Невозможно отобразить презентацию
mathematicsSimilar presentations:
Метод Лагранжа-Ритца в задачах устойчивости и свободных колебаний. Лекция 12
Южно-Уральский государственный университет Кафедра строительной механики Челябинск, 2010 Лекция 12.
Метод Лагранжа-Ритца в задачах устойчивости и свободных колебаний Дегтярева Н.В.12 Метод основан на исследовании полной потенциальной энергии системы (ППЭС), представляющей собой работу, совершаемую внешними и внутренними силами при переходе из деформированного состояния в начальное (недеформированное): Э =W +U =W–∆j гдеW– потенциальная энергия деформации;U– потенциал внешних сил.
Для простейших изгибаемых систем(() ()())xyxqxEJxMЭld-2=02∫ Учитывая выражениеM(x ) = –y(x)″EJ(x) , получаемUW При этом внутренние силы совершают действительную положительную работу, а внешние – возможную отрицательную работу() ()()()∑-d∫-d2=02jl'xyFxyxqxyEJЭ∫(1)3 Вариационная постановка задачи Построение метода основано на вариационном принципе возможных перемещений Лагранжа (1788 г.).
В состоянии равновесия системы сумма работ всех внешних и внутренних сил на всяком бесконечно малом возможном перемещении = 0.δ Э = 0 Э→ min(2) ППЭ можно рассматривать как функцию перемещений (см.
формулу (1)).
Приближенное решение задачи ищется в виде ряда ()()()()()xa...xaxaxaxyniϕ+=21=∑(3) гдеϕi(x) – заранее заданные (координатные) функции;ai– неизвестные коэффициенты.
Требования к выбору координатных функцийϕi(x) 1.
Должны удовлетворять кинематическим граничным условиям задачи;
2.
Должны быть линейно независимыми;
3.
Должны совпадать по форме с формой изгиба стержня при потере устойчивости или колебаниях (в качестве таких функций используют упругие линии от статического действия сил или фундаментальные балочные функции).4()xyЭ= Так как , то Э = Э(ak) – потенциальная энергия системы является функцией искомых коэффициентов.
Поэтому условие минимума (2) эквивалентно условию(4)0=dkaЭ Учитывая, что потенциальная энергияЭ есть квадратичная функция коэффициентовak , то после выполнения условий минимума (4) получим систему линейных алгебраических уравненийn -го порядка(5)c11a1 +c12a2 + … +c1nan +c1F = 0c21a1 +c22a2 + … +c2nan +c2F = 0 ……….………………………………….…cn1a1 +cn2a2 + … +cnnan +cnF = 0 где коэффициентыcki,ckF определяются по готовым формулам в зависимости от вида задачи.
Из решения системы уравнений (5) определяются искомые коэффициентыa1,a2 , … ,an.
После их подстановки в ряд (3) строится приближенное решение задачи.
В задачах устойчивости и свободных колебаний упругих стержней внешняя поперечная нагрузка отсутствует (q(x ) = 0,F = 0 ) и свободные члены системы уравнений (5) равны нулю:ckF = 0.5(6)c11a1 +c12a2 + … +c1nan = 0c21a1 +c22a2 + … +c2nan = 0 ……….………………………………….…cn1a1 +cn2a2 + … +cnnan = 0 Нетривиальное решение (ai≠ 0 ) приводит к равенству нулю определителя системы()nnnc...c...c...c...cCdet212222111211=(7) Раскрывая определитель, получим полиномn -й степени.
Из решения этого уравнения находим характеристики решения: либо критические силы , если это уравнение устойчивости, либо частоты собственных колебаний , если это частотное уравнение.6 Решение задачи по методу Лагранжа-Ритца в одном приближении Приn = 1 все выше приведенные формулы примут следующий вид.
Приближенное решение (3): ()()xaxyϕ= (3*) Условиеmin потенциальной энергии (4):0=daЭ (4*) Система (5) преобразуется в одно уравнение:c11a +c1F = 0.
(5*) В задачах устойчивости и свободных колебанийa ≠ 0:c11a = 0.
(6*)c11 = 0.
(7*) Потенциальная энергия стержня в задаче продольного изгиба и задачах свободных и вынужденных колебаний Задача устойчивостиF∆dxdxdx∆xα Допущения: вертикальное перемещение∆ происходит только за счет деформаций изгиба.
