Расчёт многослойной крепи: контактное взаимодействие с массивом пород

1.

Расчёт многослойной
крепи
Контактное взаимодействие
с массивом пород
Практическое занятие 2
По §35 учебника Н. С. Булычева
§35, с. 197–212
1

2.

Расчётная модель
Внутренние кольца моделируют слои крепи.
Последний, наружный слой моделирует породы.
R 0 < R1 < ⋯ < R n−1 ,
Rn → ∞
R₀ — радиус в свету. Rᵢ — внешний радиус слоя i.
n — число слоёв вместе с массивом.
θ отсчитывается от вертикальной оси x.
Для конечной модели книга допускает наружный радиус массива 10
радиусов выработки по контакту.
С. 197, рис. 92
2

3.

Почему крепь и породы считают совместно
Под нагрузкой каждое кольцо стремится изменить свой радиус.
Соседние слои ограничивают это перемещение и передают
друг другу контактное давление.
(i)
(i+1)
ur (R i ) = ur
(R i )
uᵣ — радиальное перемещение. Равенство записано для одного
контакта двух соседних слоёв. При полном контакте совпадают
также касательные перемещения.
Искомое контактное давление заранее неизвестно. Оно определяется совместной деформацией крепи и
массива. Поэтому в расчёт входят жёсткости обоих материалов.
§35, с. 197; условия совместности по §33
3

4.

Предпосылки и условия контакта
Круглое сечение и концентрические слои. Упругая работа материалов. Для протяжённой
выработки принимаем плоскую деформацию.
Ei
Gi =
,
2(1 + μi )
κi = 3 − 4μi
Eᵢ — модуль деформации, МПа. μᵢ — коэффициент Пуассона.
Gᵢ — модуль сдвига, МПа. κᵢ — упругая постоянная плоской задачи.
Полный контакт: непрерывны радиальные и касательные перемещения.
Контакт со скольжением: непрерывны радиальные перемещения, касательные напряжения равны
нулю.
§33, с. 184–187; §35, с. 197–198
4

5.

Как читать напряжения и индексы
σr ,
σθ ,
τrθ
σ — греческая «сигма»: нормальное напряжение. Индекс r означает радиальное направление, θ —
окружное. τ — «тау»: касательное напряжение.
p0(i) ,
p2(i) ,
q2(i)
p — коэффициенты радиального давления, q — коэффициент касательного напряжения. Это
латинские строчные буквы. Нижние 0 и 2 — номера гармоник, (i) — номер контакта.
Верхние (0) и (1) — начальное и дополнительное поля.
Звёздочка у K — внутренняя нагрузка. Штрихи у d и χ различают коэффициенты.
Во всей презентации сжатие положительно, растяжение отрицательно.
Обозначения §33, (10.82), и §35, с. 198–199
5

6.

Последовательность расчёта
Этап
Что определяем
Результат
1
Геометрия, материалы, контакт
Параметры каждого слоя
2
Схема и величина нагрузки
Начальные или внешние нагрузки
3
Коэффициенты передачи
Связь соседних контактов
4
Контактные напряжения
Нагрузка на каждый слой
5
Напряжения в слоях
Внутренний и наружный контуры
6
Прочность и сохранение контакта
Вывод о работе крепи
§35, с. 197–212
6

7.

Исходные данные
Группа
Данные и источник
Геометрия
Радиус в свету, толщины слоёв: чертёж крепи
Материалы
Модули деформации и коэффициенты Пуассона: испытания или условие задачи
Горное давление
Глубина, удельный вес пород, боковое давление, корректирующий множитель
Жидкости
Удельный вес раствора, глубина, внутреннее давление, напор подземных вод
Проверка
Расчётные сопротивления материалов и прочность контактов
Единая система единиц: длина — м, напряжения и модули — МПа, удельный вес — МН/м³. Варианты в конце
задают все данные для учебного расчёта.
С. 198, 203–204, 208–211
7

8.

Геометрические коэффициенты слоя
Ri
ci =
R i−1
d1(i) = ci2 (κi + 1),
′
d1(i)
= ci2 (κi − 1) + 2,
d2(i) = 2ci2 + κi − 1
d′2(i) = κi + 1
cᵢ — отношение внешнего и внутреннего радиусов слоя.
d и d′ — безразмерные коэффициенты перемещений.
Штрих различает коэффициенты, а не означает производную.
§32, с. 181, (10.60), (10.61)
8

9.

