Задача Коши и краевая задача для ДУ n-го порядка

1.

Условия
( n 1)
( n 1)
x x0 , y y0 , y y0 , ... y
y0
выделяют частное решение уравнения
y
( n)
( n 1)
f ( x, y, y ,..., y
)

2.

Т.е. по заданным значениям искомой
( n 1)
функции y 0 и ее производным y0 ,..., y0
в точке х0 из множества интегральных
кривых, проходящих через эту точку,
выделяется только одна кривая.
Т.об, по заданным условиям находятся
значения постоянных в равенстве
y ( x, C1 , C2 ,..., Cn )
которые и определяют вид частного
решения уравнения n-го порядка:
y ( x, C , C ,..., C )
0
1
0
2
0
n

3.

Задача нахождения частного
решения ДУ n-го порядка, когда все
n условий заданы в одной точке x=x0
называется задачей Коши для
этого уравнения.

4.

Бывают
задачи,
когда
требуется
определить
частное решение, если
часть условий задана в одной точке, а
остальные – в другой точке.
Например:
( r 1)
( r 1)
x a, y y1 , y y1 , ... y
y0
x b, y
(r )
y , ... y
(r )
2
( n 1)
y
где
y1 , y1 , ..., y2( n 1) - заданные числа.
( n 1)
2

5.

Такая задача называется краевой задачей
для ДУ n-го порядка.
Бывают случаи, когда вместо значений
этих функции и ее производных в
точках
x a, x b
Заданы
значения
их
линейных
комбинаций.
Такие условия называются смешанными,
а задача определения частного решения
ДУ n-го порядка называется смешанной
краевой задачей.