Метод структурных схем

1.

2.

Сокращения:
МСС – метод структурных схем
ИТ – информационная технология
ТАУ – теория автоматического управления
ДСНФ – дифференцирование сложных и
неявно заданных функций
КПЧС – коэффициенты передачи частных
связей (частные производные)
РКП – результирующий коэффициент
передачи (полная производная)
НОТ – научная организация труда

3.

МСС – безмашинная информационная
технология. Возникла задолго до появления
термина ИТ и современной техники.
Средство расчета систем управления в ТАУ .
Общие с ИТ атрибуты – структуризация,
визуализация и унификация.
Его восприятие, как исключительной
принадлежности ТАУ – анахронизм.
Это – универсальный аппарат для
решения математических,
инженерных и педагогических задач.
Это показано на примере теории доменного
процесса, но не меньшие возможности имеются,
например, в экономике.

4.

Структуризация знаний и унификация подходов в прикладных науках:
фрагменты структурных схем из разных областей знания.
(отрицательные обратные связи)
+
Tд
–
–
K
rd
–
U
+
+
N
+
R
+
V
+
T
+
+
P
m
Движение лодки по
воде
F
V – уровень зарплаты
P – цена товара
Q – объем производства
Рыночное пространство
Q
–
–
+
+
nтр
Режим работы
электронагревателя
N – число оборотов винта
V – скорость движения
F – сила сопротивления
–
V
Доменная плавка
U – напряжение сети
N – развиваемая мощность
R – сопротивление
–
N
Tд – температура дутья
К – удельный расход кокса
rd – степень прямого
восстановления
nхр
T – температура воды
m – масса водорослей
nтр – число травоядных рыб
nхр – Число хищных рыб
Экологическая
система озера

5.

(положительные обратные связи).
–
+
G
–
h
K
+
G
+
Q
+
G – груз
Q – равнодействующая сил
h – глубина погружения
h
t – температура воздуха
T – температура кусков топлива
v – скорость тепловыделения
+
t
+
T
+
–
N
+
H
–
Pф
+
Pнабл
Продольное сжатие
упругого стержня
Равновесие
сжимаемого поплавка
Воспламенение
топлива
v
+
w
G – нагрузка
h – боковой прогиб
K – коэффициент сопротивления
–
г
w – влажность топлива
N – тепловая мощность
H – тяга
Создание тяги в
дымовой трубе
Pф – фактический уровень производства
Pнабл – наблюдаемая обеспеченность товаром
г - коэффициент запаса при покупках
Вспышка
дефицита

6.

Пример: нужно описать зависимости силы тока и
мощности от напряжения для лампы накаливания.
1
Одна прикладная задача – четыре фундаментальных закона:
(1) Закон Ома
U
I
R
(2) Закон электрической мощности
N U I
(3) Закон теплового излучения
N b T
(4) Температурная зависимость
сопротивления
4
R R0 a T
В большинстве случаев с этой задачей неправомерно связывают
только закон Ома, и тогда она кажется совсем простой.
На самом деле она достаточно трудно разрешима
элементарными средствами.

7.

Обычный способ решения.
2
Сократив подстановками число неизвестных до одного,
получаем уравнение пятой степени:
2
U
T 4
b R0 a T
Температуру из него можно определить лишь численно,
например, итерациями.
Подставив ее значение в формулу для сопротивления,
можно вычислить остальные неизвестные.

8.

Исследование с помощью МСС
1) Составим структурную
схему:
U
1
2
N
3
I
4
6
R0
7
R
5
Это − функциональная
структурная схема.
T
3
Видим, что формула (3) не
соответствует направлению
стрелки 4, поэтому
перепишем ее с учетом
характера причинноследственных связей (ПСС) :
1
.
4
N
T
b
(Остальные формулы
соответствуют направлениям
стрелок на схеме).

9.

U
4
1
2
N
3
I
4
6
R0
7
R
5
T
k1 I
T
k4
4 N
k5 a
2)
Определим
коэффициенты передачи
частных связей (КПЧС),
дифференцируя исходные
формулы (индексы –
номера стрелок):
1
k2
R
I
k6
R
k3 U
k7 1
Замечание: при отсутствии теоретических формул можно принимать
эмпирические или предполагаемые значения КПЧС.

10.