Два способа задания горного давления
а. Снятие начальных напряжений
Нагрузка приложена к внутреннему контуру крепи.
После расчёта добавляем начальное поле.
С. 198–202, рис. 93
б. Эквивалентная внешняя нагрузка
Воздействие переносим на бесконечность.
Неравномерная часть задаётся приближённо.
9

10.

Начальное поле: обозначения книги
1+λ
(0)
∗
p0 = α γH
,
2
(0)
1−λ
(0)
∗
p2 = α γH
2
(0)
q2 = −p2
Начальное поле описывает напряжения до образования свободного контура. В расчёте крепи
учитываем его с корректирующим множителем.
γ — удельный вес пород, МН/м³. H — глубина оси, м.
λ — отношение горизонтального начального напряжения к вертикальному.
α* — корректирующий множитель условий взаимодействия, см. §14.
Однородное начальное поле принимаем при условии
С. 198; §14, (4.53)
H ≥ 5R 0
10

11.

Что означают равномерная и вторая гармоники
(0)
(0)
(0)
σr (θ) = p0 + p2 cos 2θ,
(0)
(0)
τrθ (θ) = q2 sin 2θ
Равномерная часть одинакова по всему контуру. Вторая гармоника описывает различие между кровлей
и боками. Угол θ отсчитываем от вертикали.
(0)
(0)
(0)
σr (0) = p0 + p2 = α∗ γH
(0)
(0)
(0)
σr (π/2) = p0 − p2 = λα∗ γH
Проверка: при одинаковом вертикальном и горизонтальном давлении λ равно 1. Тогда вторая гармоника и
касательные напряжения исчезают. Эта проверка помогает обнаружить ошибку знака.
С. 198; §33, (10.82)
11

12.

Снятие нагрузки со свободного контура
(1)
(0)
p0 = −p0 ,
(1)
(0)
p2 = −p2 ,
(1)
(0)
q2 = −q2
После проведения выработки её внутренний контур свободен. Чтобы получить нулевые
напряжения на нём, к начальному полю добавляем равное по величине противоположное
воздействие.
(0)
(1)
σr + σr = 0,
(0)
(1)
τrθ + τrθ = 0
Верхний индекс (1) обозначает дополнительное поле. Это расчётный приём: отрицательная нагрузка
воспроизводит разгрузку после выемки породы. На остальных контактах полное напряжение обычно не
равно нулю.
С. 198–199, перед (10.108)
12

13.

Физический смысл коэффициента передачи
(1)
(1)
p0(i) = K ∗0(i) p0(i−1)
Для внутреннего воздействия коэффициент K* связывает давление на наружной границе слоя с
давлением на его внутренней границе. Он зависит от геометрии и жёсткости окружающих слоёв.
1. Коэффициенты вычисляем снаружи внутрь: сначала учитываем массив.
2. Нагрузки передаём изнутри наружу: начинаем с заданной нагрузки на свободном контуре.
Разные направления — не противоречие. Сначала нужно узнать сопротивление внешних слоёв, затем можно
определить, какую нагрузку передаст каждый внутренний слой.
§33, (10.92), (10.93); §35, (10.107)
13

14.

Передача внутренней равномерной нагрузки
K ∗0(n−1) =
∗
K 0(i)
=
d′2(n−1)
′
″,
d1(n−1) + 2/χ0
χ″0 =
Gn
2
Gn−1 (cn−1
− 1)
d′2(i)
′
∗
d1(i)
+ χ′0(i) (d2(i+1) − K 0(i+1)
d1(i+1) )
2
G
c
i
i −1
′
χ0(i) =
2
Gi+1 ci+1
−1
K* — безразмерная передача внутренней нагрузки. Сначала считаем наружный слой крепи, затем идём внутрь.
Для массива K* равно нулю.
Коэффициенты d берём со слайда 8. Индекс у χ′ уточняет пару слоёв.
§33, с. 190, (10.93); с. 197, (10.107)
14

15.

