Практикум по решению задач №11. (Движение) (профильный уровень)

1. Практикум по решению задач №11 ( движение) (профильный уровень)

2. Задачи №11

Тип №1 ( движение навстречу)
Тип №2 ( движение вдогонку)
Тип № 3 (движение по окружности)
Тип № 4 (средняя скорость)
Тип № 5 (протяженность тел)
Тип № 6 (движение по реке)

3. Тип №1

Решение.
Из двух поселков, расстояние
между которыми равно 20 км,
навстречу друг другу вышли два
пешехода. Через сколько часов
они встретятся, если их
скорости равны 3,5 км/ч и 4,5
км/ч?
Ответ: 2,5

4. Тип №1

Расстояние между городами
А и В равно 435 км. Из города А
в город В со скоростью 60 км/ч
выехал первый автомобиль, а
через час после этого
навстречу ему из города В
выехал со скоростью 65 км/ч
второй автомобиль. На каком
расстоянии от города А
автомобили встретятся? Ответ
дайте в километрах.
Решение.
Через час после выезда
первого автомобиля расстояние
между автомобилями стало
равно 435 –60 = 375 (км),
поэтому автомобили встретятся
через t =375:(60 + 65) = 3 (ч).
Таким образом, до момента
встречи первый автомобиль
будет находиться в пути 4 часа
и проедет 60 · 4 = 240 (км).
Ответ: 240

5. Тип №1

Из городов А и В, расстояние
между которыми 270 км,
одновременно навстречу друг
другу выехали два автобуса,
которые встретились на
расстоянии 140 км от А.
Найдите скорость автобуса (в
км/час), выехавшего из пункта
В, если автобусы встретились
через 2,5 часа
Решение.
Автобус, выехавший из пункта В,
до встречи прошел путь 270 –
140 = 130 км за 2,5 часа. Значит,
его скорость равна 130 : 2,5 =
52 км/час
Ответ: 52

6. Тип №1

Турист вышел из пункта А в
пункт B со скоростью 5 км/ч.
Навстречу ему, в то же время
выехал велосипедист со
скоростью 12 км/ч. Через 2
часа пути расстояние между
ними составляло треть всего
расстояния между А и B.
Найдите длину участка АB
Решение.
Подставляем в формулу
И находим расстояние s = 34 км
прошли за 2 часа
1–1/3=2/3 части пути прошли
34:2·3=51 км
Ответ: 51

7. Тип №1

Из пункта А в пункт В
выехал мотоциклист и
одновременно из В в А
выехал автомобилист.
Мотоциклист прибыл в
В через 2 часа после
встречи, а автомобилист
в А через 30 минут после
встречи. Сколько часов
был в пути
мотоциклист?
Решение
В
А
М
Обозначим место встречи буквой М.Пусть скорость
мотоциклиста х км в час, скорость автомобилиста у
км в час. До встречи они ехали t часов.
Мотоциклист проехал путь АМ, равный
xt км,автомобилист проехал путь ВМ, уt км.
После встречиавтомобилист проехал путь АМ,
равный 0,5у км. 0,5у=хt. Мотоциклист проехал путь
МВ, равны 2x км 2х=yt Находим t , t=0,5y/x и t=2x/y
Приравниваем0,5у/х=2х/у, y2=4x2 , y=2x
Cкорость автомобилиста в два раза больше
скорости мотоциклиста.
Значит на путь МА мотоциклист затратил времени в
два раза больше, чем автомобилист.на путь АМ (
автомобилист затратил 0,5 часа) Поэтому
мотоциклист затратил 1 час.
И 2 часа мотоциклист проезал от М до В
Всего 1 час + 2 часа=3 часа
Ответ: 3

8. Тип №1

Расстояние между
городами А и В равно 440 км. Из
города А в города В выехал
первый автомобиль, а через два
часа после этого навстречу
ему из города В выехал со
скоростью 90 км/ч второй
автомобиль. Найдите скорость
первого автомобиля, если
автомобили встретились на
расстоянии 260 км от города А.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Так как автомобили встретились на
расстоянии 260 км от города А, то
второй проехал 440 км– 260 км =
180 км.
180 км : 90 км/ч = 2 ч – столько
времени второй был в пути до
встречи.
2 ч + 2 ч = 4 ч – столько времени
первый был в пути до встречи.
260 км : 4 ч = 65 км/ч – с такой
скоростью ехал первый
автомобиль.
Ответ: 65

