Задания на смекалку ЕГЭ по математике базового уровня. Задания №20

1.

Задания на
смекалку ЕГЭ по
математике
базового уровня.
Задания №20
Кривошеин О.В. Учитель математики
ОУ «Харламовская школа»

2.

Спецификация контрольных
измерительных материалов
ЕГЭ по математике. Базовый
уровень.
Задание 20.
Уметь строить и
исследовать простейшие
математические модели

3.

Улитка на
дереве
ДЕМО. Улитка за день
заползает вверх по дереву
на 3 м, а за ночь спускается
на 2 м. Высота дерева 10 м.
За сколько дней улитка
доползёт от основания до
вершины дерева?
Решение. Улитка за день заползает вверх по дереву на 3 м, а
за ночь спускается на 2 м. Итого, за сутки она продвигается на
3 – 2 = 1 метр.
За 7 суток она поднимется на 7 метров.
На восьмой день она заползёт вверх еще на 3 метра и впервые
окажется на высоте 7 + 3 = 10 (м), т.е. на вершине дерева.
Ответ: 8
http://krivoleg.blogspot.ru/2015/10/blog-post_21.html

4.

Бензоколонк
и
На кольцевой дороге расположены
четыре бензоколонки: A, B, C и Д.
Расстояние между A и B — 35 км, между A и
C — 20 км, между C и Д —20 км, между Д и A
— 30 км (все расстояния измеряются
вдоль кольцевой дороги в кратчайшую
сторону). Найдите расстояние между B и
C. Ответ дайте в километрах.
Решение. Начертим окружность и расположим точки (бензоколонки)так,
чтобы расстояния соответствовали условию. Заметим, что все расстояния
между точками А, С и D известны. АС =20, АD=30, СD=20. Отметим точку А.
От точки А по часовой стрелке отметим точку С, помним, что АС=20. Теперь
будем отмечать точку D, которая лежит от А на расстоянии 30, это
расстояние нельзя откладывать от А по часовой стрелке, так как тогда
получится расстояние между С и D равно 10, а по условию СD=30. Значит от
А до D надо двигаться против часовой стрелки, отмечаем точку D.
Так как СD=20, то длина всей окружности равна 20+30+20=70.
Так как АВ=35, то точка В диаметрально противоположна точке А.
Расстояние от С до В будет равно 35-20=15.
Ответ 15.

5.

В кинозале
За-да-ние 20 № 506732. В пер-вом
ряду ки-но-за-ла 24 места, а в
каж-дом сле-ду-ю-щем на 2 больше, чем в преды-ду-щем. Сколько мест в вось-мом ряду?
Решение. 1 способ. Просто
считаем сколько мест в рядах
до восьмого:
1 – 24
2 – 26
3 – 28
4 – 30
5 – 32
6 – 34
7 – 36
8 – 38.
Ответ 38.
Решение. 2 способ. Замечаем,
что количество мест в рядах
составляет арифметическую
прогрессию с первым члено
24 и разность равной 2.
По формуле n-го члена
прогрессии находим
восьмой член
а8= 24 + (8 – 1)*2 = 38.
Ответ 38.

6.

Грибы в
корзине
В кор-зи-не лежат 50 гри-бов: ры-жики и груз-ди. Из-вест-но, что среди
любых 27 гри-бов име-ет-ся хотя бы
один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколь-ко
ры-жи-ков в кор-зи-не?
Решение. Из условия , что среди любых 27 гри-бов
име-ет-ся хотя бы один рыжик следует – количество
груздей не больше 26.
Из второго условия, что среди любых 25 гри-бов хотя
бы один груздь, следует - количество рыжиков не
больше 24. Так как всего грибов – 50, то рыжиков 24, а
груздей – 26.
Ответ 24.

7.

Кубики в ряд
Сколь-ки-ми спо-со-ба-ми
можно по-ста-вить в ряд два
оди-на-ко-вых крас-ных ку-би-ка,
три оди-на-ко-вых зелёных куби-ка и один синий кубик?
Решение. Если пронумеровать все кубики числами от одного до шести
(не учитывая, что имеются кубики разного цвета), то получим общее
число перестановки кубиков:
Р(6)=6*5*4*3*2*1=720
Теперь вспомним, что имеются 2 кубика красного цвета и перестановка
их местами (Р(2)=2*1=2) не даст нового способа, поэтому полученное
произведение надо уменьшить в 2 раза.
Аналогично, вспоминаем, что у нас имеются 3 кубика зелёного цвета,
поэтому придётся полученное произведение уменьшить ещё и в 6 раз
(Р(3)=3*2*1=6)
Итак, получим общее число способов расстановки кубиков 60.
Ответ: 60.

8.