5
3) Свернем схему, определив при этом полные
производные, они же − результирующие коэффициенты
передачи (РКП), через КПЧС:
Вид свернутой схемы:
KN
N
k1 k2 k3
dN
KN
dU 1 k3 k4 k5 k6
I
dI k2 k1 k 4 k5 k6
KI
dU 1 k3 k4 k5 k6
U
KI
РКП − полные производные выходов по входам схемы.
Правила свертывания: в числителе − сумма КП прямых путей,
в знаменателе − единица минус КП обратной связи.
Коэффициент передачи каждого пути − произведение КП
всех его последовательных стрелок.

11.

Расчет числовых
значений
Справочные данные:
a 0.0039
t 2700 C
Номинальный режим:
I
N 200
0.909
U 220
R
N 200
6
U
220
242
I 0.909
1
1
k2
0.00413
k1 I 0.909
КПЧС:
R 242
T
2973
k
3.716
T 2700 273 2973
k3 U 220
4
4 N 4 200
I
0.909
k7 1
k
0.00376
k5 a 0.0039
6
R
242
РКП:
k1 k2 k3
dN
0.909 0.00413 220
KN
1.796
dU 1 k3 k4 k5 k6
1.012
dI k2 k1 k4 k5 k6 0.00413 0.909 220 0.0039 0.00376
KI
0.001183
dU 1 k3 k4 k5 k6
1 220 3.716 0.0039 0.00376
Линеаризованная
модель:
N 200 1.796 U 220
I 0.909 0.001183 U 220

12.

Вольтамперные
характеристики (ВАХ)
лампы накаливания
1 - реальная
2 - номинал (242 ом)
3 - холодная (17 ом)
4 – линеаризованная
7
ΔI K I ΔU
Сравнение ВАХ, полученных разными
способами, показывает, что закон Ома
совершенно недостаточен для описания
поведения системы (линии 2 и 3).
Точный расчет (линия 1) чрезмерно
громоздок для повседневного
пользования.
Линеаризованная модель (линия 4) в
рабочем диапазоне дает практическое
совпадение с точным результатом, и
хорошо объясняет его происхождение
(схема).
Погрешность от неполноты учета (2 или 3) намного
превосходит погрешность линеаризации (4).

13.

Чтобы понять технику метода, нужны простые
задачи, легко решаемые и без него – тогда
решение прозрачно, а ответ очевиден.
Для оценки преимуществ, наоборот,
нужны сложные задачи, плохо
решаемые «обычными» способами.
Невозможность одновременно понять
технику метода и оценить его достоинства –
одна из причин достойной сожаления его
недооценки .

14.

15.

Изменение уровня сложности при переходе к МСС
объективно
исходный
субъективно
МСС снижает субъективную трудность решения,
повышая допустимый уровень сложности изучаемого
материала

16.

Введение метода элементарными
средствами для учащихся, не знакомых
с дифференциальным исчислением
Рис.1. Структурная схема и
коэффициенты передачи
.........
n
k2=m
M
m
k1=n
n - число яблок в ящике
m - масса одного яблока
M - масса яблок в ящике

17.

18.

19.

20.

1. У мальчика в двух карманах имеется N орешков, в левом кармане
на d больше, чем в правом. Сколько орешков в каждом кармане?
Задача
Схема с двумя входами:
d
k1
n1
k4
N
k3
n2
КП:
k2
n1= n2 + d;
k1= 1, k2=1,
n2= N – n1;
k3= 1,
k4= –1.
РКП (для выхода n1 от обоих входов):
для d n1: K1=
k1/(1 – k2·k4) = 1/(1+1) = 1/2
для N n1: K2= k3·k2/(1 – k2·k4) = 1/(1+1) = 1/2
Поскольку задача линейная, базовые значения аргументов можно
принимать любыми. Удобнее всего – равными нулю.
n1=K1· (d – 0) + K2· (N – 0) = d/2+N/2 = (N + d)/2;
n2 = N – n1 = N/2 – d/2 = (N – d)/2
.

21.

Задача 2. У мальчика в двух карманах имеется N орешков, в
левом кармане в m раз больше, чем в правом. Сколько орешков в
каждом кармане?
n1
k2
N
k3
k1
n2
n1= n2·m;
n2= N – n1;
k1= 1, k2= –1,
k3= m
K = k1·k3/(1 – k2·k3) = m/(1+m);
ответы:
n1=K·N = m·N/(1+m);
n2=n1/m = N/(1+m).
Здесь потребовался только один вход N: вторая
заданная величина m используется, как коэффициент
передачи от n2 к n1.

