Теория игр. «Камни»

1. № 26. Теория игр. «Камни»

2.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками
лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За
один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить
количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 10 камней,
за один ход можно получить кучу из 11 или 30 камней. У каждого игрока,
чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра
завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не
менее 55. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то
есть первым получивший кучу, в которой будет 55 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 54.
• 1. При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня
выигрывает первым ходом?
• 2. Назовите два значения S, при которых Петя может выиграть
своим вторым ходом.
• 3. При каком S Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом?

3.

первый ход делает Петя
1 ≤ S ≤ 54
+1
*3
55 ≤ S!!!
Выигрышная позиция – хотя бы один ход ведет в проигрыш
Проигрышная позиция – все ходы ведут в выигрыш
6
В2
1. При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня
выигрывает первым ходом?
2. Назовите два значения S, при которых Петя может
выиграть своим вторым ходом.
3. При каком S Ваня выигрывает своим первым или вторым
ходом?
15
В
1
2
16 17 18 19 … 54
П В2 П1 В1 … В1
2 1а). 19 … 54
3 1б). 18
2. 6, 17
3. 16

4.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками
лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает
Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему
выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза.
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное
количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в
кучах становится не менее 44. Победителем считается игрок, сделавший
последний ход, то есть первым получивший такую позицию, что в кучах
всего будет 44 или больше камней.
• В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S
камней; 1 ≤ S ≤ 38.
• 1. При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня
выигрывает первым ходом?
• 2. Назовите одно любое значение S, при котором Петя может
выиграть своим вторым ходом.
• 3. Назовите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым
или вторым ходом.

5.

1. При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня выигрывает
первым
ходом? ход делает Петя
первый
44 ≤ S!!!
2. Назовите одно любое значение S, при котором Петя может выиграть
камней
своим5
вторым
ходом.
Выигрышная позиция – хотя бы один ход ведет в проигрыш
3. Назовите значение S, при котором Ваня выигрывает
своим первым
или – все ходы ведут в выигрыш
Проигрышная
позиция
1 ≤ходом.
S ≤ 38
вторым
+2
*2
14
15
16
17
18
19
20
38
5
П12
В23
В2
В2
В2
П1
В1
В1
6
В23
В2
В2
В2
П1
В1
В1
В1
7
В2
П12
В2
В2
П1
В1
В1
В1
8
П12
В2
В2
П1
В1
В1
В1
9
П12
В2
В2
П1
В1
В1
В1
В1
В1
10
В2
В2
П1
В1
В1
В1
В1
В1
11
В2
В2
П1
В1
В1
В1
В1
12
В2
П1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
13
В2
П1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
14
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
15
П1
П1
16
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1
В1