Передача неравномерной нагрузки
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
∗
∗
p2(i) = K11(i)
p2(i−1) + K12(i)
q2(i−1)
q2(i) = K ∗21(i) p2(i−1) + K ∗22(i) q2(i−1)
Четыре коэффициента K* связывают радиальную и касательную гармоники двух соседних
контактов. Коэффициенты считаем снаружи внутрь, нагрузки передаём изнутри наружу.
Где брать компоненты: (10.94), с. 191 — K*, вспомогательные γ₁, γ₂, δ₁, δ₂ и определитель B′. Формулы (10.66),
(10.67), с. 182 — коэффициенты a, b и их штрихованные значения. Полный контакт обязателен для этой формы
расчёта.
§33, с. 191, (10.94); с. 199, (10.109)–(10.110)
15

16.

Полные напряжения на первом контакте
(0)
p0(1) = p0 (1 − K ∗0(1) )
(0)
∗
∗
p2(1) = p2 (1 − K11(1)
+ K12(1)
)
(0)
q2(1) = p2 (−1 − K ∗21(1) + K ∗22(1) )
На контакте складываем начальное поле и переданное дополнительное поле. Поэтому коэффициенты
полного давления содержат единицу и коэффициенты передачи со знаками.
Исходные гармоники определены на слайде 10. Нижний индекс (1) — первый контакт. Для остальных контактов
повторяем (10.110) и сложение по (10.112).
С. 199, (10.111)
16

17.

Распределение напряжений по контуру
σr(i) (θ) = p0(i) + p2(i) cos 2θ
τrθ(i) (θ) = q2(i) sin 2θ
σr,max = p0(i) + |p2(i) |,
σr,min = p0(i) − |p2(i) |
p₀ — среднее радиальное давление. p₂ — амплитуда его неравномерности. q₂ — амплитуда касательных
напряжений, все в МПа.
Кровля: θ = 0. Бок: θ = π/2. Касательные экстремумы: θ = π/4.
Отрицательное минимальное давление требует проверки раскрытия контакта.
§33, с. 185, (10.82)
17

18.

Окружные напряжения в каждом слое
На внутреннем контуре слоя
σвн
θ = p0(i) m1 − p0(i−1) m2 − (p2(i) n1 − q 2(i) n2 − p2(i−1) n3 + q 2(i−1) n4 )cos 2θ
На наружном контуре слоя
нар
σθ
= p0(i) m1′ − p0(i−1) m′2 + (p2(i) n1′ − q2(i) n′2 − p2(i−1) n′3 + q2(i−1) n′4 )cos 2θ
m, n — безразмерные коэффициенты данного слоя. Их индекс i здесь опущен, как в книге. m берём из
(10.26), (10.27), n — из (10.42), (10.43), §32.
Все p и q — полные контактные напряжения. Расчёт повторяем для каждого слоя и характерных углов.
§33, с. 185, (10.84), (10.85)
18

19.

Эквивалентные внешние напряжения
(0)
2p0
экв
p0 =
,
κn + 1
(0) 3κn + 1
экв
p2 ≈ p2
,
6κn
qэкв
2 =0
Начальные гармоники берём со слайда 10. κₙ — упругая постоянная массива. Эквивалентную нагрузку
подбирают по перемещениям, поэтому её величина отличается от начального напряжения.
Равномерная замена воспроизводит радиальное перемещение. Замена второй гармоники
приближённая. В дальнейшем напряжения передаём снаружи внутрь.
Коэффициенты K: (10.88), (10.89). Передача нагрузок: (10.86), (10.87).
В этой схеме разгрузка относится к контакту породы с крепью, а в предыдущей — к внутреннему контуру. Не
смешиваем эти две постановки.
С. 201–202, (10.113); §32, (10.79), (10.80)
19

20.

Передача внешней равномерной нагрузки
d1(i)
K 0(i) =
′
d2(i) + χ0(i) (d1(i−1)
− K 0(i−1) d′2(i−1) )
Gi ci2 − 1
χ0(i) =
2
Gi−1 ci−1
−1
κn + 1
K 0(n) =
′
2 + χ″0 (d1(n−1)
− K 0(n−1) d′2(n−1) )
Свободный внутренний контур задаёт K₀₍₁₎ = 0. Считаем коэффициенты от слоя 2 до массива. Затем давления:
p на внутреннем контакте равно p на наружном контакте, умноженному на K данного слоя.
χ″ — со слайда 14. K без звёздочки относится к внешней нагрузке.
§33, с. 186, (10.88); с. 197, (10.106)
20

21.