9. Тип №2

Два пешехода
отправляются
одновременно из
одного и того же места
на прогулку по аллее
парка. Скорость
первого на 1,5 км/ч
больше скорости
второго. Через сколько
минут расстояние
между пешеходами
станет равным 300 м?
Решение.
Время t в часах, за которое расстояние
между пешеходами станет равным
300 м, т. е. 0,3 км, находим по
формуле
= 0,2
Следовательно, это время составляет 12
мин.
Ответ: 12

10. Тип №2

Два человека отправляются из одного и
того же места на прогулку до опушки
леса, находящейся в 4,3 км от места
отправления. Один идёт со скоростью 4
км/ч, а другой – со скоростью 4,6 км/ч.
Дойдя до опушки, второй с той же
скоростью возвращается обратно. На
каком расстоянии от точки отправления
произойдёт их встреча? Ответ дайте в
километрах.
Решение.
Обозначим расстояние МВ = х, тогда
первый проходит 4,3 – х, а второй
проходит 4,3 + х. До встречи они
затратили равное время. Составим
пропорцию
Сократим знаменатели на 4
4,3 + х = 4,3·1,15 - х·1,15
х + х·1,15 = 4,3·1,15 – 4,3
х + х·1,15 = 4,3· (1,15 – 1)
х·2,15 = 4,3·0,15
Х = 0,3; 4,3-0,3=4
Ответ: 4

11. Тип №2

Из А в В одновременно выехали два
автомобилиста. Первый проехал с
постоянной скоростью весь путь. Второй
проехал первую половину пути со
скоростью, меньшей скорости первого на 14
км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью 99 км/ч, в результате чего прибыл
вВ одновременно с первым автомобилистом.
Найдите скорость первого автомобилиста,
если известно, что она больше 50 км/ч.
Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть v км/ч – скорость первого
автомобиля, тогда скорость второго
автомобиля на первой половине пути
равна v–14 км/ч. Примем расстояние
между пунктами за 2. Автомобили были в
пути одно и то же время, отсюда имеем:
2/v = 1/99 + 1/(v–14), где v>50
v = 36 (так как v>50)
v = 77
Ответ: 77.

12. Тип №2

Из пункта А в пункт В, расстояние между
которыми 250 км, выехал автобус. Спустя
час вслед за ним выехал автомобиль,
который прибыл в пункт В на 40 минут
раньше автобуса. Вычислите среднюю
скорость движения автобуса, если
известно, что она в 1,5 раза меньше
средней скорости автомобиля
Решение.
По условию задачи автобус был в пути на 1
час и 40 минут больше, чем а/м. 1час +40
мин=1+2/3=5/3 часа.
Пусть скорость автобуса равна х. Тогда
скорость а/м равна 1,5х.
Составим уравнение:
250/х – 250/1,5 х =5/3;
(250·1,5 –250)/1,5 х =5/3;
125/1,5х=5/3;
1,5х·5=125·3;
7,5х=375;
х=50.
Ответ: 50.

13. Тип №2

Города А, В и С соединены прямолинейным
шоссе, причём город В расположен между
городами А и С. Из города А в сторону города
С выехал легковой автомобиль, и одновременно с
ним из города В в сторону города С выехал
грузовик. Через сколько часов после выезда
легковой автомобиль догонит грузовик, если
скорость легкового автомобиля на 28 км/ч
больше скорости грузовика, а расстояние между
городами А и В равно 112 км?
Решение.
Пусть t ч – время за которое легковой
автомобиль догонит грузовой , x км/ч –
скорость грузовика, x+28 км/ч –
скорость легкового автомобиля.Тогда
за t ч легковой автомобиль проедет (x +
28)·t км,
а грузовик x·t км.Расстояние
пройденное грузовиком на 112 км
меньше, составим уравнение:
(x + 28)·t = x·t + 112
xt + 28t = xt + 112
xt + 28t – xt = 112
28t = 112 ; t = 4 часа.
Ответ: 4.

