Уравнения в ЕГЭ по математике. Примеры и решения

1.

УРАВНЕНИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
ПРИМЕРЫ И РЕШЕНИЯ
Кравченко Н.А.
Учитель математики
ГБОУ СОШ №891
г. Москва

2.

ТИП ЗАДАНИЯ: Уравнение.
ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНИЯ: Несложное показательное,
логарифмическое, тригонометрическое или иррациональное
уравнение.
КОММЕНТАРИЙ: Уравнение сводится в одно действие к
линейному или квадратному (в этом случаи в ответе нужно
указать только один из корней – больший или меньший).
Неправильные ответы связаны в основном с
арифметическими ошибками.

3.

ПРИМЕР 1
Решите уравнение
1
1
5 2х 3
.
Решение.
Возведем в квадрат:
Далее получаем
откуда
Ответ: -2
1
1
1
1
5 2х 3
5 2х 9
5 2x 9
2x 4 x 2

4.

ПРИМЕР 2
Решите уравнение
9 х
8
64
х
.
Решение.
Перейдем к одному основанию степени:
9 х
8
9 х
64 8
х
9 х
(8 ) 8
2 х
8
2х
От равенства оснований переходит к равенству степеней:
9 х 2х
Откуда х 3
Ответ: 3

5.

ПРИМЕР 3
Решите уравнение
3
х 4 3.
Решение.
Возведем обе части уравнения в третью степень :
3
х 4 3 х 4 27
После элементарных преобразований получаем:
х 27 4 х 23
Ответ: 23

6.

ПРИМЕР 4
8 х 15
Решите уравнение х
.
х 10
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите
меньший из них.
Решение.
Область допустимых значений: х≠10.
На этой области помножим на знаменатель:
х( х 10) 8 х 15 х 2 2 х 15 0 х1 5; х2 3
Оба корня лежат в ОДЗ. Меньший из них равен −3.
Ответ: -3

7.

ПРИМЕР 5
Решите уравнение
log9 (5 x 5)
3
5
.
Решение.
Используя формулу
a
log b c
c
log b a
получаем:
(5 х 5)
log9 3
5 (5 x 5) 5
5 x 5 25 x 6
Ответ: 6
1
2

8.

ПРИМЕР 6
Решите уравнение
log 4 ( x 3) log 4 (4 x 15) .
Решение.
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения
равны и при этом положительны :
х 3 4 х 15
4 х 15 0
Откуда получаем
Ответ: 6
х 6
х 6
4 х 15

9.

ПРИМЕР 7
Решите уравнение sin
x
3
0,5 . В ответ укажите наименьший
положительный корень.
Решение.
Решим уравнение:
1
x
2 k
x 6k
x
3
6
2
sin
0,5
3
x 5 2 k
x 5 6k , k
3
6
2

10.

Значениям k 2
соответствуют большие положительные корни.
Если k=1, то x1=6,5 и x2=8,5 .
Если k=0, то x3=0,5 и x4=2,5 .
Значениям k 2
соответствуют меньшие значения корней.
Наименьшим положительным решением является 0,5.
Ответ: 0,5

11.

ПРИМЕР 8
12 7 х
Решите уравнение
1
6
36
.
Решение.
Приведя левую и правую части уравнения к степеням числа 6,
получим:
67 х 12 62
Откуда
7 х 12 2
значит,
х 2
Ответ: 2

12.

ПРИМЕР 9
Решите уравнение
4х 5 5
.
Решение.
Возведя в квадрат обе части уравнения, получим:
Очевидно
4х 20
откуда х 5
Ответ: 5
4х 5 25

13.

ПРИМЕР 10
Решите уравнение
log 4 (5 x) 2
.
Решение.
Перепишем уравнение так, чтобы с обеих сторон
присутствовал логарифм по основанию 4:log 4 (5 x) log 4 16
Далее, очевидно, 5 x 16
откуда
x 11
Ответ: -11

14.

Использованный материал взят с сайта:
http://reshuege.ru
Картинка взята по адресу:
http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&ui
nfo=sw-1263-sh-677-fw-1038-fh-471-pd1&p=3&text=уравнения%20картинки&noreask=1&
pos=100&rpt=simage&lr=213&img_url=http%3A%2
F%2Fwww.presentermedia.com%2Ffiles%2Fclipart%
2F00003000%2F3804%2Fdrawing_math_equation_
pc_md_wm.jpg