Ствол после откачки раствора
P = γр H,
(0)
p0 = P,
(1)
p0 = −P
k
p0(k) = P(1 − ෑ K ∗0(i) )
i=1
P — гидростатическое давление раствора до откачки, МПа.
γᵣ — удельный вес раствора, МН/м³. H — глубина сечения, м.
k — номер контакта, произведение охватывает слои от 1 до k.
После откачки внутренний контур свободен. В этом осесимметричном случае касательные напряжения и
вторые гармоники равны нулю.
С. 203–204, (10.114)–(10.118)
21

22.

Откуда берётся формула после откачки
Рассмотрим два слоя крепи. До откачки начальное давление равно P. Снятие давления на внутренней
поверхности задаём как дополнительную нагрузку со знаком минус.
(1)
p0(1) = −PK ∗0(1)
(1)
p0(2) = −PK ∗0(1) K ∗0(2)
(1)
p0(k) = P + p0(k)
Первый контакт получает одну передачу, второй — две последовательные передачи. Поэтому в формуле
появляется произведение K*. К результату разгрузки обязательно добавляем начальное давление P.
Вывод (10.118) из (10.114), (10.115) и (10.92)
22

23.

Два слоя крепи и массив: рабочие формулы
∗
K 0(2)
=
κ2 + 1
c22 (κ2 − 1) + 2 + 2G2 (c22 − 1)/G3
K ∗0(1) =
κ1 + 1
c12 (κ1 − 1) + 2 + χ′0(1) [2c22 + κ2 − 1 − K ∗0(2) c22 (κ2 + 1)]
p0(1) = P(1 − K ∗0(1) ),
p0(2) = P(1 − K ∗0(1) K ∗0(2) )
Слой 1 — внутренняя оболочка, слой 2 — цементационный слой, слой 3 — массив. Сначала считаем K
второго слоя, затем первого.
χ′ вычисляем по слайду 14. P берём со слайда 21. Этих формул достаточно для всех 30 вариантов.
(10.93), (10.107), (10.118) при n = 3
23

24.

Окружные напряжения при осесимметрии
σвн
θ(i) =
нар
σθ(i) =
2ci2 p0(i) − (ci2 + 1)p0(i−1)
ci2 − 1
(ci2 + 1)p0(i) − 2p0(i−1)
ci2 − 1
p₀₍ᵢ₋₁₎ — давление на внутренний контур слоя, p₀₍ᵢ₎ — на наружный.
Для первого слоя после откачки внутреннее давление равно нулю.
На каждом контуре радиальное напряжение равно соответствующему контактному давлению.
Положительный результат означает сжатие, отрицательный — растяжение. На одном контакте окружные напряжения
соседних материалов могут различаться.
Частный случай (10.84), (10.85); §32, (10.26), (10.27)
24

25.

Учебный пример: исходные данные
R 0 = 0,95 м,
H = 500 м,
γр = 0,013 МН/м3
Слой
Внешний радиус, м
Модуль E, МПа
Пуассон μ
1. Стальная оболочка
0,970
200 000
0,30
2. Цементационный слой
1,120
5 000
0,10
3. Массив пород
Бесконечность
10 000
0,25
Толщина стали 20 мм, цементационного слоя 150 мм.
В учебном пересчёте модуль стали принят 200 000 МПа: это согласуется с модулем сдвига в табл. 15 книги.
Контакты полные.
На основе примера 10.6, с. 204–205; данные уточнены для пересчёта
25

26.

Пример: радиусы и отношение радиусов
t1 = 20 мм = 0,020 м,
t 2 = 150 мм = 0,150 м
R1 = 0,950 + 0,020 = 0,970 м,
0,970
c1 =
= 1,021053,
0,950
R 2 = 0,970 + 0,150 = 1,120 м
1,120
c2 =
= 1,154639
0,970
Толщины переводим в метры до сложения с радиусом. У каждого слоя свой внутренний радиус: для
цементационного слоя это наружный радиус стали.
Проверка: оба отношения больше 1. Отношение радиусов и все коэффициенты d безразмерны. В формулах нагрузки
и напряжений используем не толщину, а отношение радиусов c.
Подготовка данных примера 10.6; §32, с. 181
26

27.