14. Тип №3

Из одной точки круговой
трассы, длина которой равна
14 км, одновременно в одном
направлении стартовали два
автомобилиста. Скорость
первого автомобилиста равна
80 км/ч, и через 40 мин после
старта он опережал второго
автомобилиста на один круг.
Найдите скорость второго
автомобилиста. Ответ дайте в
километрах в час.
Решение.
Пусть скорость второго
автомобилиста равна х
км/ч. Поскольку 40 мин
составляют 2/3 ч, и это то
время, за которое первый
автомобилист будет
опережать второго на один
круг, составим по условию
задачи уравнение 14 : (80 –
x) = 2/3 откуда
160 – 2x = 42, x = 59.
Ответ: 59.

15. Тип №3

Два гонщика участвуют в гонках. Им
предстоит проехать 70 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 4,4
км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый
пришёл раньше второго на 30 минут.
Чему равнялacь средняя скорость
второго гонщика, если известно, что
первый гонщик в первый раз обогнал
второго на круг через 24 минуты? Ответ
дайте в км/ч.
Решение. Заданные минуты переводим
в часы. t1=24 минута = 24/60 = 0,4
часа, t2=30 минут = 1/2 = 0,5 часа.
70 кругов по 4,4 км = 308км
Скорость первого равна x. Тогда
через 24 минуты он проехал 0,4x
Скорость второго равна y. Тогда
через 24 минуты он проехал 0,4x.
Разница 1 круг 4,4 км 0,4x–0,4y=4,4 ⤍
x=11+y
На весь путь первый затратил
308/x=180/(11+y)ч
На весь путь второй потратил 308/y
Первый пришел к финишу на 30
мин=0,5ч
308/y–308/(11+y)=1/2
308(11+y)–308y=y(11+y)/2
3388x2=11y+y2 ,
y2+11y–6776=0
D=121+27104=27225
y1=(11–165)/2 < 0 не удовлетворяет
условию
y2=88
Ответ: 88

16. Тип №3

Решение.
Из пункта A круговой трассы выехал
велосипедист, а через 30 минут
следом за ним отправился
мотоциклист. Через 10 минут после
отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а еще
через 30 минут после этого догнал
его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы
равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 80

17. Тип №3

Двум гонщикам предстоит проехать
85 кругов по кольцевой трассе
протяжённостью 8 км. Оба гонщика
стартовали одновременно, а на
финише первый пришёл раньше
второго на 17 минут. Чему равнялась
средняя скорость второго гонщика,
если известно, что первый гонщик
в первый раз обогнал второго на круг
через 48 минут? Ответ дайте в км/ч.
Решение. 17 минут = 17/60 часа, 48 минут – это 4/5 ч.
Пусть v1 – скорость первого гонщика, v2 – скорость
второго
за 17 минут первый прошел S км, то второй (S−8) км,
S=v1⋅4/5 и S−8=v2⋅4/5.
⇒v1·4/5–8=v2·4/5 , v1=(v2·4/5+8)/(4/5)
v1=((4v1+40)/5)·(5/4)
v1=v2+10,
8⋅85=680 км
первый гонщик прошел ее за t ч, то второй – за
t+17/60 ч
680=v1⋅t и 680=v2⋅(t+17/60)
t=680v1, ,
v1=v2+10
v22+10v2−24000=0
v2=150 км/ч.
Ответ: 150.

18. Тип №4

Автомобиль ехал первую
половину пути со скоростью
40 км/ч, а вторую половину
пути — со скоростью 60
км/ч. Найдите среднюю
скорость движения
автомобиля на всем пути.
Ответ дайте в километрах в
час
Решение.

19. Тип №5

Решение.
Выразим скорость в м/с:
Поезд, двигаясь равномерно со
скоростью 120 км/ч, проезжает мимо
платформы, длина которой 300 м, за 15 с.
Найдите длину поезда(в метрах)
Путь поезда вместе с платформой
(S + L ), где L – длина поезда, Sдлина платформы:
Выразим длину поезда из этой
формулы:
L = t·V – S,
Ответ: 200

20. Тип №5

Решение.
L = t·V – S. Найдем разницу скоростей:
По двум параллельным
железнодорожным путям в одном
направлении следуют пассажирский и
товарный поезда, скорости которых
равны соответственно 90 км/ч и 30
км/ч. Длина товарного поезда равна
600 метрам. Найдите длину
пассажирского поезда, если время, за
которое он прошел мимо товарного
поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в
метрах.
90-30 = 60км/ч
Ответ: 400

