Similar presentations:
Алгебра предикатов
1. Алгебра предикатов
2.
Определение.Алгеброй предикатов называется множество
всех предикатов P с логическими операциями
, , , ,
и операциями квантификации
x , x для всех предметных переменных x.
3. Формулы алгебры предикатов
4.
Свойства алгебры предикатов P описываютсяс помощью специальных формул, которые
строятся из символов предикатов и предметных
переменных
с
помощью
специальных
вспомогательных символов – скобок и знаков
логических операций над предикатами.
5.
Алфавит алгебры предикатов состоит изследующих символов:
x1 , x2 ,...,
1) предметные
переменные
которые используются для обозначения
элементов множества допустимых значений,
2) n-местные предикатные символы P,Q,...,
которые используются для обозначения nместных
предикатов
на
множестве
допустимых значений,
3) символы логических операций
, , , , , , ,
4) вспомогательные символы (,) и другие.
6.
Формулы алгебры предикатов определяются поиндукции следующим образом:
1) для любого n-местного предикатного символа P и
любых n предметных переменных x1 ,..., xn
выражение P x1 ,..., xn есть формула, которая
называется элементарной (или атомарной)
формулой;
2) если , – формулы, то формулами являются
также выражения
( ) , , , , ;
3) если – формула и x – предметная переменная,
то формулами являются также выражения x ,
x ; при этом переменная x и формула
называется областью действия соответствующего
квантора.
7.
Если в формулу входят переменные x1 ,..., xn ,то записывают ( x1 ,..., xn ) .
Вхождение предметной переменной x в
формулу называется связным, если она
находится в области действия одного из этих
кванторов; в противном случае вхождение
предметной переменной x в формулу
называется свободным.
Формула
без
свободных
вхождений
переменных называется замкнутой формулой
или предложением.
8. Интерпретации формул алгебры предикатов
9.
Область интерпретации – непустое множествоM, которое является областью возможных
значений всех предметных переменных.
P
n-местным
предикатным
символам
присваиваются конкретные значения PM nместных предикатов на множестве M.
P PM
Соответствие
:
называется
интерпретацией предикатных символов.
Область
интерпретации
M
вместе
с
интерпретацией
предикатных
символов
называется интерпретацией формул алгебры
предикатов и обозначается (M , ) или просто M.
10.
При наличии интерпретации M конкретныезначения предметным переменным формул
алгебры
предикатов
присваиваются
с
помощью отображения множества всех
предметных переменных X в область
интерпретации M.
Такие отображения называются оценками
предметных переменных.
11.
Выполнимость формулы в интерпретации MM |
при оценке
обозначается
и
определяется следующим образом:
1) если P x1 ,..., xn для n-местного предикатного
символа P и предметных переменных x1 ,..., xn ,
то M | тогда и только тогда, когда
высказывание PM ( x1 ),..., ( xn ) истинно;
2) если для формулы , то M | тогда
и только тогда, когда неверно, что M | ;
3) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M |
тогда и только тогда, когда M | 1 и M | 2 ;
12.
4) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M | тогдаи только тогда, когда M | 1 или M | 2 ;
5) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M |
тогда и только тогда, когда неверно, что M | 1 и
M | 2 ;
6) если 1 2 для формул 1 , 2 , то M |
тогда и только тогда, когда M | 1 , M | 2
одновременно верны или нет;
7) если x для некоторой формулы , то M |
тогда и только тогда, когда M | для всех оценок
, отличающихся от оценки возможно только на
элементе x;
8) если x для некоторой формулы , то M |
тогда и только тогда, когда M | для некоторой
оценки , отличающейся от оценки возможно
только на элементе x.
13.
Определение. В интерпретации M формуланазывается:
общезначимой
(или
тождественно
истинной), если M | при любых оценках
;
выполнимой, если M | для некоторой
оценки ;
опровержимой, если для некоторой оценки
неверно, что M | ;
тождественно ложной, если для любой
оценки неверно, что M | .
14.
Формула общезначима в интерпретации M, еслипри подстановке в нее вместо n-арных предикатных
символов P их интерпретаций PM она превращается
в тождественно истинный на множестве M
предикат. Символическая запись M | .
Формула в интерпретации M выполнима,
опровержима или тождественно ложна, если при
подстановке в нее вместо n-арных предикатных
символов P их интерпретаций она превращается
соответственно в выполнимый, опровержимый или
тождественно ложный на множестве M предикат
PM .
15. Проблема общезначимости формул алгебры предикатов
16.
Определение. Формула называется тождественноистинной, если она тождественно истина в любой
интерпретации M. Такая формула называется также
общезначимой формулой, или тавтологией алгебры
предикатов и обозначается | . Множество всех
тавтологий алгебры предикатов обозначим TАП. .
Определение. Формула называется тождественно
ложной или противоречием, если она тождественно
ложна в любой интерпретации M.
По определению противоречивость формулы
равносильна условию | .
Определение. Формула называется выполнимой, если
она выполнима хотя бы в одной интерпретации M,
которая называется моделью этой формулы.
17.
Таким образом, формула :общезначимая (или тождественно истинная,
M |
тавтология),
если
в
любой
интерпретации M при любых оценках ;
запись | ;
выполнимая, если M | в некоторой
интерпретации M для некоторой оценки ;
опровержимая, если в некоторой
интерпретации M для некоторой оценки
неверно, что M | ;
тождественно ложная, если в любой
интерпретации M для любой оценки
неверно, что M | .
18.
Замечание 1.Если формула является предложением, то она
не содержит свободных вхождений переменных
и, следовательно, не зависит от оценок
предметных
переменных
в
области
интерпретации M.
Значит, предложение в интерпретации M
общезначимо в том и только том случае, если оно
выполнимо (т.е. выполняется хотя бы при одной
оценке предметных переменных в области
интерпретации M).
19.
Замечание 2.Для
формулы
справедливы
следующие утверждения:
1) |=
равносильно
|=
;
2)
выполнима в том и только
том случае, если выполнима формула
;
3)
выполнима
в
любой
интерпретации в том и только том случае,
если |=
.
20. Тавтологии алгебры предикатов
21.
Любая тавтология алгебры высказыванийявляется тавтологией алгебры предикатов.
Более того, тавтологии алгебры высказываний
дают возможность легко получать тавтологии
алгебры предикатов с помощью следующего
очевидного результата.
Лемма 1. Если X 1 ,..., X n – тавтология
алгебры высказываний, то для любых формул
алгебры предикатов 1 ,..., n формула 1 ,..., n
является тавтологией алгебры предикатов.
22.
С другой стороны, в алгебре предикатов можнополучить много принципиально новых тавтологий с
помощью следующих свойств кванторов.
Лемма 2. Для любых формул , следующие
формулы являются тавтологиями:
1. x x , x x ,
x x , x x ;
2. x y y x , x y y x ;
3. x ( ) x x ,
x ( ) x x ;
23.
4. x ( ) x , где – символ однойиз операций , ;
5. x ( ) x , где – символ одной из
операций , ,
если в формулу предметная переменная x не
входит свободно; а также
6. x ( ) ( x ) ,
x ( ) ( x ) ,
7. x ( ) ( x ) ,
x ( ) ( x ) .
24.
8.x ( x) ( y) ,
( y ) x ( x) ,
если формула (x) не содержит предметную
переменную y и формула ( y) получается из
(x) заменой всех свободных вхождений
переменной x на предметную переменную y.