Геометрический смысл производной

1. Геометрический смысл производной

у
y f (x)
х
x0

2.

А
Работа устно.
tg В -?
4
С
А
В
7
3
С
tg A-?
3
В
Найдите градусную меру < В.
Найдите градусную меру < А.
Вычислите
tgα, если
α = 135°,
120°, 150°.

3.

y = kx + b - графиком функции является прямая
к – угловой коэффициент
к = tgα
α - угол между прямой и осью Ох (ее положительным
направлением)

4.

f ( x0 ) tg k
У
y f (x)
k – угловой коэффициент
прямой (касательной)
y k x b
α
0
x0
Х
Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x)
в точке с абсциссой x0 можно провести касательную, непараллельную оси у,
то f ( x ) выражает угловой коэффициент касательной, т.е.
0
Поскольку
f ( x0 ) k
k tg , то верно равенство f ( x0 ) tg

5.

Если α < 90°, то k > 0.
Если α > 90°, то k < 0.
у
x2 x3
у f (x)
x1
0
х
Если α = 0°, то k = 0. Касательная параллельна оси ОХ.

6.

Алгоритм получения уравнения касательной к графику функции
1. Записать уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с
абсциссой x0 в общем виде.
2. Найти производную функции f ' (x);.
3. Вычислить значение производной f ' (x0);
4. Вычислить значение функции в точке x0;
5. Подставить найденные значения в уравнение касательной y = f(x0) +
f'(x0)(x-x0)

7.

8.

Задание №1.
На рисунке изображён
график функции y = f(x) и
касательная к этому
графику, проведённая в
точке с абсциссой -1.
Найдите значение
производной функции f(x) в
точке х₀ = -1.
у
8
4
1
1
0
х
tg (180 ) tg
2
4
f ( x0 ) tg
4
tg
2
подсказка
f ( x0 ) 2

9.

Задание №2.
6
Ответ:
8
В8 0
,
7
5

10.

Задание №3.
Ответ:
В8
-
3

11.

Задание №4.
На рисунке изображён график производной функции y = f (x),
определённой на интервале (-5;6). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)
параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней.
у f (x)
у
2
0
х
f ( x) 2
Ответ: 5
подсказка

12.

Задание №5
К графику функции y = f(x) провели касательные под углом 135°
к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён
график производной функции. Укажите количество точек
касания.
у f (x)
у
-1
Ответ: 5
х

13.

№2
В8 0
,
2
5

14.

№5
В8 -
0
,
2
5

15.

№6
В8 4

16.

№8

17.

Для вычисления углового
коэффициента
касательной, где k = tgα,
достаточно найти отрезок
касательной с концами в
вершинах клеток и, считая
его гипотенузой
прямоугольного
треугольника, найти
отношение катетов.

18.

Задание №7
По графику производной функции определите величину угла в
градусах между положительным направлением оси Ох и
касательной к графику функции y = f(x) в точке х₀ = -3.
у f (x)
у
f ( 3) 1 tg
1
х
-3
Ответ:
В8 4
5

19.

Задание №7
Прямая проходит через начало координат и касается
графика функции y = f(x). Найдите производную
в точке х = 4.
ó f (x)
у
Производная функции в точке
х = 4 – это производная в точке
касания хо, а она равна угловому
коэффициенту касательной.
х
x0
В8 0
,
Ответ:
7
5