На бе-го-вой дорож-ке
За-да-ние 20 № 507073. Тре-нер по-сове-то-вал Ан-дрею в пер-вый день заня-тий про-ве-сти на бе-го-вой до-рожке 15 минут, а на каж-дом сле-ду-ющем за-ня-тии уве-ли-чи-вать время,
про-ведённое на бе-го-вой до-рож-ке,
на 7 минут. За сколь-ко за-ня-тий Андрей про-ведёт на бе-го-вой до-рож-ке
в общей слож-но-сти 2 часа 25 минут,
если будет сле-до-вать со-ве-там трене-ра?
Решение. 2 способ. Более
трудоёмкий.
1-15-15
2-22-37
3-29-66
4-36-102
5-43-145.
Ответ 5.
Решение. 1 способ. Замечаем, что надо найти сумму
арифметической прогрессии с первым членом 15 и разность
равной 7. По формуле суммы n первых членов прогрессии Sn=
(2a1+(n-1)d)*n/2 имеем
145=(2*15+(n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+7n–7)*n, 290=
(23+7n)*n, 290=23n+7n2, 7n2+23n-290=0, n=5.
Ответ 5.

9.

Меняем монеты
За-да-ние 20. В об-мен-ном пунк-те можно со-вер-шить
одну из двух опе-ра-ций: за 2 зо-ло-тые мо-не-ты по-лучить 3 се-реб-ря-ные и одну мед-ную; за 5 се-реб-ря-ных
монет по-лу-чить 3 зо-ло-тые и одну мед-ную.
У Ни-ко-лая были толь-ко се-реб-ря-ные мо-не-ты. После
не-сколь-ких по-се-ще-ний об-мен-но-го пунк-та се-реб-ряных монет у него стало мень-ше, зо-ло-тых не по-яви-лось,
зато по-яви-лось 100 мед-ных. На сколь-ко умень-ши-лось
ко-ли-че-ство се-реб-ря-ных монет у Ни-ко-лая?
Решение. Из условия мы имеем равенства (сокращения: зм - золотые монеты, см
– серебряные монеты, мм – медные монеты)
2 зм = 3 см + 1мм,
5 см = 3 зм + 1мм. Так как у Николая были только серебряные монеты, а после
обмена остались серебряные и появились медные, то все золотые, которые
появились в ходе обмена, были опять обменены. Из второго равенства мы видим,
что за десять серебряных монет он получал 6 золотых и 2 медных.
10 см = 6 зм + 2мм. Но из первого равенства находим, что за 6 золотых монет он
получает 9 серебряных и 3 медных.
6 зм = 9 см + 3мм. В итоге этих обменов у него вместо десяти серебряных монет
осталось 9, но появилось 5 медных. То есть одна серебряная монета равна 5
медным. Так как у него появилось 100 медных монет, то он отдал за них 20
серебряных.
Ответ 20.
http://krivoleg.blogspot.ru/2015/09/blog-post.html

10.

Хозяин договорился
Хозяин договорился с рабочими, что они
выкопают ему колодец на следующих
условиях: за первый метр он заплатит им 3700
рублей, а за каждый следующий метр — на 1700
рублей больше, чем за предыдущий. Сколько
денег хозяин должен будет заплатить
рабочим, если они выкопают колодец
глубиной 8 метров?
Решение.
Из условия понятно, что по-сле-до-ва-тель-ность цен за каждый
выкопанный метр является ариф-ме-ти-че-ской про-грес-сией с первым чле-ном а1= 3700 и раз-но-стью d=1700. Сумма пер-вых n членов ариф-ме-ти-че-ской про-грес-сии вы-чис-ля-ет-ся по фор-му-ле
Sn = 0,5(2a1 + (n – 1)d)n. Подставляя исходные данные, получаем:
S10 = 0,5(2*3700 + (8 – 1)*1700)*8 = 77200.
Таким образом, хо-зя-ин дол-жен будет за-пла-тить ра-бо-чим 77200
руб.
Ответ: 77200.

11.

Вода в котловане
В ре-зуль-та-те па-вод-ка кот-лован за-пол-нил-ся водой до уровня 2 метра. Стро-и-тель-ная помпа
не-пре-рыв-но от-ка-чи-ва-ет воду,
по-ни-жая её уро-вень на 20 см в
час. Под-поч-вен-ные воды, на-обо-рот, по-вы-ша-ют уро-вень
воды в кот-ло-ва-не на 5 см в час.
За сколь-ко часов ра-бо-ты помпы
уро-вень воды в кот-ло-ва-не опуРешение. В результате работы насоса и подтопления
стит-ся до 80 см?
почвенными водами уровень воды в котловане
понижается на 20-5=15 сантиметров за час. Чтобы
уровень снизился на 200-80=120 сантиметров необходимо
120:15=8 часов.
Ответ 8.

12.