Поэтому∆x = dx – dx cosα = dx (1 – cosα) Гипотеза малости деформаций:α≈ tgα≈y′(x),cosl2-1=sinα(),cos242sin2=-1α≈()[]xyxcos'xd21=d2=d-1=2α∆ Интегрируя по длине стержня:()[]∫l'lxy020d21=∆(()∆FxEJxMЭl∫02-2=(*) Отсюда (*):()[]∫l'lxyFxEJxMЭ0202d2-2d=()∫l'lxyFxEJxyFЭ0202d2-2d= приM(x) =Fy(x)(8) приM(x ) ≠Fy(x) ()()()∫l'l'xyFxEJxyxEJЭ0202d2-2d= (8*)8 Задача колебаний стержней.
Свободные колебания системы.yj(x)xyxdxdm =m(x)dxdRdJ = –(x)dmyj(x)yxdJ =cyj(x)dxcdx Кроме того, инерционные силы собственных колебаний поj -й формеyj(x) условно заменим упругим основанием с отрицательной характеристикой:c = –ωj2m(x).
Пусть колебания происходят поj -й главной форме.
Рассмотрим момент времени, когда кинетическая энергия движения= 0 , т.
е.
при амплитудных смещениях бруса (потенциальная энергия достигаетmax значения).
Введенная модель упругого основания позволяет динамическую задачу свести к статической.
При этом так как силы инерции совершают действительную работу, то выражение энергии содержит коэффициент0,5.
Ускорение элементарной массы: ()()xyxyj2=ω Элементарная сила инерции: ()()()xyxmxyJjd=d-=d2ω Потенциальная энергия системы (1)() ()()()∑ ∫∫jll'xyFxyxqxyEJЭ-d-d2=002 Энергия упругого изгиба стержня поj-й главной форме Энергия сил инерции распределенныхm(x ) и сосредоточенныхMl масс – энергия условного упругого основания с отрицательной характеристикой() ()()()∑ ∫∫sljljllj'jxyMxyxmxyEJЭ1=2002-d2-d2=ω(9) Вынужденные колебани9 Потенциальная энергия строится на основе (9) путем заменыωj2 наθ2 (θ– частота вибрационной нагрузки).
Кроме того, в (9) добавляется потенциал внешних сил Метод Лагранжа-Ритца в задачах устойчивости Здесьq(x),Fj – амплитудные значения вибрационных нагрузок.() ()()() ()()()∑∫∑ ∫∫mjlslll'xyFxyxqxyMxyxmxyxEJЭ1=01=2002-d-2-d2-d2=θ (10) Сформируем функционалы энергии (8), (8*), подставляя в них ряд (3):()∫l'lxyFxEJxyFЭ0202d2-2d= приM(x) =Fy(x)(8) приM(x ) ≠Fy(x) ()()()∫l'l'xyFxEJxyxEJЭ0202d2-2d= (8*) Разрешающие уравнения метода Лагранжа-Ритца→ из условияmin (4).
Техника получения уравнений – на примере энергии (8*) (т.е.
приM(x ) ≠F y(x)):0=dkaЭ(4) ()()[]()[]() ()()[ ()()()]0=d-∑=d2-d∑∫21=d1=01=0kini'k'i'kl'ini'k'il'k'ilkcaxFxEJaxaFxaxEJaЭ∑∫∑∫ϕ10 Здесь коэффициентыcki системы имеют вид: ()()[ ()()()]xFxEJc'k'i'kl'ikid-=0ϕ∫ Разрешающие уравнения и коэффициентыcki для функционала (8) (приM(x) =F y(x)):()[] ()()[]()[() ()()()()]0=d-=d2-d1=d1=01=02kini'k'iklini'k'ilkilkcaxEJFaxaFxaxEJFaЭ∑∫∑∫∑∫ϕ Раскрывая определитель (7): det(C) =0 при сформированных коэффициентахcki, получим уравнение устойчивости, представляющее алгебраический полиномn-й степени относительно силыF:b0Fn +b1Fn-1 + … +bn-1 F +bn = 0.
Решение задачи устойчивости в первом приближении (n = 1): Согласно (7*) потребуем, чтобы c11 = 0.
