Поиск оптимального плана – точки равновесия х*
Точка равновесия x*
Изокоста
Геометрическое решение задачи поиска точки равновесия
Необходимое условие касательной точки равновесия
Правило равной производительности ресурсов на единицу затрат
Геометрическое решение задачи поиска точки равновесия
Геометрическое решение задачи поиска точки равновесия
Необходимое условие угловой точки равновесия
Функции издержек
Построение функции переменных издержек
Функция переменных издержек для линейной ПФ
Однородные функции
Функция издержек однородной ПФ
Влияние эффекта масштаба на вид кривой издержек
Влияние эффекта масштаба на вид кривой издержек
Влияние эффекта масштаба на вид кривой издержек
Функции издержек
Предельные издержки
свойства функций издержек 1
свойства функций издержек 2
свойства функций издержек 3
На кривой общих затрат ТС
4.39M
Category: financefinance

Функции издержек

1. Поиск оптимального плана – точки равновесия х*

• выпуск заданного
количества
продукции q с
наименьшими
переменными
издержками
G ( x) w x min,
при условии
q ( x) const
x 0.
• выпуск
максимального
количества
продукции при
наличии бюджетного
ограничения
q ( x) max
при условии
G ( x) w x const
x 0.

2. Точка равновесия x*

• касательная
• угловая
• x* - точка касания
изокосты с
изоквантой, причем
задействованы все
ресурсы
• точка равновесия
лежит на одной из
осей
x1* > 0, x2* > 0
одна из
координат точки
равна 0

3. Изокоста

- множество планов производства с
одинаковыми переменными издержками
• Уравнение изокосты
G ( x) w1 x1 w2 x2 c
• Семейство изокост на плоскости –
множество отрезков параллельных прямых
w ( w1 , w2 )
с нормалью
• Угол наклона изокосты к оси Оx1
определяется отношением цен на ресурсы:
tg = – w1/ w2.

4. Геометрическое решение задачи поиска точки равновесия

q ( x) max
при условии
G ( x) w x const
X2
x
X*
*
2
0
x1
*
qmax
X1

5. Необходимое условие касательной точки равновесия

• x*=(x1*, x2*) – касательная точка
равновесия и
• ПФ дифференцируема в этой точке
w1
MRTS12 ( x )
w2
*

6. Правило равной производительности ресурсов на единицу затрат

MP1 w1
MP1 MP2
MRTS12
MP2 w2
w1
w2
• Производитель заменяет один ресурс другим, пока это
выгодно.
• Отдачи ресурсов в расчете на единицу затрат
равны для всех используемых ресурсов.
• Рубль затрат в любой ресурс приносит одинаковый
эффект.
• В рыночной экономике происходит согласование
способа производства с соотношением цен на факторы,
• производительность факторов (отдача ресурсов)
должна соответствовать их стоимости,
• в результате ограниченные ресурсы используются
самым эффективным способом.

7.

Геометрическое решение задачи поиска точки
равновесия для ПФ Кобба-Дугласа
C w1 x1 w2 x 2 min
где
при условии
1/ 2 1/ 4
1
2
q 4x
x
x – отработанные человеко-часы,
x – отработанные машино-часы,
q – число изготовленных рам.
1
2
ресурсы покупают
по ценам w1 и w2 ден. ед.

8. Геометрическое решение задачи поиска точки равновесия

Поиск оптимального плана для линейной ПФ
G ( x) w1 x1 w2 x2 min
a1 x1 a2 x2 q,
• в одной системе координат построим
изокванту и семейство изокост
• Для определенности предположим, что
w1/w2 > a1/a2
• план х* – самый дешевый, обеспечивающий
выпуск q единиц продукции.
• Получили угловую точку равновесия
argmin G(x) = x* = (0, q/a2).

9. Геометрическое решение задачи поиска точки равновесия

для линейной ПФ
X2
изокоста
угол наклона изокванты
tg = –a1/a2 ,
угол наклона изокосты
w=(w1,w2)
A
q/a2
tg = – w1/w2
изокванта
0
q/a1
X1

10. Необходимое условие угловой точки равновесия

• Если оптимальный план x*=(0, x2*)
(невыгодно использовать даже первую
единицу первого ресурса), то
w1
MRTS12 ( x )
w2
*
• Если оптимальный план x*=(x1*,
w1
MRTS12 ( x )
w2
*
0), то

11. Функции издержек

12. Построение функции переменных издержек

G ( x) w x min,
Пусть задача минимизации издержек имеет единственное решение:
x*=(x1*, x2*, ..., xn*) - план производства по ресурсам, обеспечивающий
выпуск q единиц продукции = оптимальный план по ресурсам =
точка равновесия производителя.
функция спроса на ресурсы:
стоимость этих ресурсов
*
*
x x ( w, q)
w x * ( w, q )
• функция переменных издержек
денежных единиц.
*
C v ( w, q ) w x ( w, q )
сопоставляет объему выпуска q и ценам ресурсов w
стоимость плана, обеспечивающего выпуск q единиц продукции с
наименьшими переменными издержками,
• функция общих издержек
C (q ) C0 Cv (q).

