Izoperimetricheskie_zadachi

1.

Изопериметрические
задачи
Халаименко Алина, Аэ-21-24

2.

Введение
Изопериметрическая задача — классическая задача вариационного
исчисления, в которой требуется найти фигуру, доставляющую
экстремум (минимум или максимум) некоторому функционалу при
заданных ограничениях.
Цель работы — придумать две изопериметрические задачи:
теоретическую — с дополнительным ограничением; прикладную —
простую, понятную, связанную с реальной жизнью.
Решить обе аналитически (метод Эйлера–Лагранжа).

3.

Постановка задачи 1
1
2
3
Классическая изопериметрия даёт
окружность.
Добавим нестандартное ограничение:
кривая обязана проходить через
заданную точку P(x0, y0). Это вносит
асимметрию и требует аккуратного
применения множителей Лагранжа.
Постановка: Дано: длина замкнутой
кривой Г: L = L0 = const, точка P(x0, y0).
Найти: кривую Г, ограничивающую
максимальную площадь S, при
условии P принадлежит Г.

4.

Решение задачи 1

5.

6.

Задача 2
Идея задачи
У нас есть верёвка длиной L0 (забор, изгородь). Нужно огородить прямоугольный участок максимальной
площади. Но есть дополнительное условие: одна сторона участка должна быть вдвое длиннее другой
(например, из-за формы рельефа или архитектурных требований).
Это простая, но нетривиальная изопериметрическая задача с ограничением на соотношение сторон.

7.

8.

Спасибо за внимание!