Практикум_11_формулы_12.11.2026

1. Практикум №11 Вычислительная математика

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Практикум №11
Вычислительная математика
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНК, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
12.11.2026

2. Содержание

• Большие и малые квадратурные формулы
• Простейшие формулы и их погрешность
• Формулы Ньютона-Котеса
• Сплайн-квадратуры
• Формулы Гаусса
• Идея адаптивных формул
• Пример
• Правило Рунге. Оценка точности.

3. Большие и малые квадратурные формулы

b
I = f (x )dx
a
n
hi = xi − xi −1
a = x0 x1 ... xn = b
b
n
xi
n
a
i =1 x i −1
i =1
I = f (x )dx = f (x )dx = I i
xi
I i = f ( x )dx
xi −1
I i I~i
n
I I~ = I~i
i =1

4. Простейшие формулы. Геометрический подход.

I~i ( л.пр.) = hi f i−1 ,
f i−1 = f (xi−1 )

5. Простейшие формулы. Геометрический подход.

I~i (п.пр.) = hi f i ,
f i = f (xi )

6. Простейшие формулы. Геометрический подход.

f i −1 + f i
~
(тр.)
Ii
= hi
,
2

7. Простейшие формулы. Геометрический подход.

I~i (с.пр.) = hi f 1 ,
i−
2
f 1 = f x 1 ,
i−
2
i− 2
xi−1 + xi
x 1=
i−
2
2

8. Погрешность малых квадратурных формул

2
h
I i − I~i ( л.пр.) = i f (1) ( ), xi −1 , xi
2
hi2 (1)
~
(п.пр.)
Ii − Ii
= − f ( ), xi −1 , xi
2
3
h
I i − I~i (c.пр.) = i f (2 ) ( ), xi −1 , xi
24
1
1
I~i (тр.) = I~i ( л.пр.) + I~i (п.пр.) ,
2
2
3
h
I i − I~i (тр.) = − i f (2 ) ( ), xi −1 , xi
12
1
2
h
I~i (Смп.) = I~i (тр.) + I~i (с.пр.) = i fi −1 + 4 f 1 + fi ,
i−
3
3
6
2
hi5
~
(Смп.)
Ii − Ii
=−
f (4 ) ( ), xi −1 , xi
2880
I i − I~i Chip +1

9. Погрешность больших квадратурных формул

2
h (1)
~
( л.пр.)
Ii − Ii
=
f ( i ), i xi−1 , xi
2
n
n
Ii − I~i ( л.пр.) =
i =1
i =1
h2 n
n
f ( ) ( ) = nf ( ) ( ), x , x
f ( )
2
(1)
i
i =1
1
i =1
1
i
~ ( л.пр.) = h(b − a ) f (1) ( )
I
−
I
i
i
2
i =1
i =1
n
n
h(b − a ) (1)
I − I~ ( л.пр.) =
f ( ), a, b
2
h(b − a ) (1)
I − I~ (п.пр.) = −
f ( ), a, b
2
h (b − a ) (2 )
I − I~ (c.пр.) =
f ( ), a, b
24
2
h (b − a ) (2 )
I − I~ (тр.) = −
f ( ), a, b
12
2
0
n

10. Аппроксимационный подход к выводу квадратурных формул

b
I = f (x )dx
a
(x )
xi a, b , i = 0,1,..., n Ln (x ) = fi
,
'
(x − xi ) (xi )
i =0
n
f ( n+1) ( (x ))
f (x ) − Ln (x ) =
( x),
(n + 1)!
f ( n +1) ( (x ))
a f (x)dx − a Ln (x)dx = a (n + 1)! ( x)dx,
b
b
b
n
( x ) = ( x − xk )
k =0
a, b ,
a, b ,
b
(x )
f ( n+1) ( (x ))
fi
dx =
( x)dx,
'
a f (x)dx − a
(
)
(
)
x
−
x
x
(
n
+
1
)!
i =0
i
i
a
b
b n
a, b ,
b
(x )
f ( n+1) ( (x ))
fi
dx =
( x)dx,
'
a f (x)dx −
(x − xi ) (xi )
(n + 1)!
i =0
a
a
b
n
b
a, b, xi
a, b ,