приM(x ) ≠F y(x):[ ()()()]0=d-=21021xFxEJc'l'kiϕ∫[() ()()()]0=d-=21021xEJFc'lkiϕ∫ приM(x) =F y(x): ()()()∫d0202l'l' крxEJFϕ∫M(x ) ≠F y(x):()∫l' крxEJxF0202d1dϕM(x) =F y(x):11 Метод Лагранжа-Ритца в задачах свободных колебаний Разрешающие уравнения метода Лагранжа-Ритца→ из условия (4).0=dkaЭ(4) ()()[] ()()[]()[]()[ ()()()()() ()()]0=-d-d=-d-d=d1=20202020kinilkliljkilj'k'ililkliljkilj'k'ilkcaxMxmxEJaxaMxamxaxEJaЭ∑∫∑∫∑∫ϕωϕωϕωϕωϕ ()()()()() ()()lkliljkilj'k'ilkixMxmxEJcϕωϕωϕ∑∫2020-d-d= Решение задачи свободных колебаний в первом приближении (n = 1)0=111ca Следовательнос11 = 0 ()()[]()l'ljxMxmxEJ212102102+d=ϕω∑∫() ()()()∑ ∫∫sljljllj'jxyMxyxmxyEJЭ1=2002-d2-d2=ω(9)12() ()()() ()()()∑∫∑ ∫∫mjlslll'xyFxyxqxyMxyxmxyxEJЭ1=01=2002-d-2-d2-d2=θ (10) Метод Лагранжа-Ритца в задачах вынужденных колебаний Составим уравнение минимума потенциальной энергии (4).0=dkaЭ(4) ()()[] ()()[]()[]() ()()()0=-d-d-d=d1=02020∑∫∑∫∑∫mjkjlklklilkil'k'ilkxFxqxaMxamxaxEJaЭϕθϕθϕ ()()()()() ()()()∑∫∑∫mjkjlkkPlklilkil'k'ilkixFxqсxMxmxEJс1=02020-d-=;-d-d=ϕθϕθϕ13 Решение задачи свободных колебаний в первом приближении (n = 1)0=+1111Pca ()()[]() ()()()∑∫∑∫mjlPl'lxFxqсxMxmxEJс1=1012121021011-d-=;-d-d=ϕθϕθϕ Вычисляя коэффициентa1 =c1F /c 11 , строим приближенное решение
Метод Лагранжа-Ритца в задачах устойчивости и свободных колебаний Дегтярева Н.В.12 Метод основан на исследовании полной потенциальной энергии системы (ППЭС), представляющей собой работу, совершаемую внешними и внутренними силами при переходе из деформированного состояния в начальное (недеформированное): Э =W +U =W–∆j гдеW– потенциальная энергия деформации;U– потенциал внешних сил.
Для простейших изгибаемых систем(() ()())xyxqxEJxMЭld-2=02∫ Учитывая выражениеM(x ) = –y(x)″EJ(x) , получаемUW При этом внутренние силы совершают действительную положительную работу, а внешние – возможную отрицательную работу() ()()()∑-d∫-d2=02jl'xyFxyxqxyEJЭ∫(1)3 Вариационная постановка задачи Построение метода основано на вариационном принципе возможных перемещений Лагранжа (1788 г.).
В состоянии равновесия системы сумма работ всех внешних и внутренних сил на всяком бесконечно малом возможном перемещении = 0.δ Э = 0 Э→ min(2) ППЭ можно рассматривать как функцию перемещений (см.
формулу (1)).
Приближенное решение задачи ищется в виде ряда ()()()()()xa...xaxaxaxyniϕ+=21=∑(3) гдеϕi(x) – заранее заданные (координатные) функции;ai– неизвестные коэффициенты.
Требования к выбору координатных функцийϕi(x) 1.
Должны удовлетворять кинематическим граничным условиям задачи;
2.
Должны быть линейно независимыми;
3.
Должны совпадать по форме с формой изгиба стержня при потере устойчивости или колебаниях (в качестве таких функций используют упругие линии от статического действия сил или фундаментальные балочные функции).4()xyЭ= Так как , то Э = Э(ak) – потенциальная энергия системы является функцией искомых коэффициентов.
