Численные методы решения уравнений

1.

2.

Метод половинного деления
Метод хорд
Метод касательных
Метод комбинированный
Метод итераций

3.

Пусть корень ξ уравнения f (x) отделён на отрезке [a, b],
причём b – a > ε
Будем считать, что функция:
1)Непрерывна и монотонна на отрезке [a, b]
2)f (a) x f (b) < 0
Итак разделим отрезок [a, b] пополам, середина отрезка c =
(a + b) / 2
Отрезок [a, b] разделен на два отрезка [a, c] и [c, b], длина
каждого = (b – a) / 2

4.

y
b-a>ε
Приближенное значение корня
Cn = (an + bn) / 2 с погрешностью,
не превышающей (b-a)/2n+1
a2
a1
0
a
b2
c1
c2
c
ξ
b1
b
x
C = (a + b) / 2 [a; c] и [c; b], длина отрезков (b - a) / 2
[an; bn ], длина (b-a)/2n
(b-a)/2n <=ε

5.

a,b, ε
c:=(a+b)/2
f(a)*f(c)>0
a:=c
b:=c
(b-a)≤ ε
x:=c ± ε
ε:=(b-a)/2
Методы

6.

y
I тип
y
F’ > 0
F’ < 0
F’’ > 0
F’’ < 0
x
y
x
II тип
y
F’ > 0
F’ < 0
F’’ < 0
F’’ > 0
x
x

7.

Пусть корень уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a,
b].
Будем считать:
1) F (x) непрерывна на отрезке [a; b]
2) F (x) имеет на данном отрезке производные первого и
второго порядков, производные сохраняют знак.
3) F (a) * F (b) < 0

8.

y
B
x3
x2
a
0
x1
b
ξ
A
x

9.

y
B
a
0
x1
b
x
ξ
A
C

10.

Треугольник AaX1 подобен треугольнику ABC
X1 – a
b–a
X1
F (a)
F (a) – F (b)
a
b–a
F (a)
F (b) – F (a)

11.

x2 = x1 -
(b – x1)
F (b) - F (x1)
xn + 1 = xn -
(b – xn)
F (b) - F (xn)
F(x1)
F (xn)

12.

y
A
x3
x2
a
0
x1 b
x
ξ
B

13.

b
X1
y
A
x1 b
a
0
b–a
F (b)
F (b) – F (a)
x
ξ
C
B

14.

x2 = x1 -
(x1 - a)
F (x1) – F (a)
xn + 1 = xn -
(xn - a)
F (xn) – F (a)
F (x1)
F (xn)
Методы

15.

y
I тип
y
F’ > 0
F’ < 0
F’’ > 0
F’’ < 0
x
y
x
II тип
y
F’ > 0
F’ < 0
F’’ < 0
F’’ > 0
x
x

16.

Пусть корень ξ уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a,
b].
Будем считать:
1) F (x) непрерывна на отрезке [a; b]
2) F (x) имеет на данном отрезке производные первого и
второго порядков, производные сохраняют знак.
3) F (a) * F (b) < 0

17.

F’ < 0
F’’ > 0
F(a) > 0
y
A
ξ
0
a = ξ0 ξ1
b
x
ξ2 ξ3
B

18.

Уравнение касательной в точке A (a, F (a)) :
y – F (a) = F’ (a)*(x – a).
Полагая y = 0, x = ξ 1 , получим
ξ1 = a -
F (a)
F’ (a)

19.

B
y
F’ > 0
F’’ > 0
F(b) > 0
ξ
0
a
A
ξ3 ξ2 ξ1
b = ξ0
x

20.

Если касательную к кривой провести в точке B (в правом
конце), то получим
F (b)
ξ1 = b -
F’ (b)

21.

x1 = x0-
x2 = x1-
xn + 1 = xn-
F (x0)
x0 = a II тип
F’ (x0)
F (x1)
x0 = b I тип
F’ (x1)
F (xn)
F’ (xn)
Методы

22.

y
I тип
y
F’ < 0
F’ > 0
F’’ < 0
F’’ > 0
a1
a
b1
b
a
x
a
b
Хорды Касательные
= (a F (b) – b F (a)) / = b – F (b) / F’ (b)
(F (b) – F (a))
a1
b1
b
x

23.

II тип
y
y
F’ > 0
F’ < 0
F’’ < 0
F’’ > 0
a1
a
b1
b
a
x
a a1
b1
b
x
b
Касательные Хорды
= a – F (a) / F’ (a) = (b F (a) – a F (b)) /
(F (a) – F (b))
Методы