11. Формулы Ньютона-Котеса

2
a = −1, b = 1, xi = −1 + ih, h = , i = 0,1,...., n
n
(x )
f ( n+1) ( (x ))
fi
dx =
( x)dx,
'
−1 f (x )dx −
(
)
(
)
x
−
x
x
(
n
+
1
)!
i =0
i
i
−1
−1
1
n
n
1
1
n
(x )
dx = ci f i ,
'
(
)
(
)
x
−
x
x
i =0
i
i
−1
(x )
dx,
'
(
)
(
)
x
−
x
x
i
i
−1
1
1
I~ = f i
i =0
n = 1,
x0 = −1, x1 = 1,
a, b ,
ci =
с0 = 1, с1 = 1,
1
f (x )dx f (−1) + f (1)
−1
n = 2,
x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1,
1
с0 = 1 / 3, с1 = 4 / 3, с2 = 1 / 3
f (x )dx f (−1) / 3 + 4 f (0) / 3 + f (1) / 3
−1

12. Переход к стандартному промежутку

b
I = f (x )dx
a
b−a
b+a
x=
y+
2
2
b
dx =
b−a
dy
2
1
b−a b−a
b+a
I = f (x )dx =
f
y+
dy
2
2
2
a
−1
1
f ( y )dy f (−1) + f (1)
−1
b
I = f (x )dx
a
b−a b−a
b+a
b + a b − a
b−a
f (a ) + f (b)
f
(
−
1
)
+
+
f
(
1
)
+
=
2 2
2
2
2
2
1
f (x )dx f (−1) / 3 + 4 f (0) / 3 + f (1) / 3
−1
b
I = f (x )dx
a
b−a b−a
b+a
b+a b−a
b + a
b−a
f
(
−
1
)
+
+
4
f
(
0
)
+
+
f
(
1
)
+
=
6 2
2
2
2
2
2
=
b−a
b+a
(
)
(
)
f
a
+
4
f
+
f
b
6
2

13. Сплайн-квадратуры

b
I = f (x )dx
a
a = x0 x1 ... xn−1 xn = b, hi = xi − xi−1 , i = 1,..., n
b
n
xi
n
a
i =1 xi −1
i =1
I = f (x )dx = f (x )dx = I i
xi
f (x ) s(x )
I i = f ( x )dx
x i −1
(
xi
xi
xi −1
x i −1
)
2
3
I~i = si (x )dx = ai + bi (x − xi −1 ) + ci (x − xi −1 ) + di (x − xi −1 ) dx
xi
(x − x ) dx = (x − xi −1 )
k
i −1
xi −1
x
k +1 x = xi
i
hi2
hi3
hi4
~
I i = si (x )dx = ai hi + bi + ci + di
2
3
4
xi −1
k +1
x = xi −1
hik +1
=
k +1
n
n
hi2
hi3
hi4
~
~
I = I i = ai hi + bi + ci + di
2
3
4
i =1
i =1

14. Сплайн-квадратуры

Am = g (hi , f i )
2( f i − f i −1 ) mi + mi −1
3( f i − f i −1 ) mi + 2mi −1
d
=
−
+
,
−
,
i
hi3
hi2
hi2
hi
xi
n
n
hi2
hi3
hi4
hi2
hi3
hi4
~
~
(спл.)
~
(спл.)
I
= I i = ai hi + bi
+ ci + di
Ii
= si (x )dx = ai hi + bi + ci + di ,
2
3
4
2
3
4
i =1
i =1
xi −1
bi = mi −1 ,
ci =
или
x
i
hi
hi2
~
(спл.)
Ii
= si (x )dx = ( fi −1 + fi ) − (mi − mi −1 ),
2
12
xi −1
n
h n
h2 n
h n
h2
~
~
(спл.)
(спл.)
I
= Ii
= ( f i −1 + f i ) − (mi − mi −1 ) = ( f i −1 + fi ) − (mn − m0 )
2 i =1
12 i =1
2 i =1
12
i =1
где mi коэффициен ты сплайна, найденные из решения системы Am = g (hi , f i )
Если в si вместо mi взять первые производные f при х = хi ,
то будем иметь полином Эрмита и формулу Эйлера − Маклорена
xi
hi
hi2 df
df
~
(Э − М )
,
Ii
= H i (x )dx = ( f i −1 + f i ) −
−
2
12 dx x = xi dx x = xi−1
xi −1
n
h n
h 2 n df
h 2 df
h n
df
df
~
~
(Э − М )
(Э − М )
= ( f i −1 + f i ) −
I
= Ii
= ( f i −1 + f i ) −
−
−
2 i =1
12 i =1 dx x = xi dx x = xi−1 2 i =1
12 dx x = x n dx x = x0
i =1

