Объем прямоугольного параллелепипеда, призмы и цилиндра

1.

Объём прямоугольного параллелепипеда,
призмы, цилиндра
Цель урока: познакомиться с понятием объёма;
рассмотреть свойства объёмов;
теорему об объёме прямоугольного
параллелепипеда и следствие о прямой
призме, основание которой
прямоугольный треугольник,
вывести формулу объёма
цилиндра.

2.

Понятие объёма
За единицу измерения объёмов принимается куб, ребро
которого равно единице измерения отрезков.
Куб с ребром 1см называют кубическим сантиметром,
3
обозначают ñì .
3
Аналогично определяются кубический метр ì , кубический
3
миллиметр ì ì
.
Свойства объёмов:
1. Равные тела имеют равные объёмы.
2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен
сумме объёмов этих тел.
1
1
3. Объём куба с ребром
равен 3
n
n

3.

Теорема:
Объём прямоугольного параллелепипеда
равен произведению трёх его измерений.
V = abc
Следствие 1:
Следствие 2:
Объём прямоугольного параллелепипеда равен
произведению площади основания на высоту.
Объём прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен произведению
площади основания на высоту.
ABCFA1 B1C1 – прямая треугольная призма,
A 90
Доказать: V S
ABC h
Доказательство: V Sî ñí h, Sî ñí 2S ABC
Дано:
V S
ABC
h.

4.

Объём прямой призмы
Теорема:
Объём прямой призмы равен произведению площади
основания на высоту.
1. ABCDA1B1C1D1 – прямая треугольная призма с
объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту
треугольника АВС (BD), которая разделяет треугольник
на два треугольника. (BB1D) разделяет данную призму на
две призмы, основаниями которых являются
прямоугольные треугольники ABD и BDC.
V1 S ABD h; V2 SBDC h. V V1 V2,
V S ABD h SBDC h (S ABD SBDC ) h.
2. Произвольную призму разобьём на треугольные
призмы с высотой h.
V S1 h S 2 h ..... S n h
S1
S 2 .... S n h S h
V S h
Т. е.
V S ABC h.

5.

Объём цилиндра
Призма вписана в цилиндр, если её
основания вписаны в основания
цилиндра.
Призма описана около цилиндра,
если её основания описаны около
оснований цилиндра.
Высота любой призмы, вписанной в цилиндр или
описанной около него, равна высоте самого цилиндра
Теорема: Объём цилиндра равен произведению площади
основания на высоту.

6.

Доказательство
Цилиндр
h
Pn
Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h
правильную n–угольную призму Fn, а в эту призму впишем
цилиндр Рп. Пусть V – объём цилиндра Р, Vn – объем
цилиндра Рп; rп радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы
Fn равен Sn∙h, где Sn — площадь основания призмы, а
цилиндр Р содержит призму Fn, которая, в свою очередь,
содержит цилиндр Рп, то Vn < S n ∙ h < V.
(2)
Будем неограниченно увеличивать число n. При этом
радиус rп цилиндра Рп стремится к радиусу r цилиндра Р
(rn r cos
180
r ï ðè n )
n
Поэтому объём цилиндра Рп стремится к объёму цилиндра Р:
limVn V .
n
2
Sn h V . Но lim Sn r .
Из неравенства (2) следует, что lim
n
n
Т.е.
V r h.
2
r S.
2
Итак, объём цилиндра равен:
V S h