Относительная частота наступления события

1.

Если вероятность случайного
события очень мала, т.е. близка к
нулю, то она называется уровнем
значимости и обозначается α.
Относительная частота
наступления события
Кроме классической вероятности
применяется статистическая вероятность, которая называется относительной частотой наступления
события.

2.

Пусть в n испытаниях событие
A наступило m раз. Тогда относительная частота наступления события (частость) равна
m
w( A)
n
В отличие от классической вероятности частость вычисляется после
проведения испытаний по их результатам и
0 ≤ w(A) ≤ 1.
Пример. Было проведено обследование 50 деталей, изготовленных бригадой. Из них 2 детали оказались бракованными. Относительная частота бракованных деталей в данной бригаде

3.

m 2
w( A)
0.04.
n 50
Действия над событиями
Определение 13. Суммой двух
событий A и B называется событие
C = A + B,
которое состоит в наступлении либо
A, либо B, либо и A, и B одновременно. Например,
A= студент проспит ,
B= студент застрянет в «пробке» ,
C= студент опоздает на лекцию ,
тогда C = A + B.
Определение 14. Произведением
двух событий A и B называется

4.

событие C=A•B, которое состоит в
совместном наступлении и A, и B.
Например,
A= вещь нравится ,
B= покупатель платежеспособен ,
C= вещь будет куплена , тогда
C = A•B.
Аналогично выполняются сложение
и умножение n событий.
Пример. B1= математика – “5” ,
B2= микроэкономика - “5” ,
B3= политология - “5” ,
A = сессия – на “5” .
Тогда
A = B1•B2•B3.

5.

Сумме событий соответствует логический союз “ или “, а произведению событий - союз “ и “.
Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Теорема. Вероятность появления
одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B) = P(A или B) = P(A) + P(B)
Пример. Для данного студента
вероятность пообедать в кафе равна
0.3, а в студенческой столовой 0.5.
Какова вероятность того, что
студенту удастся пообедать?

6.

Дано:
P(A)=0.3 A= обед в кафе ,
P(B)=0.5 B= обед в столовой ,
P(C)= ?
C= удастся пообедать
.
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8
Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно
несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий
P(B1+B2+…+Bn)=P(B1)+P(B2)+…+P(Bn)
Следствие 2. Сумма вероятностей
событий, образующих полную группу, равна 1.
P(B1)+P(B2)+…+P(Bn)=1.

7.

Следствие 3. Сумма вероятностей
противоположных событий равна 1.
P(A + A) = P(A) + P(A) = 1.
Пусть P(A) = p, P(A) =q, тогда
p + q =1
или
q = 1 – p.
Пример: Пусть А = {попадание}
Тогда А = {промах}.
Р(А) = p = 0.8
P(A) = q. q = 1- p = 0.2.
Зависимые и независимые события
Определение 1. Два события
называются зависимыми, если
вероятность появления одного из
событий зависит от появления или не
появления другого события.

8.

Определение 2. Вероятность появления события А, вычисленная в
предположении, что событие B
произошло, называется условной
вероятностью события А и обозначается Р(А | В).
Определение 3. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не
зависит от появления или не появления другого.
Если события А и В независимы, то
Р(А | В) = Р(А).
Пример. В ящике 12 черных и шесть
белых шаров. Последовательно
извлекаются два шара. Первый шар –
черный. Найти вероятность того, что
вторым будет извлечен белый шар.

9.

Дано:
Решение
М1= 12.
а) схема возвращенного
М2= 6.
шара.
N = 18
А = {черный шар}
P(B | A) = ? В = {белый шар}
P(A) = 12/18 = 2/3
События независимы.
P(B | A) = P(B) = 6/18 = 1/3.
б) схема не возвращенного шара.
P(B | A) = 6/17.
Теорема умножения вероятностей
зависимых событий
Теорема. Вероятность совместного
наступления двух зависимых событий равна произведению вероят-

10.

ности одного события на условную
вероятность другого:
P(AB)=P(A)P(B | A)=P(B)P(A | B).
Дано:
А={1-я карта – червы},
P(A)=9/36, B={2-я карта – червы},
P(B|A)=8/35 P(AB) = P(A)P(B | A) =
P(AB)=?
=9/36•8/35= 2/35.
Теорема умножения вероятностей
трех зависимых событий A, B и C:
P(ABC)= P(A)P(B | A)P(C | AB).
Теорема умножения вероятностей
независимых событий

11.

Пусть события A и B совместны и
независимы.
Теорема. Вероятность совместного
наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B).
Пример. Для студентки Умновой
вероятность сдать на “5” экзамен по
математике равна 0.9, а по микроэкономике – 0.8. Найти вероятность
того, что оба экзамена Умнова сдаст
на “5”.
Дано:
A= {математика - “5”},
P(A)=0.9 B={микроэкономика –“5”}
P(B)=0.8 P(AB) = P(A)P(B) =
P(AB)=?
=0.9•08 = 0.72.

12.