15. Метод неопределённых коэффициентов. Формулы Гаусса.

f ( y ),
1
n
I = f ( y )dy ci f ( yi )
y −1,1 ,
i =0
−1
n +1
ci
Pm ( y ) = a0 + a1 y + ... + am y m ,
1
1
i =0
1 m
m
1
k =0
−1
i m
i
I m = Pm ( y )dy = ak y dy = ak y dy
−1
2n + 2
c P ( y ) = P ( y )dy
−1
1
n +1
am 0
n
I m = Pm ( y )dy
yi
k
−1 k = 0
1
n
c y = y dy,
i =0
k
i
k
i
k
k = 0,1,..., m
−1
2n + 2 = m + 1
m = 2n + 1
m
−1
1
k
y
dy,
−1
k = 0,1,..., m

16. Метод неопределённых коэффициентов. Формулы Гаусса.

n = 0,
m =1
0 1 0
c0 y0 = y dy
−1
1
c y1 = y1dy
0 0
−1
1
c0 = dy
−1
1
c y = ydy
0 0
−1
c0 = 2
c0 y0 = 0
c0 = 2,
1
I = f ( y )dy I~ = 2 f (0 )
−1
y0 = 0

17. Метод неопределённых коэффициентов. Формулы Гаусса.

n = 1,
1
0
0
0
c0 y0 + c1 y1 = y dy
−1
1
1
1
c0 y0 + c1 y1 = y1dy
−1
1
c y 2 + c y 2 = y 2 dy
0 0 1 1
−1
1
3
3
3
c0 y0 + c1 y1 = y dy
−1
c0 = 1,
m=3
1
c0 + c1 = dy
−1
1
c0 y0 + c1 y1 = y dy
−1
1
c y 2 + c y 2 = y 2 dy
0 0 1 1
−1
1
3
3
3
c0 y0 + c1 y1 = y dy
−1
c1 = 1, y0 = −
1
3
1
3
= − , y1 =
=
,
3
3
3
3
3
3
+ f
I = f ( y )dy I~ = f −
3
3
−1
1
c0 + c1 = 2
c0 y0 + c1 y1 = 0
2
2
2
c
y
+
c
y
=
0 0 1 1 3
3
c0 y0 + c1 y13 = 0

18. Метод неопределённых коэффициентов. Формулы Гаусса.

b
I = f (x )dx
a
b−a
b+a
x=
y+
2
2
n = 0,
c0 = 2,
y0 = 0
b−a
dx =
dy
2
1
I = f ( y )dy I~ = 2 f (0 )
−1
n = 1, c0 = 1,
1
3
c1 = 1, y0 = −
=−
,
3
3
1
3
y1 =
=
,
3
3
b
1
b−a b−a
b+a
I = f (x )dx =
f
y
+
dy
2
2
2
a
−1
b
b−a b+a
b+a
I = f (x )dx I~ =
2f
= (b − a ) f
2
2
2
a
3
3
+ f
I = f ( y )dy I~ = f −
3
3
−1
1
b − a 3 b + a
b−a b−a 3 b+a
~
I = f (x )dx I =
+
+ f
+
f −
2
2 3
2
2
2 3
a
b

19. Практические подходы к оценке точности. Правило Рунге.