Поэтому условие минимума (2) эквивалентно условию(4)0=dkaЭ Учитывая, что потенциальная энергияЭ есть квадратичная функция коэффициентовak , то после выполнения условий минимума (4) получим систему линейных алгебраических уравненийn -го порядка(5)c11a1 +c12a2 + … +c1nan +c1F = 0c21a1 +c22a2 + … +c2nan +c2F = 0 ……….………………………………….…cn1a1 +cn2a2 + … +cnnan +cnF = 0 где коэффициентыcki,ckF определяются по готовым формулам в зависимости от вида задачи.
Из решения системы уравнений (5) определяются искомые коэффициентыa1,a2 , … ,an.
После их подстановки в ряд (3) строится приближенное решение задачи.
В задачах устойчивости и свободных колебаний упругих стержней внешняя поперечная нагрузка отсутствует (q(x ) = 0,F = 0 ) и свободные члены системы уравнений (5) равны нулю:ckF = 0.5(6)c11a1 +c12a2 + … +c1nan = 0c21a1 +c22a2 + … +c2nan = 0 ……….………………………………….…cn1a1 +cn2a2 + … +cnnan = 0 Нетривиальное решение (ai≠ 0 ) приводит к равенству нулю определителя системы()nnnc...c...c...c...cCdet212222111211=(7) Раскрывая определитель, получим полиномn -й степени.
Из решения этого уравнения находим характеристики решения: либо критические силы , если это уравнение устойчивости, либо частоты собственных колебаний , если это частотное уравнение.6 Решение задачи по методу Лагранжа-Ритца в одном приближении Приn = 1 все выше приведенные формулы примут следующий вид.
Приближенное решение (3): ()()xaxyϕ= (3*) Условиеmin потенциальной энергии (4):0=daЭ (4*) Система (5) преобразуется в одно уравнение:c11a +c1F = 0.
(5*) В задачах устойчивости и свободных колебанийa ≠ 0:c11a = 0.
(6*)c11 = 0.
(7*) Потенциальная энергия стержня в задаче продольного изгиба и задачах свободных и вынужденных колебаний Задача устойчивостиF∆dxdxdx∆xα Допущения: вертикальное перемещение∆ происходит только за счет деформаций изгиба.
Поэтому∆x = dx – dx cosα = dx (1 – cosα) Гипотеза малости деформаций:α≈ tgα≈y′(x),cosl2-1=sinα(),cos242sin2=-1α≈()[]xyxcos'xd21=d2=d-1=2α∆ Интегрируя по длине стержня:()[]∫l'lxy020d21=∆(()∆FxEJxMЭl∫02-2=(*) Отсюда (*):()[]∫l'lxyFxEJxMЭ0202d2-2d=()∫l'lxyFxEJxyFЭ0202d2-2d= приM(x) =Fy(x)(8) приM(x ) ≠Fy(x) ()()()∫l'l'xyFxEJxyxEJЭ0202d2-2d= (8*)8 Задача колебаний стержней.
Свободные колебания системы.yj(x)xyxdxdm =m(x)dxdRdJ = –(x)dmyj(x)yxdJ =cyj(x)dxcdx Кроме того, инерционные силы собственных колебаний поj -й формеyj(x) условно заменим упругим основанием с отрицательной характеристикой:c = –ωj2m(x).
Пусть колебания происходят поj -й главной форме.
Рассмотрим момент времени, когда кинетическая энергия движения= 0 , т.
е.
при амплитудных смещениях бруса (потенциальная энергия достигаетmax значения).
Введенная модель упругого основания позволяет динамическую задачу свести к статической.
При этом так как силы инерции совершают действительную работу, то выражение энергии содержит коэффициент0,5.
Ускорение элементарной массы: ()()xyxyj2=ω Элементарная сила инерции: ()()()xyxmxyJjd=d-=d2ω Потенциальная энергия системы (1)() ()()()∑ ∫∫jll'xyFxyxqxyEJЭ-d-d2=002 Энергия упругого изгиба стержня поj-й главной форме Энергия сил инерции распределенныхm(x ) и сосредоточенныхMl масс – энергия условного упругого основания с отрицательной характеристикой() ()()()∑ ∫∫sljljllj'jxyMxyxmxyEJЭ1=2002-d2-d2=ω(9) Вынужденные колебани9 Потенциальная энергия строится на основе (9) путем заменыωj2 наθ2 (θ– частота вибрационной нагрузки).