Бурим
скважину
Неф-тя-ная ком-па-ния бурит
сква-жи-ну для до-бы-чи нефти,
ко-то-рая за-ле-га-ет, по дан-ным
гео-ло-го-раз-вед-ки, на глу-би-не
3 км. В те-че-ние ра-бо-че-го дня
бу-риль-щи-ки про-хо-дят 300 метров в глу-би-ну, но за ночь скважи-на вновь «за-или-ва-ет-ся», то
есть за-пол-ня-ет-ся грун-том на
30 мет-ров. За сколь-ко ра-бо-чих
дней неф-тя-ни-ки про-бу-рят
сква-жи-ну
до глу-би-ны
за-ле-гаРешение. Учитывая
заиливание
скважины, в течении
ния
нефти?
суток
проходят 300-30=270 метров. Значит за 10 полных
суток будет пройдено 2700 метров и за 11-й рабочий день
будет пройдено ещё 300 метров.
Ответ 11.

13.

На по-верх-но-сти
гло-бу-са
За-да-ние 20 № 509645. На по-верх-но-сти глобу-са фло-ма-сте-ром про-ве-де-ны 17 па-ралле-лей и 24 ме-ри-ди-а-на. На сколь-ко ча-стей
про-ведённые линии раз-де-ли-ли по-верхность гло-бу-са? Ме-ри-ди-ан — это дуга окружно-сти, со-еди-ня-ю-щая Се-вер-ный и Южный
по-лю-сы. Па-рал-лель — это окруж-ность, лежа-щая в плос-ко-сти, па-рал-лель-ной плос-кости эк-ва-то-ра.
Решение. Одна параллель разбивает поверхность глобуса на 2
части. Две на три части. Три на четыре части и т. д. 17
параллелей разбивают поверхность на 18 частей.
Проведём один меридиан, и получим одну целую (не разрезанную)
поверхность. Проведём второй меридиан и у нас уже две части,
третий меридиан разобьёт поверхность на три части и т. д.
24 меридиана разбили нашу поверхность на 24 части. Получаем
18*24=432. Все линии разделят поверхность глобуса на 432
части.

14.

Кузнечик
прыгает
Задача 1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в
любом направлении на единичный отрезок за прыжок.
Сколько существует различных точек на координатной
прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8
прыжков, начиная прыгать из начала координат?
Решение:
Немного подумав, мы можем за-ме-тить, что куз-не-чик может оказать-ся толь-ко в точ-ках с чётными ко-ор-ди-на-та-ми, по-сколь-ку
число прыж-ков, ко-то-рое он де-ла-ет, чётно. Например, если он
сделает пять прыжков в одну сторону, то в обратную сторону он
сделает три прыжка и окажется в точках 2 или −2.
Мак-си-маль-но куз-не-чик может ока-зать-ся в точ-ках, мо-дуль ко-торых не пре-вы-ша-ет восьми. Таким об-ра-зом, куз-не-чик может оказать-ся в точ-ках: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 и 8; всего 9 точек.
Ответ 9.
http://krivoleg.blogspot.ru/2015/09/blog-post_18.html

15.

Новые бактерии
Каж-дую се-кун-ду бак-те-рия
де-лит-ся на две новые бакте-рии. Из-вест-но, что весь
объём од-но-го ста-ка-на бакте-рии за-пол-ня-ют за 1 час.
За сколь-ко се-кунд бак-терии за-пол-ня-ют по-ло-ви-ну
ста-ка-на?
Решение. Вспомним, что 1 час = 3600 секундам. Через
каждую секунду бактерий становится в два раза больше.
Значит, чтобы из половины стакана бактерий получился
полный стакан нужна всего 1 секунда. Поэтому стакан был
заполнен на половину за 3600-1=3599 секунд.
Ответ 3599.

16.

Делим числа
Про-из-ве-де-ние де-ся-ти иду-щих
под-ряд чисел раз-де-ли-ли на 7. Чему
может быть равен оста-ток?
Решение. Задача простая, так как среди десяти подряд
идущих натуральных чисел хотя бы одно делится на 7.
Значит и всё произведение будет делиться на 7 без
остатка. То есть остаток равен 0.
Ответ 0.
Ответ 9.

17.

Где живёт Петя?
Задача 1. В доме, в котором живёт Петя, один
подъезд. На каждом этаже по шесть квартир.
Петя живёт в квартире № 50. На каком этаже
живёт Петя?
Решение: Делим 50 на 6, получаем частное 8 и 2 в остатке. Это значит,
что Петя живёт на 9 этаже.
Ответ 9.
Задача 2. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех
этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме
больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа
подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме,
если всего в нём 455 квартир?
Решение: Решение этой задачи вытекает из разложения числа 455 на
простые множители. 455 = 13*7*5. Значит в доме 13 этажей, по 7
квартир на каждом этаже в подъезде, 5 подъездов.
Ответ 13.
http://krivoleg.blogspot.ru/2015/09/blog-post_13.html

18.

