Теорема синусов

1. Теорема синусов

2. Теорема

Стороны
треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов

3. Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ=с,ВС=а,АС=b
Докажем,что
В
a
b
c
sin A sin B sin C
c
a
h
А
С
b
D

4. Из первых двух равенств получаем

По теореме о площади треугольника
1
1
1
S ab sin C , S bc sin A, S ac sin B
2
2
2
Из первых двух равенств получаем
1
1
ab sin C bc sin A
2
2

5. Откуда

a
c
sin A sin C
Аналогично из второго и третьего равенств
следует
a
b
sin A sin B

6. Итак,

a
b
c
sin A
sin B
sin C
Теорема доказана

7. Расширенная теорема синусов

8. Отношение стороны треугольника к синусу противолежещего угла равно диаметру описанной окружности

В
a
b
c
2 R,
sin A sin B sin C
где R радиусописанной окружности
c
a
h
А
С
b
D