h
~
(h )
~
Ii
Ii 2
I i − I~i ( h) Ch p +1
h
h
I i − I~i 2 2C
2
I~i
h
2
h
− I~i (h ) Ch p +1 − 2C
2
p +1
p +1
h
C
I~i 2 − I~i (h )
2
=
2
p +1
h
h
h p +1 − 2
2
I i − I~i
h
2
h
h
= 2C
2
p +1
~
I i 2 − I~i (h )
2 p −1
h
p +1
(2 − 1)
I~i 2 − I~i (h )
2 p −1
p

20. Практические подходы к оценке порядка точности больших квадратурных формул

h
h
~
(h )
~ 4
~ 2
I
I
I~
I~
h
2
h
4
I
I~
− I~ (h )
2
h
~
− I 2
log 2
I~
h
2
h
4
− I~ (h )
− I~
h
2
p

21. Практические подходы к оценке точности и порядка точности большой квадратурной формулы

1
I = e x dx = e1 − e −1 2.350402
−1
hk
k
n
1
2
3
4
10 0.2
20 0.1
40 0.05
80 0.025
h(b − a ) (1)
I − I~ ( л.пр.) =
f ( ), a, b
2
n
I~ ( л.пр.) = h f i −1 ,
b−a
h=
n
i =1
I~ (hk )
2.123192
2.234841
2.292132
2.321145
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
0.111649
0.057291
0.029013
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
I~ (hk +1 ) − I~ (hk )
1.95
1.97
I − I~ ( hk )
0.22721
0.115561
0.05827
0.029257
I~i (hk ) − I~i (hk −1 )
~
(hk )
Ii − Ii
2 p −1
0.111649
0.057291
0.029013

22. Практические подходы к оценке точности и порядка точности большой квадратурной формулы

1
I = e x dx = e1 − e −1 2.350402
−1
n
I~ (с.пр.) = h f 1 ,
b−a
h=
n
i =1
k
n
hk
I~ (hk )
1
2
3
4
10
20
40
80
0.2
0.1
0.05
0.025
2.346490
2.349424 0.002934
2.350158 0.000734
2.350342 0.000184
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
i−
2
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
I~ (hk +1 ) − I~ (hk )
4.00
3.99
h (b − a ) (2 )
I − I~ (c.пр.) =
f ( ), a, b
24
2
I − I~ ( hk )
0.003912
0.000978
0.000244
0.000060
I~i (hk ) − I~i (hk −1 )
~
(hk )
Ii − Ii
2 p −1
0.000978
0.000245
0.000061

23. Практические подходы к оценке точности и порядка точности большой квадратурной формулы

1
dx
=
2
arctg
(
1
)
=
1.570796
2
1
+
x
2
−1
1
I=
n
b−a
h=
n
I~ ( л.пр.) = h f i −1 ,
i =1
k
n
hk
I~ (hk )
1
2
3
4
10
20
40
80
0.2
0.1
0.05
0.025
1.567463
1.569963 0.0025
1.570588 0.000625
1.570744 0.000156
h(b − a ) (1)
I − I~ ( л.пр.) =
f ( ), a, b
2
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
I~ (hk +1 ) − I~ (hk )
4.00
4.01

24. Практические подходы к оценке точности и порядка точности большой квадратурной формулы

1
dx
=
2
arctg
(
1
)
=
1.570796
2
1
+
x
2
−1
1
I=
h=
n
I~ (с.пр.) = h f 1 ,
b−a
n
i =1
i−
2
h (b − a ) (2 )
I − I~ (c.пр.) =
f ( ), a, b
24
2
k
n
hk
I~ (hk )
1
2
3
4
10
20
40
80
0.2
0.1
0.05
0.025
1.572463
1.571213 0.00125
1.570901 0.000312
1.570822 0.000079
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
I~ (hk ) − I~ (hk −1 )
I~ (hk +1 ) − I~ (hk )
4.01
3.95

