Переменные и непрерывные ренты. Конверсия ренты

1. Переменные и непрерывные ренты. Конверсия рент.

2.

Члены переменной ренты изменяются согласно
определенным законам или условиям развития.

3.

Ренты с постоянным абсолютным
приростом платежей.
R, R a, R 2a, , R (n 1)a
R
R a R 2a
R (n 1)a
A
;
2
3
n
(1 i ) (1 i )
(1 i )
(1 i )
R a R 2a
R (n 1)a
(1 i ) A R
;
2
n 1
(1 i ) (1 i )
(1 i )
a
a
a
(1 i ) A A iA R
2
n 1
(1 i ) (1 i )
(1 i )
n 1
R (n 1)a
1
1
na
a
R 1
a
;
n
n
t
n
n
(1 i )
(1 i ) (1 i )
t 1 (1 i )
(1 i )

4.

n 1
1
1
na
a
a
i A R 1
;
n
t
n
n
(1 i )
(1 i )
t 1 (1 i )
(1 i )
1 (1 i ) n a 1 (1 i ) n
na
A R
;
n
i
i
i
i (1 i )
a
na
A R a (n; i )
i
i (1 i ) n
a
na
S A(1 i ) R s (n; i )
i
i
n

5.

Какова зависимость современной стоимости от
абсолютного прироста?
a
na
A R a (n; i )
n
i
i (1 i )
a (n; i ) n(1 i ) n
R a (n; i )
a;
i
s (n; i ) n
S R s (n; i )
a
i

6.

Пример. Платежи постнумерандо образуют
регулярный во времени поток, первый член
которого равен 15 тыс. руб. Последующие
платежи увеличиваются на 2 тыс. руб.
Начисление производится по ставке 20%
годовых. Срок выплат – 10 лет. Определить
современную и наращенную величину потока.

7.

Решение. R = 15000; a = 2000; n = 10; i = 0,2.
2000 1 (1 0,2) 10
10 2000
A 15000
10
0,2
0,2
0,2 (1 0,2)
1 (1 0,2) 10 a (10;20) 10 1,210
15000
2000
0,2
0,2
62 887,08 25 774,16 88 661,24 ;
S A(1 i ) n 88661,24 1,210 548 967,05
(1 0,2)10 1 s (10;20) 10
S 15000
2000
0,2
0,2
389 380,23 159 586,82 548 967,05

8.

Решение. Если же рента предполагает
сокращение платежей по 1 тыс. руб. в год, т.е.
a = – 1000, то
1 (1 0,2) 10 a (10;0,2) 10 1,210
A 15000
( 1000)
0,2
0,2
62887,08 12887,08 50000;
(1 0,2)10 1 s (10;0,2) 10
S 15000
( 1000)
0,2
0,2
389380,23 79793,41 309586,82

9.

Ренты с постоянным относительным
приростом платежей.
R, Rq, Rq 2 , , Rq n 1
R
Rq
Rq n 1
A
2
n
(1 i ) (1 i )
(1 i )
n
q
1
n
n
1
1 i
1 q (1 i )
R (1 i )
R
1
q (1 i ) 1
q (1 i )

10.

n
q
1
1 i
A R
;
q (1 i )
Пусть q = 1 + k, где k – темп прироста платежей
(прирост может быть как положительным, так и
отрицательным).
1 k
1
1 i
A R
;
i k
n
q n (1 i ) n
(1 k ) n (1 i ) n
S R
R
q (1 i )
k i

11.

Пример. Пусть в предыдущем примере члены
ренты увеличиваются каждый год на 12%
10
(k =0,12).
1 0,12
1
1 0,2
A 15000
93447,78;
0,2 0,12
(1 0,12)10 (1 0,2)10
S 15000
578604,04
0,12 0,2
Если же платежи уменьшаются с темпом прироста
10
k = – 0,1 (– 10%), то
1 0,1
1
1 0,2
A 15000
47184,32;
0,2 ( 0,1)
S A 1,210 47184,32 1,210 292152,90

12.

Конверсии рент.
- замена ренты разовым платежом (выкуп
ренты);
- замена разового платежа рентой (рассрочка
платежа);
- объединение рент с разными
характеристиками в одну (консолидация рент).
Общий случай конверсии: замена ренты с
одними условиями на ренту с другими
условиями.
Конверсия должна основываться на принципе
финансовой эквивалентности.

13.

Общее правило консолидации: находятся
современные величины заменяемых рент и
складываются; затем подбирается рента-сумма
с такой современной величиной и нужными
остальными параметрами.
Как изменится правило, если при консолидации
среди рент есть отложенные?

14.

Выкуп ренты, т.е. замена ренты
единовременным платежом.
V A Ra (n, i )
Рассрочка платежей – задача, обратная выкупу
ренты, которая обычно заключается в
определении одного из параметров этой ренты –
R или n ( остальные параметры заданы).

15.

Объединение (консолидация) рент.
Для заменяющей ренты нужно четко
определить ее вид и все параметры, кроме
одного (как правило, R или n).
A Aq
q
Если заменяющая рента постнумерандо
является немедленной и задан ее срок n, то
R
A
q
q
a(n, i)
.

16.

Если задается сумма платежа и его
периодичность, то срок определяется из
уравнения (формула дана для немедленной
ренты постнумерандо):
1 (1 i )
a ( n, i )
i
Aq
ln 1 q
R
n
ln(1 i )
i
n
A
q
q
R
i Aq
q
1 .
R

17.

Пример. Три ренты постнумерандо –
немедленные, годовые – заменяются одной
отложенной на три года рентой постнумерандо.
Согласно договоренности заменяющая рента
имеет срок 10 лет, включая отсрочку.
Характеристики заменяемых рент: R1=100 тыс.
руб., R2=120 тыс. руб., R3=300 тыс. руб., сроки
этих рент: 6; 11 и 8 лет. При расчете
использовать ставку 8% годовых.
Решение.
A
A1 A2 A3
(1 i ) 3

18.

Рента
Платеж Срок (n)
(R, тыс.
руб.)
Ставка
(i, %)
a(n, i)
A=
Ra(n, i)
462,288
1
100
6
8
4,62288
2
120
11
8
7,13896 856,6757
3
300
8
8
5,74664 1723,992
Итого
520
Размер заменяющего платежа:
3
( A1 A2 A3 )(1 i )
A
R
a ( n, i )
a (7;8)
3042,955 1,083
736,261
5,20637
3042,955

19.

Если задан не срок, а сумма годового платежа,
например, R = 800 тыс. руб., то необходимо найти
срок заменяющей ренты.
Находим современную стоимость ренты:
A 3042,955 (1,08) 3 3833,2474
Тогда срок определяется по формуле:
A
3833.2474
ln 1 i ln 1
0,08
800
R
6,28;
n
ln(1 i )
ln 1,08
т.е. 6 годовых платежей по 800 тыс. руб. и платеж в
конце 7го года 231,27 тыс. руб.
Или 5 годовых платежей по 800 тыс. руб. и платеж
в конце 6го года 1014,14 тыс. руб.