Моделирование объекта принятия решений на основе проверки многомерных статистических гипотез

1.

Моделирование объекта принятия
решений на основе проверки многомерных
статистических гипотез
Лекция 6

2.

Учебные вопросы:
1
2
Математический аппарат моделирования на основе
проверки многомерных статистических гипотез
Методика принятие решений на основе проверки
статистических гипотез

3.

Методические основы проверки
многомерных статистических гипотез

4.

1 Методика принятие решений на основе
проверки статистических гипотез

5. Понятия статистических гипотез

Статистические гипотезы – это выдвигаемые теоретические
предположения относительно параметров статистического распределения
или закона распределения случайных величин.
Гипотеза Н0 (основная) – содержит утверждение об отсутствии
различий между сравниваемыми величинами.
Гипотеза Н1 – принимается если отвергнута основная гипотеза.
Для проверки гипотез используют статистические критерии, позволяющие
выяснить, следует принять или отвергнуть нулевую гипотезу
Проверка статистических гипотез всегда допускает определенную
вероятность ошибки в выводах:
α - вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она справедлива;
β - вероятность принять нулевую гипотезу, когда она ложна.

6.

Методика проверки гипотезы о равенстве вектора
средних значений заданному вектору
Имеет место m - чисел выборочных средних значений анализируемых
величин и вектор требуемых значений этих величин:
Для проверки многомерной гипотезы H 0 : Y M
используется
критерий Хотеллинга
2
Tp
1 ˆT ˆ
(Y Y )
n 1
Yˆ
1
n(Y M ) (Y M ),
T
- ковариационная матрица ;
- матрица с центрированными значениями переменной:
2
Tкр ( , m, n m)
m(n 1)
F , m, n m
n m
yˆij yij yij
F ,m,n m - табличное значение F-критерия Фишера для числа степеней свободы
Многомерная гипотеза о равенстве вектора средних величин заданному
вектору подтверждается при
T p2 Tкр2 ( ,m, n -m)

7. Методика проверки гипотезы о равенстве двух векторов средних значений

H 0 : ( X 11 X 12 X 13 ...X 1m ) ( X 21 X 22 X 23 ...X 2 m ),
H 1 : ( X 11 X 12 X 13 ...X 1m ) ( X 21 X 22 X 23 ...X 2 m ),
Для проверки гипотезы применяется многомерный критерий Хотеллинга
n1n2
T
( X 1 X 2 )T 1 ( X 1 X 2 )
n1 n2
2
p
где
X 1, X 2 –
n1 , n2
1
векторы средних значений;
– количество отсчетов в первой и второй выборке соответственно;
– обратная матрица, рассчитанная для объединенной ковариационной матрицы
вида
1
Xˆ 1T Xˆ 1 Xˆ 2T Xˆ 2
n1 n2 2
Критические значения для критерия
Tкр2 ( ,m, n n -m-2)
1
При
T p2 Tкр2 ( ,m, n n
1
2 - m - 2)
2
(n1 n2 2)m
F ,m,n n -m-2
n1 n2 m 2
1
2
нулевая гипотеза принимается с вероятностью (1-α).

8.

2 Пример принятия решений на основе проверки
статистических гипотез

9.

Условия задачи
Для предприятия розничной торговли в административном районе
установлены следующие нормативные показатели: эффективности
деятельности (рентабельность) – 20 % и средняя продолжительность
оборота материальных средств – 12 дней.
Предполагается (гипотеза Н0), что более низкие значения
показателей означают нарушение ритмичности товарно-денежных
операций и снижение конкурентоспособности предприятий
торговли.

10.

Рентабельность торговой деятельности
и оборачиваемость материальных средств предприятий
Номер объекта
Рентабельность, %
Продолжительность
оборота, дней
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
14
12
16
14
15
18
22
20
13
19
12
14
19
15
19
17
24
12
10
15
18
20
22
23
15,8
17,8
Среднее значение (X )
j

11.

Последовательность решения
1. Ковариационная матрица
1
( Xˆ T Xˆ )
n 1
1 14 15,8 12 15,8 16 15,8 14 15,8 15 15,8 14 15,3
11 19 17,8 15 17,8 19 17,8 17 17,8 24 17,8 23 17,8
14 15,8
12 15,8
16 15,8
14 15,8
15 15,8
14 15,8
19 17,8
15 17,8
19 17,8
1 118,3 86,5 10,75 7,86
.
17 17,8
11 86,5 210,7 7,86 18,34
24 17,8
23 17,8
Обратная ковариационная матрица
0,1355 0,0581
1
aij
0,0581 0,1093
1

12.

Последовательность решения (продолжение)
3. Расчетное значение критерия Хотеллинга
0,1355 0,0581
n( X ) ( X ) 12 * (15,8 20 17,8 12)
0,0581 0,1093
15,8 20
32,16 .
17,8 12
T 1
Tp2
4. Критическое значение критерия Хотеллинга
m(n 1)
2(12 1)
T
F0, 05; 2;10
4,459 9,8
n m
12 2
2
кр

13.

Пример 2. Для того, чтобы оценить уровень различия двух групп инженернотехнических работников на предприятиях легкой промышленности (мужчины и
женщины) по двум признакам, было проведено выборочное обследование. В
выборку попали 20 человек (10 мужчин и 10 женщин). Результаты наблюдения
представлены в таблице
Мужчины
Женщины
X1
X2
X1
X2
4
9,0
20
7,2
15
8,2
8
6,0
17
10,0
12
9,2
20
8,0
6
6,5
22
6,5
5
7,5
30
8,5
18
8,0
20
7,5
15
8,4
7
7,0
25
9,0
18
9,7
10
8,1
4
8,4
17
7,8
X1 - стаж работы, лет; X2 - средняя дневная заработная плата, ден. ед.
Нулевая гипотеза – расхождения между работающими мужчинами и женщинами
по анализируемым признакам несущественны.

14.

Решение
1. Для каждой группы отдельно и для совокупности в целом выполнен расчет
средних значений и дисперсии анализируемых признаков.
I группа (мужчины)
11 12 63,810 0,576
S1
0
,
576
1
,
106
21
22
II группа (женщины)
12 38,240 3,078
S 2 11
3
,
078
0
,
926
21
22
2 Расчет совместной ковариационной матрицы для двух групп
1020,5 25,0 56,7 1,4
1
1
S*
( S1n1 S2 n2 )
n1 n2 2
10 10 2 25,0 20,3 1,4 1,1
0,018 0,022
S
0
,
022
0
,
913
1

15.

3 Определение расчетного значения критерия Хотеллинга
Tp2
n1n2
( X 1 X 2 ) S 1 ( X 1 X 2 )
n1 n2 2
0,018 0,022 2,10
10 *10
1,49.
(2,1 0,51)
0
,
022
0
,
913
0
,
51
10 10 2
4 Определение табличного значения критерия
2
Т кр
(10 10 2) 2
3,592 8,082
(10 10 2 2)
Следовательно, нулевая гипотеза о равенстве векторов средних значений
двух множеств принимается, т.е. расхождения между работающими
мужчинами и женщинами по изучаемым признакам несущественны.