13. Функция переменных издержек для линейной ПФ

w1/w2 > a1/a2
X2
Угловая точка равновесия:
изокоста
argmin G(x) = x* = (0, q/a2).
w=(w1,w2)
Стоимость ресурсов в
оптимальном плане
A
q/a2
Gmin=Сv(q)=w2 q/a2
изокванта
0
ден.ед.
q/a1
X1
В общем случае, для линейной ПФ
функция переменных издержек Сv(q)=min{w1/a1, w2/a2}q.

14.

Геометрическое решение задачи поиска точки
равновесия для ПФ Кобба-Дугласа
C w1 x1 w2 x 2 min
где
при условии
1/ 2 1/ 4
1
2
q 4x
x
x – отработанные человеко-часы,
x – отработанные машино-часы,
q – число изготовленных рам.
1
2
ресурсы покупают
по ценам w1 и w2 ден. ед.

15. Однородные функции

• Функция нескольких переменных называется
однородной порядка m, если для всех х из
некоторой области Х
f (kx1 , kx 2 ,..., kx n ) k f ( x1 , x 2 ,..., x n )
m
• Если ПФ является однородной
порядка m, то
• при m=1 ПФ обладает постоянным;
• при m>1 ПФ обладает возрастающим
• при m<1 ПФ обладает убывающим
эффектом
масштаба

16. Функция издержек однородной ПФ

Теорема. Если ПФ является однородной
порядка (степени) m, то
• функция спроса на ресурсы
1 1/ m
x(q) x q
1
где x – план по ресурсам, обеспечивающий
выпуск единицы продукции с наименьшими
переменными издержками
(стоимость плана x1 есть Cv(1)=С1),
• функция переменных издержек
C v (q) C v (1)q
1/ m
.

17.

• Следствие. Если ПФ характеризуется
постоянным эффектом масштаба
(является однородной степени 1), то
она порождает линейную функцию
издержек
C ( q ) C0 C 1 q

18. Влияние эффекта масштаба на вид кривой издержек

постоянный
X2
C
3x2
3q
2x2
2C
2q
C
x2
0
q
x1
2x1
3x1
X1
q
2q
q

19. Влияние эффекта масштаба на вид кривой издержек

убывающий
X2
C
2q
2x2
x2
2C
C
q
0
x1
2x1
X1
q
2q
q

20. Влияние эффекта масштаба на вид кривой издержек

возрастающий
C
X2
2C
C
2x2
2q
x2
0
q
x1
2x1
X1
q
2q
q

21. Функции издержек

С(q) = CV(q) + С0
общие издержки
TC (total cost)
=
переменные издержки
VC (variable cost)
+
постоянные издержки
FC (fixed cost).
C (q)
AC (q )
функция средних издержек –
q
себестоимость (ATC – average total cost) численно
равна издержкам, которые приходятся на единицу
продукции.
C (q) Cv (q) C 0
AC (q )
AVC (q ) AFC (q ).
q
q
q
функция средних
переменных издержек
(average variable cost)
функция средних
постоянных издержек
(average fixed cost)

22. Предельные издержки


Предельные издержки
C (q ) - функция предельных издержек.
Cv (q ) C (q )
= MC(q) (marginal cost).
• Экономическая интерпретация
предельных издержек: величина
предельных издержек при данном объеме
выпуска показывает, на сколько денежных
единиц приблизительно возрастут издержки,
если увеличить объем выпуска на единицу
C (q ) C (q 1) C (q )
q 1 MC (q ) C

23. свойства функций издержек 1


С(q) = CV(q) + С0
Кривая
Кривая
общих
переменных
издержек
издержек
сдвиг вверх на С0
CV(0)=0. График функции переменных
издержек выходит из начала координат,
графики функций общих и постоянных
издержек начинаются в точке (0, С0).
• A1: функция переменных
(общих) издержек является
строго монотонно
возрастающей функцией
C (q) q 3 3q 2 4q 27
C v (q ) C (q ) 0

24. свойства функций издержек 2


A2: начиная с некоторого объема выпуска
(возможно, равного нулю), приращение
переменных (общих) издержек,
порожденное выпуском дополнительной
единицы продукции, последовательно
возрастает.
предельные издержки MC(q) C(q+1)–C(q)
становятся все больше.
функция переменных (общих) издержек
является выпуклой либо при всех q 0, либо
начиная с некоторого объема выпуска.
графики функции предельных издержек и
функции средних переменных издержек
начинаются в одной точке. AVC (0) C (0).
AVC (q ) AC (q )
график функции
средних переменных издержек AVC расположен
ниже графика функции средних общих
издержек AC,
с ростом q кривые AC и AVC асимптотически
сближаются.
lim ( AC (q ) AVC (q )) lim AFC (q ) 0
q
q

25. свойства функций издержек 3

• A3: C ростом объема выпуска
средние издержки
первоначально убывают, а,
начиная с некоторого объема
выпуска, начинают возрастать
• кривая предельных издержек
MC пересекает кривую средних
переменных издержек AVC в
точке минимума средних
переменных издержек
• кривая предельных издержек
MC пересекает кривую средних
общих издержек AC тоже в её
точке
минимума
C (q)
C (q) q C (q) C (q ) AC (q )
AC (q)
0
2
q
q
q

26. На кривой общих затрат ТС

• предельные затраты МС определяются
тангенсом угла наклона касательной
• средние затраты АС определяются тангенсом
угла наклона луча, проведенного из начала
координат к кривой
Средние затраты достигают минимума
при таком объёме выпуска, когда они
равны предельным затратам
English     Русский Rules