Площадь треугольника

1. Формулы площади треугольника

2.

Площадь треугольника равна половине
произведения высоты треугольника на длину
стороны на которую эта высота опущена
(Формула 1). Правильность этой формулы
можно понять логически. Высота, опущенная
на основание, разобьет произвольный
треугольник на два прямоугольных. Если
достроить каждый из них до прямоугольника с
размерами b и h, то, очевидно, площадь
данных треугольников будет равна ровно
половине площади прямоугольника (Sпр = bh).
Площадь треугольника равна половине
произведения двух его сторон на синус угла между
ними (Формула 2 ). Несмотря на то, что она кажется
непохожей на предыдущую, она легко может быть в
нее преобразована. Если из угла B опустить высоту
на сторону b, окажется, что произведение стороны a
на синус угла γ по свойствам синуса в
прямоугольном треугольнике равно проведенной
нами высоте треугольника, что и даст нам
предыдущую формулу.

3.

Площадь произвольного треугольника может
быть найдена через произведение половины
радиуса вписанной в него окружности на
сумму длин всех его сторон (Формула 3),
проще говоря, нужно полупериметр
треугольника умножить на радиус вписанной
окружности (так легче запомнить).
Площадь произвольного треугольника можно
найти, разделив произведение всех его
сторон на 4 радиуса описанной вокруг него
окружности (Формула 4).
Формула 5 представляет собой нахождение
площади треугольника через длины его
сторон и его полупериметр (половину суммы
всех его сторон).
Формула Герона (6) - это представление той
же самой формулы без использования
понятия полупериметра, только через длины
сторон

4.

Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на
синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой
стороне угла. (Формула 7)
Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной
вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь
треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму
котангенсов этих углов. (Формула 9)
Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого
треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона.
Формула 11 позволяет
вычислить площадь
треугольника по координатам
его вершин, которые заданы
в виде значений (x;y) для
каждой из вершин. Обратите
внимание, что получившееся
значение необходимо взять
по модулю, так как
координаты отдельных (или
даже всех) вершин могут
находиться в области
отрицательных значений.

5.

Пояснения к формулам:
a, b, c - длины сторон
треугольника, площадь
которого мы хотим найти
r - радиус вписанной в
треугольник окружности
R - радиус описанной
вокруг треугольника
окружности
h - высота треугольника,
опущенная на сторону
p - полупериметр
треугольника, 1/2 суммы
его сторон (периметра)
α - угол, противолежащий
стороне a треугольника
β - угол, противолежащий
стороне b треугольника
γ - угол, противолежащий
стороне c треугольника
ha, hb, hc - высота
треугольника, опущенная
на сторону a, b, c.

6.

Задача.
Стороны треугольника равны 5 и 6 см.
Угол между ними составляет 60
градусов. Найдите площадь
треугольника.
Решение.
Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части
урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла
межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ
Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас
имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60
В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение
значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2
Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно
оставить и 15 √3/2)

7.

Задача
Найти площадь равностороннего треугольника со
стороной 3см.
Решение.
Площадь треугольника можно найти по формуле
Герона:
S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
Поскольку a = b = c формула площади
равностороннего треугольника примет вид:
S = √3 / 4 * a2
S = √3 / 4 * 32
S = 9 √3 / 4
Ответ: 9 √3 / 4.