Логические задачи для любознательных

1.

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ
Автор:Цыбикова Сэндэма Дугаровна
Учитель математики СОСОШ№2

2.

Задача 1
Первый вторник месяца Митя провёл
в Смоленске, а первый вторник после
первого понедельника
— в Вологде.
В следующем месяце Митя первый
вторник провёл во Пскове, а первый
вторник после первого понедельника —
во Владимире. Сможете ли вы определить,
какого числа и какого месяца Митя был
в каждом из городов?

3.

Ответ: Поскольку Митя не мог провести один
и тот же день и в Смоленске и в Вологде,
значит, месяц начинался во вторник (ведь
иначе первый вторник и первый вторник после
первого понедельника совпали бы).
Аналогично заключаем, что и второй месяц
должен начинаться во вторник. Это возможно
только в случае, когда один месяц — февраль,
а другой — март, причём год не високосный.
Отсюда уже легко получить, что в Смоленске
Митя был 1 февраля, в Вологде — 8 февраля,
во Пскове — 1 марта, во Владимире —
8 марта.

4.

Задача 2. На острове живут два племени —
аборигены и пришельцы. Известно, что
аборигены всегда говорят правду, пришельцы —
всегда лгут. Путешественник нанял туземцаостровитянина в проводники. По дороге они
встретили какого-то человека. Путешественник
попросил проводника узнать, к какому племени
принадлежит этот человек. Проводник вернулся
и сообщил, что человек назвался аборигеном.
Кем был проводник
— аборигеном или
пришельцем?

5.

Ответ: второй туземец, кем бы он
ни был, на вопрос: "Абориген ли
Вы?" ответит положительно. Значит,
проводник не обманул
путешественника, следовательно,
и он тоже абориген.
Ответ
Проводник абориген.

6.

Задача 3. Среди 40 кувшинов,
с которыми атаман разбойников
приехал в гости к Али-Бабе, нашлись
два кувшина разной формы и два
кувшина разного цвета. Докажите,
что среди них найдутся два кувшина
одновременно и разной формы
и разного цвета.

7.

Решение
Выберем два кувшина разной формы. Если они
при этом различаются по цвету, то задача
решена. Если же они оказались одного цвета,
тогда возьмём любой кувшин, не совпадающий
с ними по цвету. Этот третий кувшин не будет
совпадать с одним из двух наших кувшинов
и по форме. Эти два кувшина (третий и тот,
который не совпадает с ним по форме) и будут
искомыми кувшинами.
.

8.

Задача 4. Три друга — Пётр, Роман
и Сергей — учатся
на математическом, физическом
и химическом факультетах. Если
Пётр математик, то Сергей не физик.
Если Роман не физик, то Пётр
математик. Если Сергей
не математик, то Роман — химик.
Сможете ли вы определить
специальности каждого?

9.

Решение:
Предположим, что Роман не физик, тогда
(по условию 2) Пётр математик, но если Пётр
математик, то Сергей (по условию 1)
не физик — получилось явное
противоречие. Значит, Роман — физик.
Тогда Сергей математик — иначе
(по условию 3) Роман был бы химиком.
Значит, Пётр — химик. Итак: Пётр — химик,
Роман — физик, Сергей — математик. Ответ
Пётр — химик, Роман — физик, Сергей —
математик.

10.

Задача 5. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу
и Алёше Поповичу за верную службу дали 6
монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому
досталось по две монеты. Илья Муромец не
знает, какие монеты достались Добрыне, а
какие Алёше, но знает, какие монеты
достались ему самому. Придумайте вопрос,
на который Илья Муромец ответит ''да'',
''нет'' или ''не знаю'', и по ответу на который
Вы сможете понять, какие монеты ему
достались.

11.

Ответ:
Проверим, что годится вопрос: ''Правда ли, что у тебя золотых
монет больше, чем у Алёши Поповича?''
Если у Ильи Муромца две золотые монеты, он скажет ''да'', поскольку у Алёши
Поповича не может быть больше одной золотой монеты.
Если обе монеты у Ильи серебряные, то у Алёши хотя бы одна золотая, и Илья
Муромец ответит ''нет''.
Ну а если ему достались разные монеты, то он ответит ''не знаю'', так как у
Алёши может оказаться как две золотые, так и две серебряные монеты.
Конечно, можно было задать и другие вопросы, например:
-- Правда ли, что одному из двух других богатырей достались две серебряные
монеты?
-- Верно ли, что два других богатыря получили хотя бы по одной золотой
монете каждый?
-- Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо неё золотую, станет ли у тебя
больше золотых?
(Заметьте, что в последнем вопросе не упоминаются монеты двух других
богатырей, а только монеты, доставшиеся Илье Муромцу!)

12.

Задача 6. В комнате 12 человек; некоторые
из них честные, то есть всегда говорят
правду, остальные всегда лгут. "Здесь нет
ни одного честного человека", - сказал
первый. "Здесь не более одного честного
человека", - сказал второй. Третий сказал, что
честных не более двух, четвёртый - что
не более трёх, и так далее до двенадцатого,
который сказал, что честных людей не более
одиннадцати. Сколько честных людей
в комнате на самом деле?

13.

Ответ: Заметим, что если кто-то из присутствующих
солгал, то и все предыдущие солгали. Такие в комнате
есть, иначе первый сказал правду, а по его словам,
честных в комнате нет. По аналогичной причине
в комнате обязательно есть и честные.
Пусть в комнате x лжецов. Последний лжец сказал, что
в комнате не более (x - 1) честного. Значит, на самом
деле в комнате не менее x честных. Далее, (x + 1)-й
человек уже сказал правду про то, что в комнате
не более x честных. Значит, количество честных
в точности равно x, то есть количеству лжецов.
Следовательно, в комнате 6 честных человек.
Ответ
6 человек.

14.

Ресурсы: https://im0-tubru.yandex.net/i?id=cacb3d9eace156f02e7d31d
bee1e7e9e-l&n=13http://
www.fizmatolimp.ru/5-6-7-kl.html
:http://problems.ru/