Пример: модули и упругие постоянные
200000
G1 =
= 76923,08 МПа
2(1 + 0,30)
G2 = 2272,73 МПа,
κ1 = 3 − 4 · 0,30 = 1,80,
G3 = 4000,00 МПа
κ2 = 2,60,
κ3 = 2,00
Модуль сдвига вычисляем для всех трёх материалов, включая массив. Его размерность совпадает с
размерностью E. Постоянные κ безразмерны.
Дальше потребуются отношения модулей, геометрические коэффициенты и два коэффициента передачи. Числа на
слайдах округлены для показа, промежуточный расчёт выполняем с полной точностью.
Пересчёт по слайдам 8, 14 и 23
27

28.

Пример: коэффициенты для двух контактов
′
d1(1)
= 2,834039,
d′2(1) = 2,800000
′
d1(2)
= 4,133107,
d′2(2) = 3,600000
d1(2) = 4,799490,
d2(2) = 4,266383
2−1
76923,08
1,021053
χ′0(1) =
≈ 4,322144
2
2272,73 1,154639 − 1
Коэффициенты d получены по слайду 8. χ′ связывает сталь и цементационный слой. Для контакта
цементационного слоя с массивом используем отдельное выражение χ″ со слайда 14.
§32, (10.60), (10.61); §33, (10.93)
28

29.

Пример: подстановка в коэффициенты передачи
χ″0 =
4000
≈ 5,282246
2
2272,73(1,154639 − 1)
∗
K 0(2)
=
K ∗0(1) =
3,6
≈ 0,797919
4,133107 + 2/5,282246
2,8
≈ 0,592988
2,834039 + 4,322144(4,266383 − 0,797919 · 4,799490)
Первым вычислен коэффициент второго слоя, соприкасающегося с массивом. Затем его значение
подставлено в формулу для первого слоя. Коэффициенты нужны для передачи дополнительной нагрузки, а
не для прямого умножения полного давления после откачки.
§33, (10.93); §35, (10.107)
29

30.

Пример: давления на контактах
P = 0,013 · 500 = 6,500 МПа
p0(1) = 6,5(1 − 0,592988) = 2,646 МПа
p0(2) = 6,5(1 − 0,592988 · 0,797919) = 3,424 МПа
Первое давление действует между сталью и цементационным слоем.
Второе — между цементационным слоем и породой.
Внутреннее давление после откачки равно нулю.
Пересчёт по (10.118)
30

31.

Какие давления подставлять для каждого слоя
Слой
Внутренняя граница
Наружная граница
1. Сталь
Свободный контур: 0 МПа
2,645579 МПа
2. Цементационный слой
2,645579 МПа
3,424483 МПа
σr (R i ) = p0(i)
Одно и то же контактное давление является наружной нагрузкой для внутреннего слоя и внутренней
нагрузкой для соседнего наружного слоя. На общем контакте радиальное напряжение непрерывно.
Окружные напряжения в разных материалах на этом контакте могут быть различны: они зависят от работы всего
кольца.
Подстановка результатов (10.118) в (10.84), (10.85)
31

32.

Пример: окружные напряжения в стали
Для стали используем первое отношение радиусов. Внутри давление равно нулю, снаружи действует
давление первого контакта.
2
2
·
1,021053
· 2,645579
вн
σθ(1) =
≈ 129,65 МПа
2
1,021053 − 1
2 + 1) · 2,645579
(1,021053
нар
σθ(1) =
≈ 127,00 МПа
2
1,021053 − 1
Оба значения положительны: оболочка сжата. Окружное напряжение значительно больше контактного
давления, потому что давление воспринимает тонкая стенка кольца.
Осесимметричная форма (10.84), (10.85)
32

33.

Пример: напряжения в цементационном слое
Для второго слоя обе границы нагружены. Вклад внутреннего давления вычитается из вклада
наружного. Везде используем второе отношение радиусов.
2
2
2
·
1,154639
·
3,424483
−
(1,154639
+ 1) · 2,645579
вн
σθ(2) =
≈ 8,88 МПа
1,1546392 − 1
2 + 1) · 3,424483 − 2 · 2,645579
(1,154639
нар
σθ(2) =
≈ 8,10 МПа
1,1546392 − 1
Наибольшее окружное сжатие цементационного слоя получено у контакта со сталью. Для проверки прочности
берём напряжения именно в этой точке.
Осесимметричная форма (10.84), (10.85)
33

34.