21. Тип №5

По двум параллельным
железнодорожным путям друг
навстречу другу следуют скорый и
пассажирский поезда, скорости
которых равны соответственно 65
км/ч и 30 км/ч. Длина пассажирского
поезда равна 700 метрам. Найдите
длину скорого поезда, если время, за
которое он прошел мимо
пассажирского поезда, равно 36
секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение.
L = t·V – S. Найдем сумму скоростей: 65 + 30 =
95км/ч
Ответ: 350

22. Тип №6

От пристани одновременно
отправились катер и плот.
Через 9 км катер развернулся
и, пройдя еще 13 км, догнал
плот. Найдите скорость
течения реки, если
собственная скорость катера
равна 22 км/ч. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
Катер прошел вверх по течению 9 км,
развернулся и прошел вниз по течению 13 км, а
плот за это же время проплыл 13–9=4 км вниз по
течению. Пусть х км в час – скорость течения
реки, а значит и скорость плота.
объект
по теч.
против теч.
v, км/ч
22 +х
22 - х
t, ч
13/(22 +х)
9/(22 -х)
s, км
13
9
4/х час. – время плота по течению. Уравнение.
9/(22–х) + 13/(22+х) = 4/х
х≠0; 22–х≠0; 22+х≠0
Ответ: 4

23. Тип №6

Решение.
Теплоход проходит по течению реки
от пункта А до пункта В, расстояние
между которыми 120 км, и после
стоянки возвращается в пункт А.
Найдите скорость теплохода в
неподвижной воде, если скорость
течения равна 2 км/ч, стоянка длится
5 часов, а в пункт отправления
теплоход возвращается через 30
часов после отплытия из него. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ: 10

24. Тип №6

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в
пункт В, расположенный в 15 км от А.
Пробыв в пункте В 45 мин, байдарка
отправилась назад и вернулась в пункт
А в 16:00 того же дня. Определите в
(км/ч) собственную скорость
байдарки, если известно, что скорость
течения реки равна 3 км/ч.
Пусть х – собственная скорость, тогда
(х+3) – скорость по течению, а (х–3) –
скорость против течения.
Всего в пути байдарка пробыла 6
часов (16.00–10.00), остановка
длилась 45 мин=3/4 часа, тогда
узнаем сколько байдарка
находилась на плаву, т.е.
передвигалась:
6–3/4=21/4 = 5.25 часов – время
плавания
Зная, что путь в один конец 15 км,
составим и решим уравнение:
15/(x+3) + 15/(x–3) = 5.25
15(x–3)+15(x+3) = 5.25(x2–9)
15х – 45 + 15х +45 = 5.25х2 – 47.25
5.25x2 – 30x – 47.25 = 0 | х4
21x2 – 120x – 189 = 0
x= 7

25. Тип №6

Из пункта А в пункт В вниз по
течению реки отправились
одновременно моторная лодка и
байдарка. Скорость течения
реки равна 3 км/ч. Последнюю
1/7 часть пути моторная лодка
шла с выключенным мотором, и
ее скорость относительно
берега была равна скорости
течения. На той части пути, где
моторная лодка шла с
включенным мотором, ее
скорость была на 2 км/ч больше
скорости байдарки. Найдите
скорость байдарки в
неподвижной воде, если в пункт
В байдарка и моторная лодка
прибыли одновременно.

26. Тип №6

Весной катер идёт против течения реки в
5/3 раза медленнее, чем по течению.
Летом течение становится на 1 км/ч
медленнее. Поэтому летом катер идёт
против течения в 3/2 раза медленнее, чем
по течению. Найдите скорость течения
весной (в км/ч).
Решение.
Пусть х км/ч скорость
течения весной,( х - 1) км/ч
скорость течения летом, у км/ч
скорость катера.
Составим 1-е уравнение(у – х)5/3 =
у+х,
отсюда у = 4х, Составим 2-е
уравнение (у – х + 1)3/2 = у+х –
1. Подставим вместо у
выражение 4х.Получаем 3(3х+1)
= 2(5х-1). Отсюда х = 5
Ответ: 5