Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Решение уравнений с одной переменной. Лекция 5

1.

Приближенное решение алгебраических и
трансцендентных уравнений.
Решение уравнений с одной переменной.
f x 0
Алгебраическое уравнение в канонической форме
Pn x an xn an 1xn 1 ... a0 0
Примеры трансцендентных уравнений:
x 10 sin( x) 0;
2 x 2 cos(x) 0;
Численные методы решения:
Метод половинного деления
Метод хорд
Метод касательных (Ньютона)
Метод простой итерации
Метод Рыбакова.
lg(x 5) cos(x).

2.

Приближенное решение уравнений.
Поиск корней функции
1. Отделение корней
f принимает
x
значения разных
Теорема1. Если непрерывная функция
знаков на концах отрезка
a, b то есть
f а f b 0, то внутри этого
отрезка содержится по меньшей мере один корень на уравнения
То есть найдется хотя бы одно число
a,такое,
b
что
f . 0
f x 0.

3.

Приближенное решение уравнений.
Поиск корней функции
2. Получение приближенного значения корня. Оценка погрешности
// доказательство на доске
Пример. Приближенным корнем уравнения
f x x 4 x 1 0
является x 1,22 . Оценить абсолютную погрешность этого корня.

4.

Приближенное решение уравнений.
Поиск корней функции
Замечание.
f x

5.

Приближенное решение уравнений.
Графический метод поиска корней
f x 0
x x
Пример. Графически решить уравнение x lg x 1.
Решение. Запишем заданное уравнение в виде
lg x
1
x

6.

Приближенное решение уравнений.
Метод дихотомии (половинного деления)
f x 0
Функция
f x непрерывна на отрезке [a,b] и имеет единственный корень на
этом интервале.
a b
Разделим отрезок [a,b] пополам точкой с 2 .
Выполняется одно из условий:
f а f c 0
или
[a,c]
f с f b 0
[c,b]
Выбираем тот из отрезков, на котором функция меняет знак.
Получаем бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков
a, b a1, b1 a2 , b2 .... an , bn ...
Таких, что
f an f bn 0
(n 1, 2, ...)
и
1
b n an n b a
2

7.

Приближенное решение уравнений.
Метод дихотомии (половинного деления)
a1, a2 , ... , an ... - монотонно неубывающая ограниченная последовательность.
Следовательно, существует такое, что
lim a n .
n
b1 , b2 , ... , bn ... - монотонно невозрастающая ограниченная последовательность.
1
b
a
Тогда в силу равенства n n 2n b a существует общий предел
lim an lim bn
n
n
Перейдем к пределу при n в неравенстве
f 0
f an f bn 0
2
Отсюда
f 0 , то есть - корень уравнения f x 0 .
Причём
0 an
1
b a
n
2
То есть погрешность метода не больше
b a
2n
(n 1, 2, ...) :

8.

Приближенное решение уравнений.
Метод хорд
(метод пропорциональных частей)
A a, f a
Хорда:
B b, f b
Полагая
x1 a
x x1 и y 0 :
f a
b a
f b f a

9.

Приближенное решение уравнений.
Метод хорд
(метод пропорциональных частей)
x1 a
f a
b a
f b f a
x0 a
f x0
b x0
x1 x0
f b f x0
x2 x1
f x1
b x1
f b f x1
.......... ....
x0 a
f xn 1
b xn 1
xn xn 1
f b f xn 1

10.

Приближенное решение уравнений.
Метод хорд
(метод пропорциональных частей)
x0 b
xn xn 1
Последовательность
следовательно:
f xn 1
xn 1 a
f xn 1 f a
ограничена и монотонна,
x n
lim xn
n
a b
f
a
f f a
f 0
(3)

11.

Приближенное решение уравнений.
Метод хорд
Оценка точности
Вариант оценки 1.
x n
Вариант оценки 2.
xn
f xn
m1
, где
f x m1 при a x b
//вывод на доске
M 1 m1
xn xn 1
m1
f x m1
f x M 1
Вариант оценки 3.
Если
M 1 2m1
, то
xn xn xn 1