Пример: что означают полученные результаты
Материал
Внутренний контур, МПа
Наружный контур, МПа
Сталь
129,65
127,00
Цементационный слой
8,88
8,10
Для каждого материала проверяем оба контура. В этом примере максимум окружного сжатия
находится на внутренней границе слоя. Контактное давление и окружное напряжение — разные
результаты расчёта.
σст
θ,max = 129,65 МПа < 180 МПа
180 МПа — принятое для учебного примера сопротивление стали сжатию. Проверка прочности выполнена. Для
завершения проектной проверки нужна также устойчивость оболочки, см. главу 13.
С. 205; пересчёт по (10.84), (10.85)
34

35.

Пример: проверка цементационного слоя
σ1 = σθ = 8,879 МПа,
σ3 = σr = 2,646 МПа
В проверяемой точке σ₁ — наибольшее, σ₃ — наименьшее главное напряжение, как принято в
примере книги. Боковое сжатие повышает сопротивление разрушению.
1 + sin φ 1 + sin 35°
β=
=
≈ 3,690
1 − sin φ 1 − sin 35°
σ1,пр = σсж + βσ3 ≈ 8 + 3,690 · 2,646 ≈ 17,76 МПа
Прочность при одноосном сжатии — 8 МПа. φ — угол внутреннего трения, здесь 35°. β — безразмерный
коэффициент. Предельное напряжение 17,76 МПа превышает 8,879 МПа: условие выполнено.
С. 205, пример 10.6; критерий (1.31)
35

36.

Неоднородные слои и рёбра тюбингов
Ребристый слой заменяем квазиоднородным. Сначала
находим приведённый модуль сдвига, затем средние
контактные напряжения.
aGa + bGb
Gпр =
,
h
h=a+b
a, b — ширины ребра и заполнения по высоте.
Gₐ, Gᵦ — модули сдвига их материалов.
h — шаг повторения.
После общего расчёта восстанавливаем местные напряжения в рёбрах и заполнении по (10.99)–(10.101).
Проверять только средние напряжения недостаточно: в примере 10.7 рёбра перегружены.
§34, (10.98)–(10.101); §35, с. 205–207, рис. 94
36

37.

Внутреннее давление
k
p0(k) = pвн ෑ K ∗0(i)
i=1
Внутреннее давление жидкости или газа задано на внутреннем
контуре первого слоя. K* — коэффициенты внутренней
нагрузки со слайда 14. Их произведение определяет давление,
дошедшее до контакта k.
Окружные напряжения считаем по слайду 24. Внутреннее
давление может вызвать растяжение. Его эффект складываем
с эффектом горного давления с учётом знака.
С. 208–210, (10.123); рис. 87 из §33
37

38.

Подземные воды и гидроизоляция
pв = γв Hc ,
pэкв
0 =
2pв
κn + 1
В формуле слева перемножаем удельный вес воды, МН/м³, и
статический напор над рассматриваемым сечением, м.
Получаем гидростатическое давление в МПа.
Формула справа применяется, когда гидроизоляцией служит
внешний слой крепи. Передачу внешней нагрузки считаем по
слайду 20.
Если гидроизоляция находится внутри многослойной крепи, воду прикладываем на её наружном контакте:
используем (10.95)–(10.97), с. 191–192. На этом контакте возникает скачок радиальных напряжений.
С. 210–211, (10.126); §33, (10.95)–(10.97), рис. 88
38

39.

Суммирование воздействий и отрыв
σ″r =
2pв
K 0(n) ,
κn + 1
|σ′r | = pв − σ″r
σr,Σ = σr,гор − |σ′r |
σ″ — сжимающее воздействие воды на наружный контур крепи.
|σ′| — растягивающее воздействие на контакт с массивом.
σᵣ,гор — контактное сжатие от горного давления.
Если суммарное контактное напряжение стало растягивающим, проверяем сцепление. При его отсутствии
контакт раскрывается и исходная схема совместной работы требует пересмотра.
Окружные напряжения от всех воздействий складываем алгебраически.
С. 211–212, (10.127), (10.128)
39

40.