Теорема умножения вероятностей для
n независимых событий:
P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)•…•P(An)
Теорема сложения вероятностей
для совместных событий
Теорема. Вероятность появления
хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей
этих событий минус вероятность
их совместного появления:
P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB),
причем, если A и B– независимы, то
P(AB) = P(A)P(B),
а если зависимы, то
P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).

13.

Задача. Вероятность испачкать
платье равна 0.4, а вероятность
порвать платье равна 0.3. Найти
вероятность того, что платье нельзя
носить.
Дано:
A ={испачкать платье},
P(A)=0.4
B ={порвать платье},
P(B)=0.3 События A и B совместP(A+B)=? ны и независимы.
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) =
=0.4 + 0.3 – 0.4•0.3 = 0.58.
Вероятность появления хотя
бы одного события
Рассмотрим n независимых событий A1, A2,…, An, вероятности появления которых
P(Ai) = pi, (i = 1,n) .

14.

Тогда вероятности противоположных событий равны
P(Ai) = qi, где pi + qi = 1.
Событие
B ={хотя бы одно из Ai наступит},
Тогда
B ={ни одно из Ai не произойдет}.
Так как
B = A1•A2•…•An, то
P(B)=P(A1)P(A2)•…•P(An) =
= q1q2•…•qn
P(B) = 1 – P(B) = 1 - q1q2•…•qn.
Следствие. Если события Ai равновозможны, то q1= q2=…= qn= q.

15.

Отсюда
P(B) = 1 – qn.
Задача. Для данного стрелка вероятность попасть в мишень при первой
попытке равна 0.7, при второй попытке
– 0.8, при третьей - 0.6, а всего даются
три попытки. Определить вероятность
того, что данный стрелок хотя бы один
раз попадет в мишень.
Дано:
p1=0.7, q1=0.3 B={хотя бы один раз}
p2=0.8, q2=0.2 P(B) = 1 – q1q2q3 =
p3=0.6, q3=0.4 =1 – 0.3•0.2•0.4=0.976
P(B) = ?

16.

Формула полной вероятности
Рассмотрим n элементарных событий B1,B2,…,Bn, несовместных и
единственно возможных, т. е. Образующих полную группу событий.
n
Тогда
Σ P(Bi) = 1.
i=1
Событие A может появиться при
наступлении одного из событий Bi.
Тогда события Bi называются
гипотезами. Известны вероятности
гипотез P(Bi) и условные вероятности P(A/Bi). Требуется найти вероятность события A.
Теорема. Вероятность события A,
которое может наступить при условии появления одного из событий Bi,

17.

образующих полную группу, равна
сумме произведений вероятностей
этих событий на соответствующую
условную вероятность события A:
n
P(A) = Σ P(Bi)P(A | Bi).
i=1
(*)
Задача. Одну и ту же операцию выполняют рабочие 5-го, 4-го и 3-го
разрядов. В бригаде из 10 человек
двое имеют 5-й разряд, пятеро – 4-й и
трое – 3-й разряд. Рабочие 5–го
разряда допускают 1% брака, 4-го –
2%, 3–го разряда – 4%. Определить
вероятность того, что изготовленная
этой бригадой деталь окажется
годной.

18.

Дано:
N=10,
M1=2,
M2=5, M3= 3,
P(A|B1)=0.99,
P(A|B2)=0.98,
P(A|B3)=0.96,
P(A) = ?
B1={5-й разряд},
B2={4-й разряд},
B3={3-й разряд},
A={деталь годная},
P(B1)=2/10= 0.2,
P(B2)=5/10= 0.5,
P(B3)=3/10= 0.3,
n
Σ
P(B
)
=
1.
i
i=1
P(A)=P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A|B2) +
+ P(B3)P(A|B3)=0.2•0.99 + 0.5•0.98 +
+ 0.3•0.96 = 0.976.
Формула (*) называется формулой
полной вероятности, она применяется для вычисления P(A) до
наступления события A.

19. Формула Байеса

Пусть событие A может наступить
при появлении одного из событий
(гипотез) Bi, образующих полную
группу (i = 1,n). Предположим, что в
результате испытания событие A
наступило. События A и Bi – зависимы, поэтому, наступив, событие A
может изменить вероятности
гипотез Bi. Условные вероятности
гипотез P(Bi/A) определяются
формулой Байеса:
P Bi A
P B i P A B i
n
P B i P A B i
i 1
Формула Байеса применяется после
наступления события A.

20.

Задача. Вернемся к условиям предыдущей задачи. Пусть наудачу
взятая деталь оказалась годной (т.е.
событие A наступило). Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена рабочим 3-го разряда.
P B3 P A B3
P B3 A
P( A)
=(0.3•0.96)/0.976 = 0.295.

21. Задача. В компании есть 10% управленческого персонала, 30% технического персонала и 60% других категорий. В конкретный год

вероятность продвижения по службе
в этих категориях составляют 0.6,
0.2 и 0.05 соответственно. Учитывая,
что какого–то сотрудника точно
повысили, найдите вероятность
того, что повышен был менеджер
(сотрудник
управляющего
персонала).