Sb = (b0 ± b)·a – S0 = ± b·a = 2,039 · 253,43 = 516,74
мм 2
мм 2
мм 2

12. Объединяем составляющие

2
2
2
S S a Sb 532,7 2 516,7 2 742,1 мм
2
Записываем результат S = 62934,3 ± 742,1 мм
2
После округления S = 62900 ± 700 мм
или
2
S = 62950 ± 750 мм
Вариант расчета 2. Поскольку функциональная зависимость для площади является
степенной функцией, то для расчета составляющих общей погрешности можно
воспользоваться формулами для относительных погрешностей
S
2
2
S
S L1 S L 2
S0
S L1
S a
a 2 ,145
1
0,00846
S0
a
253,43
S L 2
Sb
b 2,039
1
0,00821
S0
b
248,33
S S a Sb 0,0118
2
2
S S S0 0,0118 62934,3 742,0
2
После округления S = 62900 ± 700 мм
мм 2
или
2
S = 62950 ± 750 мм

13.

Пример 3.5 . Рассчитать доверительный интервал (относительную погрешность) оценки объема помещения,
если относительная погрешности оценки его высоты δh = 2% , а относительные погрешности длины a и ширины b
равны δa = δb = 1%.
Решение. Выражение для объема помещения V представляет собой степенную функцию трех параметров – длины,
ширины и высоты
V a b h
поэтому расчет относительной погрешности объема выполним по формуле
V Va2 Vb2 Vh2 a 2 b2 h2
.Подставляя значения относительных погрешностей линейных размеров, получаем относительную погрешность
объема
V 0,012 0,012 0,022 0,0245 2,5%
Рассчитаем погрешность объема «по частям», сначала определим дов.интервал площади основания S
S a b
S S a2 Sb2 12 12 1,4142%
,
затем определим дов. интервал объема
V S h
V VS2 Vh2 S 2 h 2 2 22 2,45 2,5%

14.

Подставляя известные значения относительных погрешностей, получаем относительную
погрешность высоты
h 0,0252 0,012 0,012 0,0283 2,8%
Результат неверный !!!
Частная погрешность - δh превосходит погрешность объема (2,5%) и не согласуется с
данными примера 3.5 , где относительная погрешность высоты δh ≈ 2% !
Для верного решения необходимо воспользоваться формулой, в которой нет
необходимости учитывать корреляцию
2
2
2
2
2
2
V Va Vb Vh a b h
h V 2 Va2 Vb2 V 2 a 2 b 2 0,0206 2,1%

15.

16.

F E A
F E 2 2 d
2
2
E F 2 d
2
2
2
(1)
F
4 F
E
A d 2
(2)
С учетом корреляции F и ε
E EF E 2 r EF E 2 d
2
2
2
E F 2 1 2 r F 1 2 d
2
2
(2)