22.

23.

Использование МСС «только» для
наведения на мысль (без вычисления
коэффициентов передачи )
Структурные схемы к задаче
о пуле, застрявшей в доске
(два варианта решения).
s
v
_
t
v
a
R
a
v
m
h
R
h1
m
H
F
m
v
Схемы к задаче о падении с
макушки шара
(найти точку отрыва).
Ek
A
Fn
F
b
s
R
h1
Задачу можно решать либо через путь и
ускорение (a), либо через энергию и работу
(b). Схема позволяет еще до решения
сравнить варианты и убедиться в
преимуществах (b).
h
Eк
Eп
v
Схема
для нормальной
составляющей
веса
падающего
шарика
Fцб
m
Схема для центробежной силы; задача решается через
приравнивание сил Fп и Fцб .

24.

Рис. 7.5. Сообщающиеся сосуды с жидкостью и газом под давлением
P1
H1
P2
k6
0
V 1 k1
P1
h
h1
H2
0
V2
k9
P1 k3
h
Vж
x
k4
h1
k7
P2
k12
V2
x
k5
k2
k10
h2
V1
k11
h2
k13
k14
k8

25.

G
k5
G1
k1
h1
G2
G1
k2
k4
h2
G
4
2
5
G
3
k3
h3
k9
G3
k1
G
G
1
k8
h1
k10
G2
k2
k11
h2
k7
k3
h3
k4
k6
h4
k12 k k
13
14 k
15 k16
G3
G4
G5
k5
h5
Семейство
однотипных
задач для
демонстрации
эффективности
метода при
переходе от
простого к
сложному

26.

Формулы для коэффициентов передачи к
схемам предыдущего слайда
Koc = k5 (k6 +k4 (k7 +k3 (k8 +k2 k9)))
dh
K11 1 k1 K51 k5 k 4 k3 k 2
dG1
K 31
K 41
K 12
dh3
K 51 k 5 k 4
dG1
dh 4
K 51 k 5
dG1
dh1
k 10 K52 k 5 k 4 k 3 k 2
dG2
K 53
dh
K 21 2 K51 k5 k 4 k3
dG
1
K 51
dh 5 k 1 k 9
dG1 1 k oc
K 52
dh5 (k 10 k11 k 2 ) k 9 k 11 k 8
dG2
1 k oc
dh5 (k 12 k 13 k 3 ) (k 8 k 2 k 9 ) k 13 k 7
dG3
1 k oc

27.

28.

Сопоставление задач
из разных областей знания

29.

Сравнение двух способов дифференцирования сложной неявной функции
1) y
Функция y аргумента x задана неявно с помощью системы уравнений :
z2
z
y w
x , 2) z e , 3) v , 4) w sin v . Требуется определить ее полную производную:
x
(a) Решение “обычным” способом
(нумерация пунктов – продолжение нумерации исходных уравнений)
y' z x z 1 x z ln x z '
5)
z' e
6)
y w
(из 6)
8)
2 z z' z 2
v'
2
x
x
2
2 z z' z
w' cos v v' cos v
2
x
x
2
9)
2 z z' z
z'
2
y cos v
z
x
x
y'
w
10)
(из 1)
y ' w w' y z y ' w w' y
z'
w' y
y' z
w
7)
z y
y ln x z '
x
(из 3)
z y
z
y cos v 2
x
x
w
z'
1
2 z
y ln x y cos v
z w
x w
k7
(из 7, 9)
z2 y w
z
1 cosv
z y
x
x
w
y ln x
2
x
2 z y
1 z w y ln x cosv
x
2
z y
2 z y
z2 y w
z
1 z w y ln x cos v
y ln x
1 cos v
x
x
x
x
w
2 z2 y
1 z w y ln x cos v
x
2 z2 y
x
z
k2
k3
v
k4
k5
w
1) k1 z x z 1
z y
x
4) k4 cos v
z2
7) k7 2
x
2) k 2 w e w z 5) k5 y z
2 z
6) k 6 y ln x
3) k3
x 3) Выразим РКП через КПЧС
z y
z2
y cos v 2
z y
13)
x
x w
y'
y ln x
1
2 z
x
y ln x y cos v
z w
x w
1 z w y ln x cosv
y
2) определим коэффициенты передачи частных связей:
y w
(из 11)
z y
2 z 2 y y 2 z 3 ln x cosv
1 cosv
x
x
x2
k1
(из 4, 8)
2
12)
k6
x
z'
2 z z ' z 2
2
y cos v
x z y
x
z
y ln x z ' (из 5, 10)
w
x
11)
dy
?
dx
(b) Решение с помощью МСС
1) Составим
структурную схему
(из 2)
y'
(из 5, 12)
dy
k 1 k3 k4 k5 k7 k4 k5 k6
Ky 1
dx
1 k2 k6 k3 k4 k5
и подставим значения этих коэффициентов:
z3 y2
y
2 y
z 1 2 z cosv 2 cosv ln x
dy
x
x
x
dx
y
1 w z y ln x 2 z 2 cosv
x

