Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степени

1. Решение задач при помощи систем уравнений первой и второй степени.

2.

Умение находить решения системы
уравнений дает нам в руки мощный
инструмент для решения
конкретных задач. Таким образом,
решение задачи сводится к
составлению системы уравнения.

3. Задача 1

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ
равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение
Пусть x см – длина, y см – ширина прямоугольника.
Периметр равен 2(x+y) т.е. 34 см. Диагональ разбила
прямоугольник на два прямоугольных треугольника,
тогда по теореме Пифагора x²+y²=13². Составляем
систему уравнений.
2( x y) 34,
2
2
2
x y 13 .
Ответ: 5 см; 12 см.

4. Задача 2

Периметр прямоугольника равен 80 см. Если
основание прямоугольника увеличить на 8 см, а
высоту — на 2 см, то площадь прямоугольника
увеличится в полтора раза. Каковы стороны
прямоугольника?
Пусть: х см - основание прямоугольника,
у см - высота. Имеем 2х+2у=80.
Площадь прямоугольника хуcм 2. После
увеличения сторон прямоугольника площадь
2
cм
будет равна (х+8)(у+2)
.
По условию задачи площадь прямоугольника
увеличится в полтора раза, т. е.
(х+8)(у+2)=1,5xy.

5.

Итак, имеем систему уравнений
2( x y ) 80,
( x 8)( y 2) 1,5 xy.
Задача имеет два решения.
Стороны прямоугольника равны 28 см и 12 см или
они равны 24 см и 16 см.
Ответ:28см и 12см или 24см и 16см.

6. Самостоятельно:

Сумма двух чисел равна 12, а их
произведение равно 35. Найдите эти
числа.
x y 12,
xy 35.
Ответ: 5 и 7.

7.

Решит самостоятельно:
1. Разность двух чисел равна 5, а их
произведение равно 84. Найдите эти числа.
2. Один из катетов прямоугольного
треугольника на 14 см больше другого, а
гипотенуза равна 26 см. Найдите катеты
треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника
равна 13 см. Если один из его катетов
увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится
на 2 см. Найдите катеты треугольника.
4. Площадь прямоугольного треугольника
равна 24 см2 , а его гипотенуза равна 10 см.
Каковы катеты треугольника?

8.

5. Произведение двух чисел на 29 больше их
суммы. Если к первому числу прибавить
удвоенное второе число, то получится 19.
Найдите эти числа.
6. Периметр прямоугольного треугольника
равен 48 см, а его гипотенуза равна 20 см.
Найдите катеты этого треугольника.
7. От вершины прямого угла по его сторонам
начинают одновременно двигаться два тела.
Через 15 с расстояние между ними стало
равным 3 м. С какой скоростью двигалось
каждое тело, если известно, что первое
прошло за 6 с такое же расстояние, какое
второе прошло за 8 с?
8. Периметр прямоугольника равен 20 см, а
сумма площадей квадратов, построенных на
его сторонах, равна 104 см2. Найдите
стороны прямоугольника.