Координаты вектора

1. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом
координат. Тогда координаты его конца называются координатами
вектора. Обозначим i , j , k векторы с координатами (1, 0, 0), (0,
1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а
направления совпадают с направлениями соответствующих осей
координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала
координат и называть их координатными векторами.

2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Теорема. Вектор a имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда,
когда он представим в виде a xi yj zk .
Доказательство. Отложим вектор a от начала координат и его конец
обозначим через А. Имеет место равенство
OA OAx OAy OAz .
Точка А имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда
выполняются равенства
OAx xi , OAy yj , OAz zk ,
и, значит, a xi yj zk .

3. ДЛИНА ВЕКТОРА

Если вектор a задан координатами начальной и конечной точек,
A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), то его длина выражается формулой
| A1 A2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 .

4. Упражнение 1

Найдите координаты векторов:
а) a 2i 6 j k ;
б) b i 3 j ;
в) c 3 j 2k ;
г) d 5i 5k .
Ответ: а) (-2, 6, 1); б) (1, 3, 0); в) (0, -3, 2); г) (-5, 0, 5).

5. Упражнение 2

Найдите координаты вектора AB , если: a) A(2, -6, 9), B(-5, 3, 7); б) A(1, 3, -8), B(6, -5, -10); в) A(-3, 1, -20), B(5, 1, -1).
Ответ: а) (-7, 9, -16); б) (5, -8, -2); в) (8, 0, 19).

6. Упражнение 3

Вектор AB имеет координаты (a,b,c). Найдите координаты
вектора BA .
Ответ: (-a, -b, -c).

7. Упражнение 4

В прямоугольном параллелепипеде OABCO1A1B1C1 вершина O –
начало координат, ребра OA, OC, OO1 лежат на осях координат
Ox, Oy и Oz соответственно и OA=2, OC=3, OO1=4. Найдите
координаты векторов:
а) OA1 ;
б) OB1 ;
в) OO1 ;
г) OC .
Ответ: а) (2, 0, 4);
б) (2, 3, 4);
в) (0, 0, 4);
г) (0, 3, 0).

8. Упражнение 5

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед
OABCO1A1B1C1, у которого вершина O совпадает с началом
координат. Найдите координаты вектора: а) OA; б) OC ; в) OB ;
г) OO1 ; д) BC1 ; е) B1C1 ; ж) AA1 ; з) OB1 ; и) O1B .
Ответ: а) (0, 8, 0);
б) (-5, 0, 0);
в) (-5, 8, 0);
г) (0, 0, 6);
д) (0, -8, 6);
е) (0, -8, 0);
ж) (0, 0, 6);
з) (-5, 8, 6);
и) (-5, 8, -6).

9. Упражнение 6

Найдите координаты векторов a b и a b , если
b (0,3,-4).
Ответ: (1, 3, -2); (1, -3, 6).
a (1, 0, 2),

10. Упражнение 7

Даны векторы a (-1,2,8) и
векторов:
а) 3a 2b ;
1
1
б) a b ;
2
4
в) a 5b .
Ответ: а) (1, -2, 30);
1
б) (-1, 2, 3 );
4
в) (11, -22, 7).
b (2,-4,3). Найдите координаты

11. Упражнение 8

Найдите координаты точки N, если вектор MN имеет
координаты (4, -3, 0) и точка M - (1, -3, -7).
Ответ: (5, -6, -7).

12. Упражнение 9

Какому условию должны удовлетворять координаты вектора,
чтобы он был: а) перпендикулярен координатной плоскости Oxy;
б) параллелен координатной прямой Ox?
Ответ: а) Первая и вторая координаты равны нулю;
б) вторая и третья координаты равны нулю.

13. Упражнение 10

Найдите координаты конца единичного вектора с началом в
точке A(1, 2, 3) и: а) перпендикулярного плоскости Oxy; б)
параллельного прямой Ox.
Ответ: а) (1,2,4), (1,2,2);
б) (2,2,3), (0,2,3).

14. Упражнение 11

Найдите длину вектора:
а) i 2 j 3k ;
б) 8i k ;
в) j 2k .
Ответ: а) 14; б) 65; в)
5.

15. Упражнение 12

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора:
а) AC ; б) BD1 .
Ответ. а) 2 ; б) 3 .

16. Упражнение 13

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB A1D1.
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору AC .
Его длина равна 2 .
Ответ. 2 .

17. Упражнение 14

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB1 A1D.
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору AC .
Его длина равна 2 .
Ответ. 2 .

18. Упражнение 15

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB1 A1D1.
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору AC1.
Его длина равна 3 .
Ответ. 3 .

19. Упражнение 16

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB1 BC1.
Решение. Данная сумма
векторов равна удвоенному
вектору AO1 , где O1 –
середина отрезка B1D1.
Его длина равна 7 .
Ответ. 7 .

20. Упражнение 17

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора AB A1C1.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора удвоенного
вектора AO, где O – середина
отрезка BC.
Его длина равна
Ответ. 3.
3.

21. Упражнение 18

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора AB CC1.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора вектора AB1 ,
т.е. равна 2.
Ответ. 2.

22. Упражнение 19

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора BA CB1.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора вектора CA1 ,
т.е. равна 2.
Ответ. 2.

23. Упражнение 20

В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора:
а) AB1 ;
б) AC1;
в) AD1;
г) AB A1E1;
д) AB A1F1.
Ответ. а) 2 ; б) 2 ;
в) 5 ; г) 5 ; д) 1.

24. Упражнение 21

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AB и C1 D1.
Ответ. 180о.

25. Упражнение 22

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AD1 и CB1.
Ответ. 90о.

26. Упражнение 23

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AB1 и C1B.
Ответ. 120о.

27. Упражнение 24

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AB1 и BD1.
Ответ. 90о.

28. Упражнение 25

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите угол между векторами AB и
B1C1.
Ответ. 120о.

29. Упражнение 26

В правильной шестиугольной призме A … F1 найдите
угол между векторами:
а) AB и B1C1;
б) AB и C1D1;
в) AB и B1D1 ;
г) AB и B1E1;
д) AB и C1E1.
Ответ. а) 60о; б) 120о; в) 90о; г) 120о; д) 150о.