Кроме того, в (9) добавляется потенциал внешних сил Метод Лагранжа-Ритца в задачах устойчивости Здесьq(x),Fj – амплитудные значения вибрационных нагрузок.() ()()() ()()()∑∫∑ ∫∫mjlslll'xyFxyxqxyMxyxmxyxEJЭ1=01=2002-d-2-d2-d2=θ (10) Сформируем функционалы энергии (8), (8*), подставляя в них ряд (3):()∫l'lxyFxEJxyFЭ0202d2-2d= приM(x) =Fy(x)(8) приM(x ) ≠Fy(x) ()()()∫l'l'xyFxEJxyxEJЭ0202d2-2d= (8*) Разрешающие уравнения метода Лагранжа-Ритца→ из условияmin (4).
Техника получения уравнений – на примере энергии (8*) (т.е.
приM(x ) ≠F y(x)):0=dkaЭ(4) ()()[]()[]() ()()[ ()()()]0=d-∑=d2-d∑∫21=d1=01=0kini'k'i'kl'ini'k'il'k'ilkcaxFxEJaxaFxaxEJaЭ∑∫∑∫ϕ10 Здесь коэффициентыcki системы имеют вид: ()()[ ()()()]xFxEJc'k'i'kl'ikid-=0ϕ∫ Разрешающие уравнения и коэффициентыcki для функционала (8) (приM(x) =F y(x)):()[] ()()[]()[() ()()()()]0=d-=d2-d1=d1=01=02kini'k'iklini'k'ilkilkcaxEJFaxaFxaxEJFaЭ∑∫∑∫∑∫ϕ Раскрывая определитель (7): det(C) =0 при сформированных коэффициентахcki, получим уравнение устойчивости, представляющее алгебраический полиномn-й степени относительно силыF:b0Fn +b1Fn-1 + … +bn-1 F +bn = 0.
Решение задачи устойчивости в первом приближении (n = 1): Согласно (7*) потребуем, чтобы c11 = 0.
приM(x ) ≠F y(x):[ ()()()]0=d-=21021xFxEJc'l'kiϕ∫[() ()()()]0=d-=21021xEJFc'lkiϕ∫ приM(x) =F y(x): ()()()∫d0202l'l' крxEJFϕ∫M(x ) ≠F y(x):()∫l' крxEJxF0202d1dϕM(x) =F y(x):11 Метод Лагранжа-Ритца в задачах свободных колебаний Разрешающие уравнения метода Лагранжа-Ритца→ из условия (4).0=dkaЭ(4) ()()[] ()()[]()[]()[ ()()()()() ()()]0=-d-d=-d-d=d1=20202020kinilkliljkilj'k'ililkliljkilj'k'ilkcaxMxmxEJaxaMxamxaxEJaЭ∑∫∑∫∑∫ϕωϕωϕωϕωϕ ()()()()() ()()lkliljkilj'k'ilkixMxmxEJcϕωϕωϕ∑∫2020-d-d= Решение задачи свободных колебаний в первом приближении (n = 1)0=111ca Следовательнос11 = 0 ()()[]()l'ljxMxmxEJ212102102+d=ϕω∑∫() ()()()∑ ∫∫sljljllj'jxyMxyxmxyEJЭ1=2002-d2-d2=ω(9)12() ()()() ()()()∑∫∑ ∫∫mjlslll'xyFxyxqxyMxyxmxyxEJЭ1=01=2002-d-2-d2-d2=θ (10) Метод Лагранжа-Ритца в задачах вынужденных колебаний Составим уравнение минимума потенциальной энергии (4).0=dkaЭ(4) ()()[] ()()[]()[]() ()()()0=-d-d-d=d1=02020∑∫∑∫∑∫mjkjlklklilkil'k'ilkxFxqxaMxamxaxEJaЭϕθϕθϕ ()()()()() ()()()∑∫∑∫mjkjlkkPlklilkil'k'ilkixFxqсxMxmxEJс1=02020-d-=;-d-d=ϕθϕθϕ13 Решение задачи свободных колебаний в первом приближении (n = 1)0=+1111Pca ()()[]() ()()()∑∫∑∫mjlPl'lxFxqсxMxmxEJс1=1012121021011-d-=;-d-d=ϕθϕθϕ Вычисляя коэффициентa1 =c1F /c 11 , строим приближенное решение