Логические элементы. Вычислительная техника

1. Логические элементы

Вычислительная техника

2. Логика

упорядоченная система
мышления, которая создает
взаимосвязи между заданными
условиями и позволяет делать
умозаключения, основываясь
на предпосылках и
предположениях

3. Аристотель

Древнегреческий
философ
Основоположник
логики
384 — 322 до н. э.
Исследовал
различные формы
рассуждений ,
ввел понятие
силлогизма

4. Рене Декарт

Французский
философ,
математик, механик,
физик и физиолог
1596 1650
Рекомендовал в
логике использовать
математические
методы

5. Готфрид Вильгельм Лейбниц

Немецкий философ,
логик, математик,
механик, физик, юрист,
историк, дипломат,
языковед и изобретатель
1646 1716
Предложил в логике
использовать двоичную
систему счисления и
математическую
символику

6. Джордж Буль

Английский
математик и логик
Основоположник
математической
логики
1815 1864
«Математический
анализ логики»
1847

7. Математическая логика

математизированная
ветвь формальной логики
«Логика по предмету,
математика по методу»
И.Н. Бродский

8. Пауль Эренфест

Австрийский и
нидерландский физиктеоретик
1880 1933
Член Нидерландской
королевской АН,
член-корреспондент
АН СССР,
иностранный
член Датской АН

9. Михаил Гаврилов

Советский учёный,
стоявший у истоков
отечественных
информатики и
кибернетики
1903 1979
Создал теорию
релейно-контактных
схем

10. Логический элемент (вентиль)

электрическая схема, выполняющая
какую-либо логическую операцию
(операции) над входными данными,
заданными в виде уровней
напряжения, и возвращающая
результат операции в виде
выходного уровня напряжения

11. Логический элемент

Реализация
КОНТАКТНОРЕЛЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРОННЫЕ
СХЕМЫ

12. Логический элемент

электрическая схема, выполняющая
какую-либо логическую операцию
(операции) над входными данными,
заданными в виде уровней
напряжения, и возвращающая
результат операции в виде выходного
уровня напряжения

13. Логическая операция (функция)

Истинностные значения
Истина 1
Ложь 0
На входе набор из 0 и 1
На выходе 0 или 1

14. Логический элемент

Входные данные в виде высокого и
низкого уровней напряжения на
входах
Значения определяются
электрическими параметрами схемы и
одинаковы как для входных и для
выходных сигналов

15. Положительная логика

Высокий уровень (замкнутый ключ,
светящийся индикатор)= Истина = 1
Низкий уровень (разомкнутый ключ,
не светящийся индикатор)= Ложь = 0
Отрицательная логика
наоборот

16. Таблица истинности

Все возможные комбинации входных
сигналов и соответствующий каждой
комбинации выходной сигнал
Вход
X
Вход
Y
Выход
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

17. Таблица истинности

Количество
столбцов
Количество
строк
=
Количество
входов
=2
+
Количество
выходов
количество входов

18. Логические элементы

НЕ инвертирование
логическое
умножение
ИЛИ логическое
сложение
И

19. Инвертор

изменяет значение входного сигнала
на прямо противоположное значение
F ( x) x x
Вход
Выход
0
1
1
0

20. Инвертор (НЕ)

Реализация
Условно-графическое изображение

21. Логическое умножение

Конъюнктор
F ( x, y ) x y x & y x y
Вход X
Вход Y
Выход
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

22. Активный логический уровень

однозначно задает состояние на выходе
элемента независимо от логических
уровней на остальных входах
Вход X
Вход Y
Выход
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

23. Логическое умножение (2И)

Реализация
Условно-графическое изображение (УГО)

24. Логическое умножение 3И

F ( x, y , z ) x y z
Вход X
Вход Y
Вход Z
Выход
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1

25. Логическое умножение 3И

Условно-графическое изображение

26. Логическое сложение

Дизъюнктор
F ( x, y ) x y x y
Вход X
ВходY
Выход
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

27. Логическое сложение (2ИЛИ)

Условно-графическое
изображение (УГО)

28. Элемент 2И-НЕ

Штрих Шеффера
F ( x, y) x y
Вход X
Вход Y
Выход
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0

29. Элемент NИ-НЕ

30. Элемент 2ИЛИ-НЕ

Стрелка Пирса
F ( x, y) x y
Вход X
Вход Y
Выход
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0

31. Элемент N ИЛИ-НЕ

32. Комбинационные элементы

2И-ИЛИ
F ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x3 x4

33. Комбинационные элементы

3-2И-ИЛИ-НЕ
F ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) x1 x2 x3 x4 x5

34. Функционально полная система

Система простых логических
функций, на основе которой
можно получить любую
логическую функцию

35. Функционально полные системы

• 2И, 2ИЛИ, НЕ
• 2И, НЕ
• 2ИЛИ, НЕ
• 2И–НЕ
• 2ИЛИ–НЕ

36. Реализация цифровых устройств по заданным формулам

РЕАЛИЗАЦИЯ
ЦИФРОВЫХ
УСТРОЙСТВ ПО
ЗАДАННЫМ
ФОРМУЛАМ

37.

