Автогенераторы гармонических колебаний

1. Тема: Автогенераторы гармонических колебаний.

Кафедра Радиоэлектроники.
Преподаватель:
Лазаренко
Сергей Валерьевич.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

2.

Учебные вопросы:
1. Автоколебательные цепи. Энергетика
автоколебаний.
2. Дифференциальное уравнение генератора.
Условия самовозбуждения.
3. Трехточечные автогенераторы.
4. Однокаскадный –генератор.
5. Стационарный режим автогенератора.
6. Квазилинейный метод.
7. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

3.

1. Автоколебательные цепи. Энергетика
автоколебаний.
Электрическая цепь, в которой устанавливаются незатухающие электрические
колебания без всякого периодического воздействия извне, называется
автоколебательной цепью (автогенератором, генератором с самовозбуждением).
На этапе установления колебаний основную роль играет нелинейность
устройства, без учета которой нельзя определить параметры стационарного
режима автогенератора.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

4.

Назначение нелинейного усилителя рассмотрено выше.
Колебательный контур, обладающий частотной избирательностью,
вместе с четырехполюсником ОС обеспечивает условия для
генерации колебаний (условия баланса фаз и амплитуд) только на
одной частоте ɷГ≈ɷ0, a также фильтрацию (подавление) высших
гармоник.
При исследовании и расчете автогенераторов можно выделить три
основные задачи:
1) анализ условий самовозбуждения;
2) определение стационарных режимов (формы, амплитуда и
частоты генерируемых колебаний) и анализ их устойчивости;
3) исследование процессов установления колебаний. Для решения
этих задач разработано большое количество различных методов.
При этом исследование 1-й задачи проводят на основе линейной
трактовки процесса, 2-й задачи - на основе квазилинейной
трактовки, 3-й задачи - на основе нелинейной теории.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

5.

2. Дифференциальное уравнение генератора.
Условия самовозбуждения.
Составим дифференциальное уравнение
генератора, учитывающее только переменные
составляющие токов и напряжений. С целью
упрощения расчетов используем два
допущения:
1) входной ток полевого транзистора Т
считаем равным нулю, что достигается
подачей во входную цепь надлежащего
напряжения смещения Ucм;
2) пренебрегаем влиянием выходного
напряжения усилителя на ток i , считая его
зависящим только от входного напряжения.
Принятые допущения несколько снижают
точность расчетов, однако не влияю на
характер получающихся зависимостей.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

6.

Согласно первому закону Кирхгофа ток в выходной цепи
duk
d
diL
diL
d 2 iL
i iL iC iL C
iL C R iL L
LC 2 .
iL RC
dt
dt
dt
dt
dt
(1)
В рассматриваемой схеме напряжение uвх является напряжением обратной связи
и равно
u ВХ M
di L
dt
di L
Где M - взаимная индуктивность схемы. Поэтому i SM
dt
(2)
Приравняв правее части уравнений (1) и (2) и обозначив ɷ02=1/LC, после
несложных преобразований приходим к уравнению
d 2 iL 1
SM diL
2
R
0 iL 0
2
L
C dt
dt
(3)
Выясним условия самовозбуждения генератора. На начальном этапе запуска,
пока амплитуда колебаний мала, нелинейность характеристики транзистора еще
не проявляется, и автогенератор можно рассматривать как линейную цепь.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

7.

Поэтому процессы в нем будут описываться линейным дифференциальным
уравнением
S 0 M di L
d 2iL 1
2
R
0 iL 0
2
L
C dt
dt
(4)
Где S0 - крутизна характеристики транзистора в начальной рабочей точке.
Вводя обозначение
MS 0
1
Э
R
2L
C
d 2iL
diL
2
2
уравнение (4) приведем к виду:
Э
0 iL 0
2
dt
dt
(5)
Полученное уравнение по форме совпадает с дифференциальным уравнением
колебательного контура в режиме свободных колебаний, решение которого, как
известно, имеет вид:
iL (t ) I 0 e Э t cos( 0 t 0 )
(6)
Где I0 и θ0 - амплитуда и фаза, зависящие от начальных условий;
aэ - эквивалентный коэффициент затухания.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

8.