25. QUANC8 – пример адаптивной программы

SUBROUTINE QUANC8(FUN, A, B, ABSERR, RELERR, RESULT,
*
ERREST, NOFUN, FLAG)
EXTERNAL FUN
INTEGER NOFUN
REAL FUN, A, B, ABSERR, RELERR, RESULT, ERREST, FLAG
BXOДHЫE ПAPAMETPЫ
FUN
- ИMЯ BHEШHEЙ ФУHKЦИИ,PEAЛИЗУЮЩEЙ
BЫЧИCЛEHИE ПOДИHTEГPAЛЬHOЙ ФУHKЦИИ
A
- HИЖHИЙ ПPEДEЛ ИHTEГPИPOBAHИЯ
B
- BEPXHИЙ ПPEДEЛ ИHTEГPИPOBAHИЯ (B MOЖET
БЫTЬ MEHЬШE, ЧEM A)
RELERR - OTHOCИTEЛЬHAЯ ЖEЛAEMAЯ ПOГPEШHOCTЬ
ABSERR - AБCOЛЮTHAЯ ЖEЛAEMAЯ ПOГPEШHOCTЬ

26. QUANC8 – пример адаптивной программы

BЫXOДHЫE ПAPAMETPЫ
RESULT - ПPИБЛИЖEHHOE ЗHAЧEHИE ИHTEГPAЛA
ERREST - OЦEHKA BEЛИЧИHЫ ДEЙCTBИTEЛЬHOЙ OШИБKИ
NOFUN - ЧИCЛO ЗHAЧEHИЙ ФУHKЦИИ,ИCПOЛЬЗOBAHHЫX
ПPИ BЫЧИCЛEHИИ ИHTEГPAЛA.
FLAG
- ИHДИKATOP HAДEЖHOCTИ. ECЛИ FLAG PABEH HУЛЮ,
TO RESULT УДOBЛETBOPЯET ЗAДAHHOЙ ГPAHИЦE
ПOГPEШHOCTИ. ECЛИ FLAG=XXX.YYY,TO XXX - ЧИCЛO
ИHTEPBAЛOB ДЛЯ KOTOPЫX HE БЫЛO CXOДИMOCTИ,
A 0.YYY-ДOЛЯ OCHOBHOГO ИHTEPBAЛA,OCTABШAЯCЯ
ДЛЯ OБPAБOTKИ B TOT MOMEHT,KOГДA ПOДПPOГPAMMA
ПPИБЛИЗИЛACЬ K ПPEДEЛЬHOMУ ЧИCЛУ ДЛЯ NOFUN.

27. Пример

f ( x) = sin x ,
2
a = x0 = 0,
b
b+a
I = f (x )dx I~ = (b − a ) f
2
a
b = x3 = 1,
1
2
2
I = sin x dx = − cos x = 0.6366198
2
2 0
0
1
2
1+ 0
I = sin x dx I~1 = (1 − 0)sin
0.7071068
=
2
2
2
2
0
I − I~
1
I − I~1 0.0704870,
1
I
0.11
1
+0
1
1
= sin 0.1913417
I 21 = sin x dx I~21 = − 0 sin 2
2
2
2 2 2 8
0
1
1
1+
1
~
2 = 1 sin 3 0.4619398
I 22 = sin x dx I 21 = 1 − sin
2
2 2 2 2 8
1/ 2
~
I
−
I
~
~
~
2
I I 2 = I 21 + I 22 = 0.6532815
0.026
I − I~2 0.0166617
I
1/ 2
I − I~1
0.11
4.2
I − I~
0.026
2

28. Расчётное задание 4. Формула Гаусса

Применить формулу Гаусса
b − a 3 b + a
b−a b−a 3 b+a
~
I = f ( x )dx I1 =
+
+ f
+
(1)
f −
2
2
3
2
2
3
2
a
для заданной f (x ) и a = x0 , b = x3 и вычислить I~1 с семью значащими цифрамии и
I − I~1
~
найти I − I1
и
I
b
Вычислить интеграл, разбив интеграл на два
b
b+a
2
a
a
b
I = f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx
b+a
2
и применив к каждой части
I − I~2
~
Найти I − I 2
и
I
формулу (1).
Найти во сколько раз повысится точность вычисления интеграла
I − I~
1
I − I~2
за счёт его разбиения на два.