Где живёт Петя?
Задача 3. Саша пригласил Петю в гости,
сказав, что живёт в восьмом подъезде в
квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя
к дому, Петя обнаружил, что дом
двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт
Саша? (На всех этажах число квартир
одинаково, номера квартир в доме начинаются
с единицы.)
Решение: Петя может подсчитать, что в двенадцатиэтажном доме в первых семи
подъездах 12*7=84 площадки. Дальше, перебирая возможное количество квартир
на одной площадке, можно увидеть, что их меньше шести, так как 84*6 = 504. Это
больше 468. Значит на каждой из площадок 5 квартир, тогда в первых семи
подъездах 84*5 =420 квартир. 468 – 420 = 48, то есть Саша живёт в 48 квартире в
8 подъезде (если бы нумерация была с единицы в каждом подъезде). 48:5 = 9 и 3 в
остатке. Таким образом Сашина квартира на 10 этаже.
Ответ 10.
http://krivoleg.blogspot.ru/2015/09/blog-post_13.html

19.

Что у нас на обед?
Решение. Если мы пронумеруем каждый салат, первое,
второе, десерт, то:
с 1 салатом, 1 первым,1 вторым можно подать один из 4-х
десертов. 4 варианта. Со вторым вторым тоже 4 варианта
и т.д. Всего получим 6*3*5*4=360.
Ответ 360.

20.

Врач прописал
Наполнить бак

21.

Задания для самостоятельной
работы
• В ре-зуль-та-те па-вод-ка кот-ло-ван за-пол-нил-ся водой до уров-ня 2
метра. Стро-и-тель-ная помпа не-пре-рыв-но от-ка-чи-ва-ет воду, по-нижая её уро-вень на 20 см в час. Под-поч-вен-ные воды, на-о-бо-рот, по-выша-ют уро-вень воды в кот-ло-ва-не на 5 см в час. За сколь-ко часов рабо-ты помпы уро-вень воды в кот-ло-ва-не опу-стит-ся до 80 см?
• Куз-не-чик пры-га-ет вдоль ко-ор-ди-нат-ной пря-мой в любом на-правле-нии на еди-нич-ный от-ре-зок за пры-жок. Сколь-ко су-ще-ству-ет различ-ных точек на ко-ор-ди-нат-ной пря-мой, в ко-то-рых куз-не-чик
может ока-зать-ся, сде-лав ровно 11 прыж-ков, на-чи-ная пры-гать из нача-ла ко-ор-ди-нат?
• Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на
следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за
каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий.
Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они
выкопают колодец глубиной 11 метров?
• На глобусе фломастером проведены 24 параллели (включая экватор) и 17
меридианов. На сколько частей проведённые линии разделяют
поверхность глобуса?

22.

Задания для самостоятельной
работы
• В кор-зи-не лежит 50 гри-бов: ры-жи-ки и груз-ди. Извест-но, что среди любых 28 гри-бов име-ет-ся хотя бы
один рыжик, а среди любых 24 гри-бов хотя бы один
груздь. Сколь-ко груз-дей в кор-зи-не?
• В кор-зи-не лежат 40 гри-бов: ры-жи-ки и груз-ди. Извест-но, что среди любых 17 гри-бов име-ет-ся хотя бы
один рыжик, а среди любых 25 гри-бов хотя бы один
груздь. Сколь-ко ры-жи-ков в кор-зи-не?
• В корзине лежат 25 грибов: рыжики и грузди. Известно,
что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один
рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь.
Сколько рыжиков в корзине?
• Саша при-гла-сил Петю в гости, ска-зав, что живёт в деся-том подъ-ез-де в квар-ти-ре № 333, а этаж ска-зать
забыл. По-дой-дя к дому, Петя об-на-ру-жил, что дом
де-вя-ти-этаж-ный. На каком этаже живёт Саша? (На
каж-дом этаже число квар-тир оди-на-ко-во, но-ме-ра
квар-тир в доме на-чи-на-ют-ся с еди-ни-цы.)

23.

Полезные ссылки
• Открытый банк заданий ЕГЭ на сайте ФИПИ http:
//www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege
• Открытый банк заданий по математике http:
//www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege
• Решу ЕГЭ, образовательный портал для
подготовки к экзаменам http://mathb.reshuege.ru/
• Блог Олега Кривошеина http://krivoleg.blogspot.ru/
• http://alexlarin.net/ege16.html
• http://4ege.ru/matematika/51280-demoversiya-ege2016-po-matematike.html
• http://www.ctege.info/
• http://egeonline.org/