Многоранники. Поверхности

1. Многоранники - Поверхности

2. Многораннники

Многогранники – замкнутые пространственные фигуры,
ограниченные плоскими многоугольниками - гранями. Стороны
граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами.
Из всего многообразия многогранников наибольший практический
интерес представляют призмы, пирамиды, правильные
многогранники и их разновидности.
Грань
Призма
Многогранник, две грани
которого n-угольники в
параллельных плоскостях, а
Ребро
остальные n-граней параллелограммы, называется
n-угольной призмой.
Многогранники являются
основаниями призмы, а
параллелограммы – боковыми
гранями призмы.
Вершина

3. Призма

Многогранник, две грани которого n-угольники в
параллельных плоскостях, а остальные n-граней параллелограммы, называется n-угольной призмой.
Многогранники являются
основаниями призмы, а
параллелограммы –
боковыми гранями
призмы.
Ребро
Вершина
Грань

4. Пирамида

Многогранник, у которого одна из граней – произвольный
многоугольник, а остальные грани – треугольники,
имеющие общую вершину, называются пирамидой.
Особая вершина (вершина)
Грань–многоугольник
Боковая грань
называют основанием
призмы, а треугольники –
боковыми гранями
пирамиды. Общая вершина
треугольников называется
особой вершиной пирамиды
(обычно, просто вершиной).
Основание

5. Усеченная пирамида

Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной
основанию, то получим усеченную пирамиду.

6. Правильные многогранники

Многогранник называется правильным, если его грани
правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все
стороны и углы равны) и все многогранные углы при
вершинах равны.
Существует пять видов правильных многогранников:
куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

7. Общее положение многоранника

Под изображением многогранников на чертеже будем
понимать изображение ограничивающей его многогранной
поверхности, т.е. изображение совокупности составляющих
ее многогранников.
На этом же чертеже
показано построение
горизонтальной проекции
K1 точки K по заданной ее
фронтальной проекции K2
из условия
принадлежности точки K
грани BB'C'C.
Горизонтальная проекция
точки K построена с
помощью вспомогательной
прямой 23, проведенной
через точку K в плоскости
BB'C'C.

8. Пересечение многогранника плоскостью

Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения
многогранника плоскостью, называется сечением многогранника.
Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней
областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на
несколько многогранников, вырождаться в прямые и точки.
Сечение многогранника плоскостью можно построить двумя
способами:
1. По точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника.
2. По линиям пересечения граней многогранника с плоскостью.
В первом случае задача сводится к определению точек пересечения
прямой с плоскостью. Во втором случае - к определению линий
пересечения плоскостей.
В ряде случаев целесообразно комбинированное применение обоих
способов.

9. Построение сечений многогранников

Сечение проецирующими плоскостями
одна проекция сечения вырождается в отрезок прямой, а вторая
проекция сводится к многократному решению задачи на
принадлежность.
Алгоритм:
Отмечаем точки А'2, B'2, E'2, C'2,
D'2 - точки пересечения плоскости
b2 с ребрами пирамиды.
Проводим линии проекционной
связи из точек А'2, B'2, E'2, C'2,
D'2.
Отмечаем точки А'1, B'1, C'1, D'1,
E'1 - точки пересечения линий
связи с горизонтальными
проекциями ребер S1A1, S1B1,
S1C1, S1D1, S1E1 и соединяем их.
Многоугольник А'1B'1C'1D'1E'1 первая проекция сечения А'B'C'D'E'
пирамиды фронтально
проецирующей плоскостью b.

10. Построение сечений многогранников

сечение плоскостью общего положения
Грани и ребра призмы перпендикулярны П1, а поэтому проецируются
на П1 в стороны и вершины треугольника А1В1С1. Для построения
фронтальной проекции сечения найдем линии пересечения граней
пирамиды с плоскостью DEF.
Алгоритм:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Отмечаем точки 11 и 21: 11 = А1В1∩
Е1D1, 21 = А1В1∩Е1F1.
Проводим линии проекционной
связи через точки 11 и 21 и находим
точки 12 и 22: 12 Е2D2, 22 Е2F2.
Проводим прямую 1222 до
пересечения с проекциями ребер
пирамиды в точках М2 и L2.
Отмечаем точки 31 и 41: 31 = А1С1 ∩
Е1D1, 41 = А1С1 ∩ D1F1.
По линиям связи находим точки 32 и
42: 32 Е2D2, 42 D2F2.
Проводим прямую 3242 до
пересечения с проекцией ребра в
точке N2.
Соединяем точки L2, M2 и N2.

11. Thank You