Задача потребительского выбора. Задачи нелинейного программирования

1. Задача потребительского выбора

Пример к теме «Задачи нелинейного
программирования»
1

2. Содержательная постановка

Потребитель располагает некоторой величиной дохода,
которую планируют потратить на приобретение
потребительского набора из двух товаров.
Предпочтения потребителя описываются функцией
полезности U(x1, x2), доход равен I, а цены товаров
p=(p1,p2).
Полагая, что поведение потребителя рационально (то есть
он выбирает такие количества каждого блага из товарного
набора, которые позволяют ему максимально
удовлетворить свои потребности при наличии
ограниченного дохода) требуется определить
оптимальный набор товаров А, который выберет
потребитель при фиксированном доходе и заданном
векторе цен, а также достигнутый уровень полезности.
2

3. Исходные данные для анализа

Функция полезности
U( x1, x 2 ) ( x1 2)1 / 4 ( x 2 1)3 / 4 max
где xi – количество i-го блага, ед.
Вектор цен на товары
p1=100 p2=200
Величина располагаемого дохода I=2000 у.д.ед.
3

4. Математическая модель задачи

U( x1, x 2 ) ( x1 2)1 / 4 ( x 2 1)3 / 4 max (1)
100 x1 200 x 2 2 000
( 2)
x1 0 x 2 0
Набор, который является решением задачи потребительского выбора,
называется оптимальным потребительским набором, или точкой локального
рыночного равновесия потребителя.
Поставленная задача – задача потребительского выбора – является задачей
нелинейного программирования.
U( x1,...x n ) max
n
pi x i I
i 1
x1 0 ... x n 0
4
(3)

5. Метод множителей Лагранжа

Составим регулярную функцию Лагранжа
L( x1, x 2 , y) ( x1 2)1 / 4 ( x 2 1)3 / 4 y 100 x1 200 x 2 2 000 max (4)
x1 0 x 2 0
Найдем первые частные производные для функции
Лагранжа и используем условие теоремы 1
L
3 / 4
( x 2 1)3 / 4 100 y
x 1 / 4 ( x1 2)
1
L
3 / 4 ( x1 2)1 / 4 ( x 2 1) 1 / 4 200 y
x 2
100 x1 200 x 2 2000.
5
1 / 4 ( x1 2) 3 / 4 ( x 2 1)3 / 4 100 y 0
1/ 4
1 / 4
200 y 0
3 / 4 ( x1 2) ( x 2 1)
100 x 200 x 2000.
1
2

6. Решение

1
3 / 4
( x 2 1)3 / 4 100 y
4 ( x1 2)
1/ 4
1 / 4
200 y (5)
3 / 4 ( x1 2) ( x 2 1)
100 x 200 x 2000.
1
2
1 x 2 1 1
3
x
2
2
1
100 x 200 x 2000.
1
2
Решить самостоятельно!
Получим стационарную точку, подозрительную на экстремум.
Для её проверки на оптимальность строится матрица Гёссе.
6

7. Проверка стационарной точки на наличие экстремума

Матрица Гёссе вторых частных производных
L//xx
2L
x12
2
L
x x
2 1
2 L
x1x 2
( 6)
2L
2
x 2
В нашем примере
L//xx
7
3
7 / 4
( x 2 1)3 / 4
( x1 2)
16
3 ( x 2) 3 / 4 ( x 1) 1 / 4
1
2
16
3
( x1 2) 3 / 4 ( x 2 1) 1 / 4
16
3
1/ 4
5 / 4
( x1 2) ( x 2 1)
16

8. Проверка в ППП MathCAD

8