Остаточный член в логарифмических моделях

1.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1
Z
2
X
u
1
X
Y 1 2 Z u
До сих пор ничего не было сказано об остаточном члене в моделях нелинейной
регрессии.
1

2.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1
Z
2
X
u
1
X
Y 1 2 Z u
Для регрессии результаты линеаризованной модели имеют желаемые свойства,
остаточный член в преобразованной модели должен быть аддитивным и должен
удовлетворять условиям модели регрессии.
2

3.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1
Z
2
X
u
1
X
Y 1 2 Z u
Чтобы иметь возможность выполнять обычные тесты, он должен быть нормально
распределен в преобразованной модели.
3

4.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1
Z
2
X
u
1
X
Y 1 2 Z u
В случае первого примера нелинейной модели проблем не было. Если бы термин
нарушения имел требуемые свойства в исходной модели, он имел бы их в
регрессионной модели. Трансформация не повлияла.
4

5.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
log Y log 1 2 log X u
При обсуждении логарифмической модели остаточный член полностью опускался.
5

6.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
log Y log 1 2 log X u
Однако неявно предполагалось, что в трансформированной модели имеется
аддитивный остаточный член.
6

7.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
log Y log 1 2 log X u
Чтобы это было возможно, случайная составляющая в исходной модели должна быть
мультипликативным сроком eu.
7

8.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
log Y log 1 2 log X u
Мы будем обозначать этот мультипликативный остаточный член как v.
8

9.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
log Y log 1 2 log X u
Когда u равно 0, не изменяя значение log Y , v равно 1, также не изменяя значение Y .
9

10.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
log Y log 1 2 log X u
Положительные значения u соответствуют значениям v больше 1, случайный
коэффициент положительно влияет на Y и log Y. Аналогично отрицательные значения
u соответствуют значениям v между 0 и 1, случайный фактор, оказывающий
отрицательное влияние на Y и log Y
10

11.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
0.45
f(v)
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
0.40
log Y log 1 2 log X u
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
v
16
Кроме того, чтобы удовлетворять условиям модели регрессии, мы должны иметь
нормальное распределение для выполнения t-тестов и F-тестов.
11

12.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
0.45
f(v)
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
0.40
log Y log 1 2 log X u
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
v
16
Это будет иметь место, если v имеет логнормальное распределение, показанное
выше.
12

13.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
0.45
f(v)
Y 1 X 2 e u 1 X 2 v
0.40
log Y log 1 2 log X u
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
v
16
Режим распределения расположен в точке v = 1, где u = 0.
13

14.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
0.45
f(v)
Y 1e 2 X e u 1e 2 X v
0.40
log Y log 1 2 X u
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
v
16
В полулогарифмической модели необходим такой же мультипликативный остаточный
член.
14

15.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
0.45
f(v)
Y 1e 2 X e u 1e 2 X v
0.40
log Y log 1 2 X u
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
v
16
Обратите внимание, что при таком распределении следует ожидать, что небольшая
часть наблюдений будет подвержена большим положительным случайным эффектам.
15

16.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
120
Hourly earnings ($)
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Years of schooling (highest grade completed)
Вот диаграмма разброса для заработка и обучения. Вы можете видеть, что существует
несколько выбросов, причем три наиболее экстремальных значения.
16

17.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Logarithm of hourly earnings
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Years of schooling (highest grade completed)
Вот диаграмма рассеяния для полулогарифмической модели с ее регрессионной
линией. Те же три наблюдения остаются выбросами, но они не кажутся настолько
экстремальными
17

18.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
160
140
120
100
80
60
40
20
0–3
–2
–1
0
-2.75 to -2.25 -2.25 to 1.75 -1.75 to -1.25 -1.25 to -0.75 -0.75 to -0.25 -0.25 to 0.25
Residuals (linear)
0.25 to 0.75
1
0.75 to 1.25
1.25 to 1.75
2
1.75 to 2.25
2.25 to 2.75
3
Residuals (semilogarithmic)
Гистограмма выше сравнивает распределения остатков от линейных и
полулогарифмических регрессий. Распределения были стандартизированы, то есть
масштабированы так, чтобы они имели стандартное отклонение, равное 1, чтобы
сделать их сопоставимыми.
18

19.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
160
140
120
100
80
60
40
20
0–3
–2
–1
0
-2.75 to -2.25 -2.25 to 1.75 -1.75 to -1.25 -1.25 to -0.75 -0.75 to -0.25 -0.25 to 0.25
Residuals (linear)
0.25 to 0.75
1
0.75 to 1.25
1.25 to 1.75
2
1.75 to 2.25
2.25 to 2.75
3
Residuals (semilogarithmic)
Можно показать, что если остаточный член в регрессионной модели имеет
нормальное распределение, то и остатки имеют нормальное распределение.
19

20.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
160
140
120
100
80
60
40
20
0–3
–2
–1
0
-2.75 to -2.25 -2.25 to 1.75 -1.75 to -1.25 -1.25 to -0.75 -0.75 to -0.25 -0.25 to 0.25
Residuals (linear)
0.25 to 0.75
1
0.75 to 1.25
1.25 to 1.75
2
1.75 to 2.25
2.25 to 2.75
3
Residuals (semilogarithmic)
Очевидно, что остатки от полулогарифмической регрессии являются приблизительно
нормальными, а остатки из линейной регрессии - нет. Это свидетельствует о том, что
полулогарифмическая модель является лучшей спецификацией.
20

21.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 u
Что произойдет, если остаточный член в логарифмической или полулогарифмической
модели будет аддитивным, а не мультипликативным? log 1 X 2 u
21

22.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Y 1 X 2 u
log Y log 1 X 2 u
Если бы это было так, мы бы не смогли линеаризовать модель, взяв логарифмы. Нет
упрощения log 1 X 2 u Нам нужно будет использовать некоторую нелинейную
регрессионную технику.
22