Характер изменения амплитуды колебаний зависит от знака aэ:
если aэ>0, колебания со временем затухают, если aэ<0, амплитуда колебаний
нарастает.
RC
Условия самовозбуждения генератора M M кр
(7)
S0
В рамках допущений, принятых при выводе уравнения генератора, коэффициент
обратной связи
U ВХ
j M I L
M
R j L I L L
Uk
а коэффициент усиления усилителя K 0 S 0 Z ЭР S 0
2
S0 L
R
CR
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.
(8)

9.

Условие самовозбуждения (8) идентично более общему условию
K0 1
Ранее мы рассматривали механизм самовозбуждения
автогенератора с энергетической точки зрения. Однако можно дать
и иное объяснение действию ОС в генераторе. Для этого
перепишем условие самовозбуждения в виде
S M
R 0 0
C
Слагаемое S0M/C имеет размерность (Ом) и поэтому его можно
трактовать как отрицательное сопротивление, вносимое в
колебательный контур усилителем с ПОС. С учетом сказанного
величина (R-S0M/C) есть результирующее сопротивление потерь
контура Rэ. Поэтому условие самовозбуждения генератора, с этой
точки зрения, состоит в том, что результирующее сопротивление
потерь контура становится отрицательным: Rэ<0.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

10.

3. Трехточечные автогенераторы.
На практике вместо автогенераторов с трансформаторной связью чаще
используют так называемые автогенераторы-трехточки, в которых напряжение
обратной связи снимается с части колебательного контура.
Если U ВХ и U ВЫХ - изображения
сигналов на входе и выходе при
разомкнутой цепи обратной связи, так
что известна передаточная функция
K ( p) U ВЫХ / U ВХ , то характеристическое
уравнение, описывающее замкнутую
цепь, как известно, имеет вид
K ( p) 1
(9)
Для того чтобы найти функцию K(p), учтем, что напряжение U аб , на зажимах
контура возникает за счет тока — S 0U ВХ , проходящего через последовательнопараллельно соединенные элементы Z1,Z2, и Z3:
S0U ВХ Z1 ( Z 2 Z 3 )
Uаб
Z1 Z 2 Z 3
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

11.

Поскольку
U ВЫХ U а б Z 2 /( Z 2 Z 3 )
S 0 Z1 Z 2
1
характеристическое уравнение (10) приобретает вид
Z1 Z 2 Z 3
pL1 R
В данном случае Z 1
pL1 R
(10)
1
pC
Подставив эти выражения в (11) и выполнив несложные алгебраические
преобразования, получим характеристическое уравнение замкнутой системы:
Z 2 pL2
pL1
1
2
p ( S 0 ) L1 L2 C p ( L1 L2 )C
1 0.
R
R
3
Z3
(11)
Цепь будет неустойчивой, если определитель Гурвица отрицателен:
D2
L1 L2 C
1
1
S 0 L1 L2C
R
0
L1
R
или L2 ( S 0 1 / R) ( L1 L2 ) / R
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

12.

Отсюда находим условие самовозбуждения данного автогенератора:
RS 0 L1 / L2
(12)
Из физических соображений ясно, что трехточечный автогенератор
самовозбуждается на резонансной частоте
рез 1 / ( L1 L2 )C
В самом деле, на этой частоте сопротивление нагрузки электронного прибора
Zаб=Zэр вещественно; комплексная амплитуда напряжения U аб S 0U вх Z эр
сдвинута по фазе на 180° относительно U в х . В контуре наблюдается резонанс
токов, элементы L1 и L2 обтекаются одним и тем же контурным током. Поэтому
U ВЫХ U а б ( L2 / L1 ) ( L2 / L1 )S0 Z эрU вх
Напряжения U в х и U ВЫХ совпадают по фазе, так что при
выполнении
условия (12) автогенератор действительно самовозбуждается.
Другим вариантом схемы трехточечного автогенератора является
так называемая емкостная трехточка, в которой напряжение
обратной связи снимается с емкостного делителя, образованного
конденсаторами C1 и C2. Анализ условий самовозбуждения такой
схемы проводится аналогично описанному ранее.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

13.

4. Однокаскадный –генератор.
Получим вначале выражение для
комплексного коэффициента передачи в
общем случае
По определению комплексный
коэффициент передачи
четырехполюсника равен
U 2
K
U 1
Для того, чтобы выразить
поскольку контурный ток
U 2через U 1 , используем метод контурных токов,
I 3 и создает на сопротивлении Z2 напряжение U 2 .
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

14.

