Вычислительная механика. Изопараметрические конечные элементы

1. Лекция Вычислительная механика Изопараметрические конечные элементы

К.т.н., доцент каф. ВМиМ
Каменских Анна Александровна
239-15-64

2.

Изопараметрические конечные элементы
Если функции формы для
аппроксимации геометрии
и неизвестных совпадают,
то конечный элемент
называется
изопараметрическим.
Если для аппроксимации
геометрии используется
полином большего порядка,
чем для неизвестных, то это
суперпараметрический
конечный элемент.
Если для аппроксимации
неизвестных используется
полином большего порядка,
чем для геометрии, то это
субпараметрический
конечный элемент.
- функции формы геометрии
О - функции формы неизвестных

3.

Нужно установить однозначную связь:
L1
x
y
f
f
L2
z
L
3
x N i ( , ) xi N j ( , ) x j ... N i xi
i
y N i ( , ) y i N j ( , ) y j ... N i y i
i
N i – функции формы, аппроксимирующие геометрию элемента через координаты узловых
точек элемента.
При построении конечно-элементных соотношений необходимо решать две задачи:
1. Так как функции форм записаны в естественной системе координат, то при построении
матрицы жесткости конечного элемента, точнее, матрицы градиентов, появляется
задача вычисления производных от функций форм по декартовым координатам.
2. При вычислении интеграла по объему или по границе конечного элемента необходимо
записать элементарный объем или приращение вдоль контура через естественные
локальные координаты и соответствующим образом изменить пределы интегрирования.

4.

1. Пусть имеется глобальная система координат x, y, z
N i N i x N i y N i z
,
x
y
z
N i N i x N i y N i z
,
x y
z
N i N i x N i y N i z
.
x
y
z
и естественная система координат , ,
u x t , y t
t
N i x
y
N i
z N i
x
x
N i x
y
z N i J N i ,
y
y
N
N
y
N
x
z
i
i
i z
z
N i
xi
i
N i
J
xi
i
N i
xi
i
N i
i yi
N i
i yi
N i
i yi
N i N1
i zi
N i N1
i zi
N i N1
i zi
N 2
N 2
N 2
u x u y
x t y t
N i
x
N i
J 1
y
N
i
z
...
x1
... x2
...
...
y1
y2
...
z1
z2
...
N i
N
i
N
i

5.

2.
dV e dxdydz det J d d d , где det J – якобиан.
Треугольный конечный элемент
L1 , L2 , L3 1 .
N i N i N i L1 N i L2 N i L3 N i N i
,
L1
L1 L2 L3
L1 L3
N i N i N i N i
.
L2 L2 L3
1 1 L1
k e
0
0
G( L1, L2 , L3 ) det J dL1dL2 ,
G B D B .
T
Билинейный четырехугольный конечный элемент
с - центр тяжести
U ( x, y) 1 2 x 3 y 4 xy
V ( x, y) 5 6 x 7 y 8 xy

6.

Связь между локальными и глобальными
координатами
a
x
x
i
2
y y b
i
2
1
1 1 ,
4
1
N j ( , ) 1 1 ,
4
1
N k ( , ) 1 1 ,
4
1
N m ( , ) 1 1 .
4
N i ( , )
1
Ni ( , ) 1 i 1 i
4
i , i - координаты текущего узла

7.

J
1
1 1 ,
N j
N i
4
J
1
N j
N
N j ( , ) 1 1 ,
i
4
1
N k ( , ) 1 1 ,
4
1 (1 ) (1 )
1
4 (1 ) (1 )
N m ( , ) 1 1 .
4
N i ( , )
N k
N k
(1 )
(1 )
x
i
x j
xk
N m
xm
xi
(1 ) x j
(1 ) x k
xm
k G( , ) det J d d
1 1
e
1 1
N m
yi
y j
yk
ym
yi
y j
yk
ym