F A B A

38. Построение таблиц истинности

1.Определяем количество входов
2. Количество строк в таблице
количество входов
2
3.Определяем количество действий
4. Количество столбцов в таблице =
количество входов + количество
действий
5.Заполняем таблицу

39.

F A B A

40.

F A B A
А
В
А∙B
F

41.

F A B A
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
А∙B
F

42.

F A B A
А
В
А∙B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
F

43.

F A B A
А
В
А∙B
F
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1

44.

F A B A В

45.

F A B A В
А
В
А∙B
A B
(A B)
F

46.

F A B A В
А
В
0
0
0
1
1
0
1
1
А∙B
A B
(A B)
F

47.

F A B A В
А
В
А∙B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A B
(A B)
F

48.

F A B A В
А
В
А∙B
A B
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
(A B)
F

49.

F A B A В
А
В
А∙B
A B
(A B)
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
F

50.

F A B A В
А
В
А∙B
A B
(A B)
F
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1

51.

F A B A В

52.

F X Y Z X Z

53.

X
Y
Z
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
XY
Не Z X Z
Не
XZ
5
F

54.

X
Y
Z
XY
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Не Z X Z
Не
XZ
5
F

55.

X
Y
Z
XY
Не Z X Z
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
Не
XZ
5
F

56.

X
Y
Z
XY
Не Z X Z
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
Не
XZ
5
F

57.

Не Z X Z
Не
XZ
X
Y
Z
XY
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
5
F

58.

Не
XZ
5
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
X
Y
Z
XY
Не Z X Z
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
F

59.

Не
XZ
5
F
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
X
Y
Z
XY
Не Z X Z
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1

60. Реализация цифровых устройств по заданным таблицам истинности

РЕАЛИЗАЦИЯ
ЦИФРОВЫХ
УСТРОЙСТВ ПО
ЗАДАННЫМ
ТАБЛИЦАМ
ИСТИННОСТИ

61.

Синтез схем
СДНФ
СКНФ
совершенная
дизъюнктивная
конъюнктивная
нормальная форма
по «единицам»
по «нолям»

62. Алгоритм (СДНФ)

1. Выбираем наборы переменных, при
которых выходное значение равно 1.
2. Для каждого такого набора
записываем конъюнкции всех
переменных, если переменная имеет
значение 0, берём её в
инвертированном виде.
3. Полученные конъюнкции объединяем
операцией дизъюнкции

63. Алгоритм (СКНФ)

1. Выбираем наборы переменных, при
которых выходное значение равно 0.
2. Для каждого такого набора
записываем дизъюнкции всех
переменных, если переменная имеет
значение 1, берём её в
инвертированном виде.
3. Полученные дизъюнкции объединяем
операцией конъюнкции

64. ЗАДАЧА 1

65.

A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1

66.

A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1

67.

A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1

68.

A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
А & В & С
А & В & С
А&В&С

69. Формула

( А & В & С)
(А & В & С)
(А & В & С)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма (СДНФ)

70. Формула

( А & В & С)
(А & В & С)
(А & В & С)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма

71. Формула

( А & В & С)
(А & В & С)
(А & В & С)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма

72.

A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1

73.

A
B
C
f
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
А В С
0
1
1
0
А В С
1
0
0
0
А В С
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
А В С
А В С

74.

(А В С) &
& (А В С) &
& (А В С) &
& ( А В С) &
& ( А В С)
Совершенная конъюнктивная
нормальная форма (СКНФ)

75.

(А В С) &
& (А В С) &
& (А В С) &
& ( А В С) &
& ( А В С)
Совершенная конъюнктивная
нормальная форма

76.

(А В С) &
& (А В С) &
& (А В С) &
& ( А В С) &
& ( А В С)
Совершенная конъюнктивная
нормальная форма

77. ЗАДАЧА

78.

In0
In1
In2
In3
Out0
Out1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1

79.

In0
In1
In2
In3
Out0
Out1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1

80.

In0
In1
In2
In3
Out0
Out1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1

81. Формула для Out0

( x1∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
( x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
(x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма (СДНФ)

82. Формула для Out0

( x1∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
( x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
(x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма (СДНФ)

83. Формула для Out0

( x1∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
( x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
(x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма (СДНФ)

84.

In0
In1
In2
In3
Out0
Out1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1

85. Формула для Out1

( x1∙x2 ∙ x3 ∙ x4)
(x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
(x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4)
Совершенная дизъюнктивная
нормальная форма (СДНФ)

86.

87.

8
4
2
1
a
b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1

88.

8
4
2
1
a
b
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1