Система уравнений для этого случая запишется следующим образом
I 1 Z 1 Z 2 I 2 Z 2 U 1
I 1 Z 2 I 2 Z 1 2 Z 2 I 3 Z 2 0
Z 2 Z 0
I
Z
I
2
2
3
1
2
Определитель системы равен
Z1 Z 2
Z2
0
Z2
Z1 2Z 2
Z2
0
Z2
6Z1 Z 22 5Z12 Z 2 Z13 Z 23
Z1 2Z 2
Определитель тока I 3 равен
Z1 Z 2
3 Z2
0
Z2
U 1
Z1 2Z 2
0 U 1 Z 22
Z2
0
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

15.

Z2
U
1 2
Отсюда ток I 3 равен I 3
6Z1 Z 22 5Z12 Z 2 Z13 Z 23
Z3
U
1 2
Следовательно, напряжение равно U 2
6Z1 Z 22 5Z12 Z 2 Z13 Z 23
Тогда комплексный коэффициент передачи четырехполюсника обратной связи
определится выражением
3
Z
2
6Z1 Z 22 5Z12 Z 2 Z13 Z 23
1
Z1
j C
(13)
Z2 R
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

16.

Подставляя эти значения в выражение (13), получим
3
R
1 2
1
5R
3
R
j
6
R
2 2
2 2
C
C
C
(14)
В выражении (14) учтен поворот фазы сигнала на П.
На частоте генерации дополнительных фазовых сдвигов четырехполюсник не
вносит, значит, мнимая часть знаменателя выражения (14) должна быть равна
нулю. Из этого условия найдем частоту генерации
1
6 R 2 2 0 или
г C
2
г
1
6 RC
На этой частоте коэффициент передачи - действительная величина, равная
R3
1
29
5R
3
2 2 R
г C
Следовательно, для выполнения баланса амплитуд
усилительный каскад должен иметь коэффициент
усиления K0≥29, что может быть реализовано,
например, с помощью любого p-n-p транзистора.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

17.

5. Стационарный режим автогенератора.
Стационарные амплитуды напряжений и токов, можно найти лишь при условии
учета нелинейности характеристики транзистора.При увеличении "размаха"
колебаний усилительные способности транзистора ухудшаются и нарастание
колебаний в конце концов прекращается.В установившемся состоянии
автогенератор создает электрические колебания, форма которых из-за влияния
нелинейности в какой-то степени отличается от косинусоидальной. Если,
нагрузкой генератора является колебательный контур с высокой добротностью,
можно полагать, что напряжение на контуре, на входе транзистора, изменяется во
времени по гармоническому закону. Влиянием высших гармонических
составляющих выходного тока транзистора можно пренебречь.Это означает, что
вместо обычной крутизны S , которая является функцией мгновенного
напряжения на входе транзистора, можно воспользоваться средней крутизной:
Где Iml - амплитуда первой гармоники выходного тока
I m1
транзистора;
S ср
U m вх
Uтвх - амплитуда входного напряжения.
Средняя крутизна в пределах одного периода колебаний считается постоянной
(система как бы линейна). Вместе с тем Scp является функцией амплитуды
колебаний, т.е. изменение амплитуда нарушает линейность системы.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

18.

6. Квазилинейный метод.
Он основан на использовании соотношений между первыми гармониками токов
и напряжений и замене нелинейного элемента цепи эквивалентным линейным,
характеризуемым средним по первой гармонике параметром Scp. После такой
замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может
исследоваться методами линейной теории .
Получим, например, уравнение Scp(Um) при степенной аппроксимации ВАХ НЭ.
Если ВАХ НЭ имеет вид
i a0 a1u a2u 2 a3u 3
то, подставив в это уравнение значение u=Umcosɷ0t, получим
i a0 a1U m cos 0t a2U m2 cos 2 0t a3U m3 cos 3 0t
Заменив степени косинусов тригонометрическими функциями кратных
аргументов и выделив первую гармонику тока, имеем:
3
I m1 a1U m a3U m3
4
I m1
3
2
S
a
a
U
ср
1
3
m
Отсюда
Um
4
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

19.

Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

20.

