Окружность. Примеры решения задач. Подготовка к ОГЭ

1.

2.

Задание № 17 представляет собой задачу, связанную с
окружностью и ее элементами. Рассмотрим примеры решения
задач по теме «Окружность».
• центральный угол равен дуге окружности, на которую он
опирается;
• вписанный угол окружности равен половине центрального угла
и измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
• вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90◦;
• касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой
окружности, проведённому в точку касания;
• отрезки касательных, проведённых к окружности из одной
точки, равны;

3.

• центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла;
• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися внутри окружности,
равен полусумме дуг, высекаемых на окружности вертикальными углами,
образованными этими секущими;
• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися вне окружности,
равен полуразности дуг, высекаемых на окружности углом, образованным этими
секущими;
• две окружности имеют ровно две общие точки (пересекаются в двух точках) в том
и только том случае, если расстояние между их центрами меньше суммы радиусов
этих окружностей, но больше разности большего и меньшего радиусов;
• две окружности имеют ровно одну общую точку (касаются) в том
и только том случае, если расстояние между их центрами равно сумме
радиусов этих окружностей (внешнее касание) либо равно разности
большего и меньшего радиусов этих окружностей (внутреннее касание);
• формула длины окружности С 2 r , где r—радиус окружности;
• формула площади круга S r 2 , где r—радиус круга.

4.

5.

6.

Окружность, хорды и касательные
Свойства хорд и секущих

7.

Вписанные и описанные четырехугольники
Центральные и вписанные углы

8.

Свойства хорд и секущих

9.

10.

11.

Пример 1. Окружность пересекает стороны угла величиной 33◦
с вершиной C в точках A, E, D и B, как показано
на рисунке. Найдите угол ADB, если угол EAD равен 22◦.
Ответ дайте в градусах.
Решение. Рассмотрим треугольник ACD. Угол ADB является для него
внешним при вершине D, значит, он равен сумме двух других углов
треугольника, не смежных с ним:
Ответ: 55.
Пример 2. Точки А, В, С и D, последовательно расположенные на
окружности в указанном порядке, делят ее на четыре дуги, градусные
меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга АВ – наименьшая). Найдите
градусную меру дуги ВD, содержащей точку С.

12.

Пример 3.
Решение. Рассмотрим треугольник ВОС. ВО=ОС=R,
следовательно, треугольник ВОС равнобедренный,
∠ОСВ = ∠ОВС =
∠АОD = ∠ВОС (как вертикальные),
∠АОD = ∠ВОС= 180 – 38*2=180-76=104.
Ответ: 104.

13.

Пример 4.
Решение.
∠АВС = ∠АВD + ∠DВС,
∠DАВ = ∠DВС = 35, т.к. они опираются на одну и ту же
дугу DС. Отсюда ∠АВD = ∠АВС - ∠DВС = 105-35=70.
Ответ: 70.

14.

Пример 5
Решение. Чтобы решить эту задачу нам нужно вспомнить
два факта:
1. Вписанный угол, который опирается на диаметр ,
равен 90 . И наоборот, если вписанный угол равен 90 ,
то он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза
АВ прямоугольного треугольника АВС является
диаметром описанной около треугольника окружности, то
есть
2. центр описанной около прямоугольного
треугольника окружности совпадает с серединой
гипотенузы. Найдем по теореме Пифагора гипотенузу
АВ
Отсюда АВ = 5, тогда R=2,5.
Ответ: 2,5.

15.

Пример 6
Решение. ∠NMB опирается на дугу NB. Найдем
величину этой дуги . ∠NBA опирается на дугу
NA. Вписанный угол равен половине величины
дуги, на которую он опирается, следовательно,
NA= 36*2= 72. АВ – диаметр окружности,
поэтому градусная мера дуги ANB равна 180.
отсюда дуга NB=180 – 72 = 108. Тогда ∠MNB =
108 : 2 = 54.
Ответ: 54.

16.

Пример 7
Решение. Центральный угол АОС опирается
на ту же дугу, что и вписанный угол АВС,
следовательно, ∠АОС = 2*∠АВС=2*75=150.
Проведем прямую АО и обозначим точку
пересечения АО и ВС буквой К, тогда
∠АОС + ∠КОС =180 (по свойству смежных
углов), отсюда ∠КОС =180 - 150 = 30. Угол
ОКС – внешний угол треугольника АВК, он
равен сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним. ∠
, тогда по
теореме о сумме углов треугольника
∠ВСО= ∠КСО = 180 – 118 – 30 = 32.
Ответ: 32.

17.

https://oge.sdamgia.ru
http://vekgivi.ru/oge_po_matematike/