Контроль расчёта
1. Все радиусы возрастают, толщины и модули положительны.
2. Модули и нагрузки приведены к МПа, размеры — к метрам.
3. Направление рекурсии соответствует выбранной нагрузке.
4. На свободном контуре нет радиальных и касательных напряжений.
5. Контакт не требует недопустимого растяжения.
6. Проверены оба контура каждого слоя и сочетания нагрузок.
7. Прочность материала и устойчивость оболочки проверены отдельно.
Числовые коэффициенты сохраняем минимум с 6 значащими цифрами. Округляем окончательные
напряжения, а не промежуточные разности.
С. 200, методическое примечание; с. 205, 209–212
40

41.

Где искать формулы в книге
Задача
Параграф, формулы
Печатные страницы
Коэффициенты перемещений
§32, (10.60)–(10.67)
181–182
Напряжения в слоях
§33, (10.82), (10.84), (10.85)
185
Передача внешних нагрузок
§33, (10.86)–(10.89)
186–188
Передача внутренних нагрузок
§33, (10.92)–(10.94)
189–191
Массив как внешний слой
§35, (10.106), (10.107)
197
Откачка раствора и внутреннее давление
§35, (10.114)–(10.123)
203–208
Вода и проверка контакта
§35, (10.126)–(10.128)
211–212
Н. С. Булычев. Механика подземных сооружений. М.: Недра, 1982
41

42.

Практическое задание: общие условия
Ствол с внутренней стальной оболочкой и наружным цементационным слоем. Крепь возведена под
раствором. Требуется расчёт после полной откачки. Массив бесконечный, контакты полные, плоская
деформация.
R 0 = 1,00 м,
E1 = 200000 МПа,
R1 = R 0 + t1 ,
R 2 = R1 + t 2 ,
E2 = 5000 МПа,
μ1 = 0,30,
γр = 0,013 МН/м3
μ2 = 0,10,
μ3 = 0,25
Из таблицы на последнем слайде: H — глубина, t₁ и t₂ — толщины, E₃ — модуль массива. Толщины перед
расчётом перевести из мм в м.
Для учебной проверки: сопротивление стали сжатию 180 МПа, прочность цементационного слоя при одноосном
сжатии 8 МПа, угол внутреннего трения 35°. Данные условные и не являются нормативными.
Авторские учебные данные; методика §35, (10.93), (10.107), (10.118)
42

43.

Практическое задание: результат расчёта
В отчёте должны быть:
1. Схема с радиусами и характеристиками трёх слоёв.
2. Геометрические коэффициенты и модули сдвига.
3. Два коэффициента передачи внутренней нагрузки.
4. Давления на обоих контактах после откачки.
5. Окружные напряжения на двух контурах каждого слоя крепи.
6. Проверка сжатия стали и прочности цементационного слоя.
7. Вывод о прочности и необходимости проверки устойчивости стали.
Дополнительно: как изменятся давления и напряжения, если модуль массива увеличить вдвое? Геометрию и
остальные данные сохранить.
Рабочие формулы на слайдах 8, 14, 21–24 и 34–35
43

44.

Задание: 30 вариантов
Расчёт двухслойной крепи после откачки раствора. H и E₃ задают условия массива, t₁ и t₂ — толщины стали и
цементационного слоя.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
H, м
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
420
440
460
480
t₁, мм
16
20
24
28
32
16
20
24
28
32
16
20
24
28
32
t₂, мм
120
120
120
120
120
150
150
150
150
150
180
180
180
180
180
E₃, МПа
3000
5000
8000
10000
15000
20000
3000
5000
8000
10000
15000
20000
3000
5000
8000
Авторские учебные варианты. Общие условия — слайд 42. Состав отчёта — слайд 43.
№
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
H, м
500
520
540
560
580
600
620
640
660
680
700
720
740
760
780
t₁, мм
16
20
24
28
32
16
20
24
28
32
16
20
24
28
32
t₂, мм
120
120
120
120
120
150
150
150
150
150
180
180
180
180
180
E₃, МПа
10000
15000
20000
3000
5000
8000
10000
15000
20000
3000
5000
8000
10000
15000
20000
44