Используем квазилинейный метод для
определения амплитуды и частоты
стационарных колебаний генератора.
Будем полагать, что переменные токи и
напряжения в цепях автогенератора
изменяются во времени по
гармоническому закону. Тогда вместо
системы интегро-дифференциальных
уравнений для установившегося состояния можно написать систему
алгебраических уравнений, в которую входят соответствующие комплексные
амплитуды:
I I I
mL
mC
m
1
I mL R j L I mC
j C
U
j
M
I
m
в
х
mL
(3)
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

21.

Здесь ɷ - угловая частота автоколебаний. Подставляя во второе уравнение
значения I mL и I mC из первого и третьего уравнений, получаем:
L
R
1
1
U m вх j
2
Im
M MC j C
M
I m
(4)
S
ср
Так как U m в х
(переменные составляющие входного напряжения и тока в
транзисторе изменяются в фазе), из выражения (4) будем иметь:
R 02
02
1 2 j
MS ср 0
L
Отсюда следует, что
02
1 2 0
(5)
R
02 MS ср 0
L
(6)
Эти выражения и определяют параметры автоколебаний в стационарном режиме.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

22.

Из равенства (5) видно, что угловая частота автоколебаний в установившемся
режиме
0
1
LC
т.е. совпадает с резонансной частотой контура.
Стационарная амплитуда напряжения на входе транзистора согласно равенству
(6) представляет собой величину, при которой
S ср ст
R
RC
02 M L M
(7)
Чтобы определить U m вх ст необходимо построить график Scp(Umвх) и по нему
найти величину Umвх, соответствующую значению RC/M
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

23.

Соотношения, свойственные квазилинейному методу, могут быть получены и из
нелинейного дифференциального уравнения генератора
d 2 iL 1
SM
R
L
C
dt 2
diL
02 iL 0
dt
(8)
Заменяя в (8) напряжение uВХ и ток i их первыми гармониками и полагая, что
i=Sср ст*uвх, получим уравнение
Sср ст M
d 2 iL 1
R
2
dt
L
C
diL
02iL 0
dt
(9)
являющееся линейным для постоянной амплитуда напряжения Umвх. В
стационарном режиме генератор эквивалентен контуру с коэффициентом
затухания
Sср ст M
1
R
Э
2L
C
dSср
dU m
0
(10)
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

24.

7. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения.
Колебательной характеристикой называется зависимость амплитуды первой
гармоники выходного тока НЭ от амплитуды входного гармонического
напряжения: I m1 f U m в х
Практически оказывается более удобным вместо этой зависимости пользоваться
аналогичной ей зависимостью U
f U
mк
m вх
которая отличается от первой только масштабом по оси ординат.
Действительно, U m к I m 1 z эр Где Uтк напряжения на контуре;
Zэр - резонансное сопротивление контура.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

25.

Для определения стационарной амплитуды необходимо располагать
зависимостью Uтк=f(Uт вх), аналогичной колебательной характеристике, но
обусловленной четырехполюсником обратной связи. Эта зависимость,
определяемая линейной частью схемы автогенератора, устанавливается
уравнением U
(14)
m вх U m к
Точка A пересечения колебательной
характеристики с прямой ОС и определяет
амплитуды установившихся колебаний Uтк ст
и Uт вх ст. Соответствующие графические
построения показаны на рисунке . Угол а
наклона прямой ОС определяется
коэффициентом ОС β и при индуктивной
связи рассчитывается по формуле
arctg
1
arctg
L
(15)
M
С увеличением глубины ОС угол а уменьшается, а амплитуда установившихся
колебаний Uтк ст растет. При ослаблении связи а увеличивается, амплитуда Uтк ст
уменьшается, и при критическом значении коэффициента ОС βкр колебания вовсе
исчезает.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.

26.

Аналогичные рассуждения можно сделать и для
автогенератора со 2-м типом колебательной
характеристики (рисунок ).
Сравнение режимов самовозбуждения
показывает, что в мягком режиме автоколебания
легче возбуждаются (при меньшей ОС), но к.п.д.
генератора оказывается довольно низким, так
как при Uсм≈0 велик угол отсечки тока
транзистора. В жестком режиме колебания возбуждаются при значительно
большей величине ОС, однако из-за малого угла отсечки выходного тока
транзистора к. п. д. генератора достаточно высок.
Радиотехнические цепи и сигналы. Лекция 22.