30.

МСС в процедуре дифференцирования
1. Традиционная организация ДСНФ нарушает основной принцип НОТ:
отделять во времени и (или) пространстве разнородные и
объединять однородные операции. Здесь разнородны:
(1) собственно дифференцирование,
(2) сопутствующие алгебраические преобразования.
Именно их выполнение вперемешку делает процедуру утомительной и
чреватой ошибками.
2. МСС, в согласии с НОТ, разводит указанные компоненты, резко упрощая
обе. После составления схемы главная часть умственной работы по
ДСНФ уже выполнена. Ее изображение заменяет написание уравнений,
а простые правила свертывания реализуют решение.
Процедура сводится к элементарным действиям без
громоздких, трудно проверяемых преобразований.
В постановочной части прикладных задач
важны другие свойства метода: дисциплинирование мышления, структуризация знания.

31.

Модель экономического равновесия по Кейнсу
Z - количество денег в обращении
V – в т.ч. операционный спрос
Y – в т.ч. Спекулятивный спрос
Q – объем производства
6
w
8
7
Z
1
2
V
23
0
S
P
24
L
16
0
14
0
RN
15
0
12
0
Q'
4
r
5
Y
r - банковский процент
- рабочее время
RF – занятость в смене
RF
11
0
10
0
W - потребление
13
0
s
3
Q
9
S – накопление
22
0
17
0
a
a – максимальный уровень
производства при данной занятости
18
0
20
0
b
RN – общая занятость
19
0
21
0
- обратная величина рабочего дня
с поправками
– технический уровень
производства
b – он же, отнесенный к
Q’ – производная производства по
занятости
P – уровень цен
s – номинальная зарплата
25
Lotn
L – реальная зарплата
31
Lotn – ее относительное значение

32.

Разложение производной на аддитивные
составляющие

33.

межпредметные
связи в обучении
Возможности МСС в
науке и образовании
Унификация
подходов
решение
комплексных
задач
взаимодействие
наук и научных
школ
Повышение
производительности
умственного труда
Рационализация
расчетов
линеаризация
Повышение
порога
допустимой
сложности
Дисциплина
мышления
МСС
Структурная
схема
Простота
варьирования
степени
детализации
наглядность
Постоянное
нахождение
перед глазами
крупных блоков
информации
Широкий
профиль и
кругозор
Полнота
описания не
в ущерб
обозримости
мнемоничность
Формирование
системного
мышления
Повышение
качества
подготовки
специалистов
Увеличение
допустимой
скорости
передачи
информации
Решение проблем разграничения
и преемственности при
многоступенчатом образовании
Экономия
времени

34.

Математический аспект:
• Рационализация процедуры
ДСНФ
• Решение систем нелинейных
уравнений методом
линеаризации

35.

Научно-инженерный аспект
• Полнота описания не в ущерб обозримости
• Контроль правильности теоретических
построений
• Комплексные задачи и системный анализ
• Взаимопонимание наук и научных школ
• Повышение культуры дискуссий

36.

Педагогический аспект (в прикладных науках)
• Повышение допустимой сложности и скорости
передачи информации, экономия времени при
повышении качества усвоения
• Промежуточный этап, облегчающий усвоение
понятия передаточных функций
• Технологический расчет, как системообразующий
компонент учебного курса
• Формирование системного мышления